Topologie 12.1 : Connexité. Définitions et propriétés.

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[Musique] bonjour bonjour bienvenue dans cette nouvelle vidéo de topologie aujourd’hui nous allons parler de connexité ou là là là là ça a fait peur mais en fait c’est une notion vraiment génial j’espère que je vais réussir à vous le faire sentir c’est voilà moi c’est quelque chose qui m’a beaucoup beaucoup amusé et donc on va aller tranquillement découvrir cette petite chose et voir qu’est-ce qu’on peut faire avec alors on va commencer par introduire la notion parce que j’aimerais bien la définition est bizarre est pas très intuitive donc j’ bien essayer de vous faire deviner donc intuitivement une partie connexe ça veut dire une partie en un seul morceau voil ça c’est connexe ça c’est pas Connex ok donc B dire bon d’accord mais c’est ça la notion intuitive alors sur les ensembles mathématiques prenons quelques exemple voir on veut que sil soit dire qu’ils sont Connex ou pas bah par exemple si je prends r la droite oui un bout est positif r plus l’interval 01 Tout ça dire oui ça c’est Connex un seul morceau alors inversement si je prends r éto positif d’un côté négatif de l’autreie dire deux parties qume de morceaux si je prends 0 union 34 c’est encore plus flagrantie dire ça ça c’est pas Connex d’accord que c’est en plusieurs morceaux d’autres exemples si je prends un singlon j’ai envie de direon c’est conn ouais si’ y a un seul point x bah oui c’est un seul bout je dire voilà quoi et puis euh si je prends plein de points comme Z ouais les morceaux mais des des des points isolés les uns des autres bah oui non là ça va pas être connexe quoi dès qu’il y en a deux déjà donc même tris qure ou l’infini enfin voilà un autre exemple un peu plus dur c’est que les matrices oh là là pourquoi les matrices en fait parce que c’est un espace vectoriel de dimension finie et euh bon enfin en l’occurrence même de dimensions infinie j’ai envie de dire que c’est connexe mais un espace vectoriel voyez en dimension 1 c’est une droite dimension de c’est un un dimension 3 c’est l’espace qui est autour de moi et ça ben j’ai l’espace il on un seul morceau enfin je dire ça veut dire que il en plusieurs morceaux pourquoi voyez donc un espace vectoriel en fait intuitivement bah oui c’est c’est en un bout quoi je veux dire il y a pas de raison que vous voyez ce que je veux dire il y a tout hein si on prend on enlève des morceaux de l’espace vectoriel peut-être qu’il y a de morceaux mais si on prend tout l’espace bah oui c’est en un seul morceau quoi et euh une une partie par exemple de cet espace qui va pas être un seul morceau ça être les matrices inversibles typiquement les matrices inversibles là moi je vois deux morceaux à me dire ou là pourquoi ben parce que en fait une matrice inversible vous savez c’est une matrice dont le déterminant est non nul et ben si le déterminant est non nul pour moi il y a deux catégories il y a ceux où le déterminant va être strictement positif et c’est le déterminant va être strictement négatif voyez dans mon ESP de tout mon espace vectoriel des matrices qui est dimension n au carré hein donc est énorme bah quelque part il y a une partie avec les les matrices de déterminants positifs partie les matrices de déterminant négatifs pourquoi ça se mélange pas pourquoi de ça parce que l’application déterminant est polynomial dans les coefficients de la matrice donc elle est continue on a déjà utilisé ce truccl pour dire c’est un ouvert GN de r par exemple et donc bah si je passe par mon déterminant d’une matrice à déterminant strictement positif à une matrice à déterement strictement négatif je suis forcément pas passer à un moment par une matrice pas inversible donc il y a une espèce de de cloison de séparation entre les deux voyez c’est les matrices qui sont pas inversible ça sépare celle la déterminant positif et celle déterminant négatif voyez pourquoi intuitivement j’ai la tête j’ai deux parties dans dans dans ce truc là et donc j’ai envie de dire que c’est pas Connex ok donc voilà bon c’est bien sympa tout ça mais ça ne donne pas de définition comment on pourrait dire voilà e n’est pas connexe si voilà bon bah première idée qui me vient j’ai dis çaah voilà bah si il faut qu’il soit en deux morceaux il faut qu’il soit en deux morceaux donc faut que eux enfin au moins de morceaux mais en tout cas donc même s’il y en a trois je peux dire c’est celui-là et ces deuxl voilà ok si eu n’est pas connexe ça veut dire que E donc c’est au moins la réunion de deux morceaux donc c’est une union d’un morceau a et d’un morceau B qui ne se touche pas ok voilà première é une définition serait relativement facile voilà si c’est une réunion de deux ensembles qui sont 10 ch alors on dit que c’est pas Connect donc au moins de ça peut être trois ça bah sauf que ça marche pas parce que malheureusement deux parties disjointes des fois elles peuvent vachement bien s’emboîter et en faire plus qu’une quand réunie même si elles avent pas d’éléments en commun concrètement je donne l’exemple par exemple prenez 01 dans R avec ouvert en 1 et 1 2 avec fermé en 1 pour B bah du coup c’est bien dujint il y a pas d’élément en commun dans A et en B mais quand je je prends la réunion des deux j’obtiens 02 comme ça et je vois pas bien comment je pourrais dire que 02 il est en debout quoi il est pas en un seul morceau quoi ça ne va pas donc quelque part il faut des des morceaux enfin il faut deux parties qui qui sont séparées les unes des autres voyez qui peuvent pas complètement s’emboîter l’une dans l’autre faut qu’il y ait un petit une petite séparation entre les deux alors il se trouve que dans les espaces métriques on a vu qu’on pouvait mesurer une distance entre des des parties hein on avait dit la distance entre A et B ce qui est pas vraiment une distance entre les parties d’ailleurs puisque si la distance est nulle ça veut juste dire qu’il se touche par exemple et euh S se touche la distance est nulle alors qu’ils sont pas forcément égaux donc c’est pas une distance entre les parties mais c’est pour deux ensembles ça permet de définir quand même un nombre là qui permet de voilà de le plus court chemin entre un point de B et un point de a la distance la plus courte qu’on peut faire pour relier un point de B et un point de a donc la borne inférieure des distances de A et B pour a dans A et B dans B OK et ben donc l’idée on pourrait se dire tiens bah e c’est une réunion de parties deux parties qui qui se touchent pas c’est qu’ on une distance entre les deux strictement positif peut-être un milliardième peut-être toute petite mais on pourrait se dire voilà si on n’est pas Connex c’est une réunion de deux parties a union B avec la distance de A et B qui est strictement positive donc il y a peut-être un tout petit mais il y a un écart entre les deux qu’on peut mesurer voyez que voilà peuvent pas s’emboîer alors c’est une idée qui est raisonnable mais sauf que ça marche pas parce que moi j’ai envie de dire que R étoile c’est quand même en deux morceaux hein juste enlevant zé j’ai envie de dire que ça ça c’est pas Connect dans ma définition alors la distance là entre A et B bah c’est nul Z je peux prendre MOS 1 sur N un sur N Lescart entre les deux c’est 2 sur N ça tombe bien vers 0 quand M tu plus l’infini donc l’INF des distances entre A et B c’est bien zéro donc ça coince voyez pourquoi il faut une définition compliquée parce que on voit pas bien comment on peut faire quoi donc voilà l’idée c’est c’est de trouver des voilà une partie connexe peut-être qu’ell peuvent être vachement proches mais il faut quand même qu’ éc entre les deux voyez comme moinini0 0 plus l’infini ou deux parties comme ça et comment je peux faire pour dire que êre super pr mais tou pas c’estenos il y a pas le bordoiil Ava le bord rencontrer et intuitivement on dit des fonctions quand il y a pas le bord ça veut dire que c’est ouvert en fait et donc c’est ça qu’on va prendre comme définition on va dire que E n’est pas Connex si c’est avec de parties disjointes A et B qui sont désouvert de OK comme ça c’est sûr qu’il y a pas le bord et donc ça permet ça c’est bien un ouvert de r ça c’est bien un ouver et comme ça ça per Deen sortir alors j’ai une objection jeune homme je vous écoute c’est une bonne remarque il me dit attz si je prends dans R 0 ferm union 034 34 ferm ça ça m’a l’air pas trop Connex quand même c’est deux parties joint et puis 01 c’est un ferm de 34 c’est c’est pas un ouver de r alorstoire que c’est un ouvert alors attention c’est c’est toute la subtilité de la topologie induite c’est hyper compliqué je suis d’accord on en a déjà parlé on va reparler mais donc mon ensemble F là qui est égal à ça ok l’interval 0 c’est l’interval 1 2 ouvert intersecté avec F ça c’est un ouvert de r intersecté avec F c’est un ouvert de F voyez mon 01 là fermé c’est une partie fermée de r mais c’est un ouvert de F une autre raison de se dire bah non attend 34 c’est un fermé de F ce qui est vrai aussi mais du coup sont complémentaires 01 c’est bien un ouvert de F Z c’est si j’ai une partie de si j’ai une réunion de deux parties s’il y en a une qui est inf fermé l’autre est un ouvert mais comme celle-là aussi c’est inf fermé du coup celle-là c’est un ouvert en fait les deux sont à la fois des parties ouvertes et fermées de F ok donc voilà donc même dans ce cas-là c’est bien un ouvert de F union un ouvert de F d’accord c’est donc la définition marche en tout cas même dans ce cas-là quoi donc voilà c’est ça pourouraait sembler faux mais non les parties c’est paré ça peut être des fermés oui mais c’est pas des fermés de l’ensemble réunion des parties ok subtile hein bon bref allez allons-y il est temps de se lancer dans la définition et les premières propriétés donc soit eu un espace topologique même pas besoin d’une distance donc juste une famille d’ouverte vous savez qui est table par intersection finie et réunion quelconque qui contient vide et E ok c’est une topologie voilà donc on l’ ensemble de nos ensemble d’ouverts on dit que eux est Connect c’est seulement si il vérifie une des trois définitions qui sont là et on va démontrer maintenant qu’elles sont toutes équivalentes alors première définition ben voilà c’est si O1 et O2 sont deux ouverts 10 joint T e est égal à l’Union C de parties alors il y en a une qui est vide ok je peux pas faire e = O1 union O2 avec deux ouverts non vides etj ok ok les seules parties de E qui sont à la fois ouvertes fermé bah c’est VI et E ok on va voir on va démontrer en détail pourquoi c’est la même chose de dire ça que de dire ça à l’ensemble les Connex si les seules parties qui sont l’INF ouvertes et fermé c’est vidéo ou alors tout application continue de E dans 01 alors attention c’est pas l’interval 0 c’est le le couple la valeur 0 et la valeur 1 l’ensemble à deux éléments juste 0 et 1 toute application de e donc qui peut prendre que de valeur est forcément constante oh là là là là là là là là bon on va on va démontrer tout ça intuitivement ça ça veut dire voyez si j’avais deux parties ben je pourrais dire elle vaut Z0 sur une partie et 1 sur une partie elle estue quand même vous savez hein si on a déjà parlé deoire c’est une fonction est définie sur un deux intervalles 10 joints peut être continue sur un bout continue sur un autre et puis pas prendre la même valeur sur les deux hein et puis voilà elle est quand même continue parce qu’elle est continue en tout point où elle est définie ok donc pe prendre voilà une fonction qui vaut 0 sur un bout et un sur un autre et qui quand même continue si l’ensemble de départ n’est pas connexe bon bref on va démontrer tout ça essayez de le faire à la rigueur mettez sur Pause essayez de prouver tout ça parce que c’est vachement utile mais bon moi je vais le faire maintenant ok alors on va essayer à démontrer que un implique de donc je suppose que si je prends deux ouverts 10jint dont la Réunion fait tout de il y en a forcément un qui vide et je veux démontrer que les seules parties de E qui sont à la fois ouvertes et fermé c’est vid e donc je vais considérer une partie de E qui est u qui est à la fois ouverte et fermée ok il faut que je démontre que bah c’est forcément vide ou mais si u est ouvert et fermé déjà un petit peu parlé de cette astuce tout à l’heure bah ce complémentaire aussi il est ouvert et fermé puisque le complémentaire d’un ouvert c’est un fermé le complémentaire d’un fermé c’est un ouvert donc e privé de U c’est également un ouvert et fermé c’est automatique mais alors euh comme l’intersection de U V est vide j’ai pris le complémentaire c’est clair et que la Réunion U et V bah c’est tout eux c’est le complémentaire c’est la définition du complémentaire la réunion avec l’autre ça fait tout l’ensemble et l’ ils sont disjints donc j’obtiens deux ouverts U et V don la Réunion c’est e et qui sont 10jint là du coup d’après le petit 1 soit U est vide soit V donc soit U est vide ok c’était bon soit V est vide et à ce moment-là c’était u u é= e donc u soit égal à vide soit égal à e c’est bien ce que je voulais démontrer donc 1 inflic 2 ok alors maintenant on montrer que de implique 1 je suppose que les seules parties de E qui sont ouvertes et fermé sont vid et E et donc je prends maintenant je vais montrer que voilà si je prends deux ouvert joints dans la Réunion fait e alors il y en a forcément un qui est donc soit de ouverts du joint O1 et O2 tel que E ég à O1 union O2 ok alors automatiquement bah ça veut dire que O1 c’est le complémentaire de O2 ça veut dire ça c’est toujours pareil c’est équivalent à dire qu’on est on est 10 juint et Don la Réunion fait tout l’ensemble ça veut dire que il y en a un qui est complémentaire de l’autre ok donc O1 et O2 qui était de ouverts bah O2 c’est le complémentaire de O1 qui est un ouvert donc O2 c’est un fermé mais du coup si o2 est un fermé euh enfin o2 est un ouvert O1 aussi est un fermé donc O1 au 2 ils sont la voix ouvert et fermé ok or par hypothèse les seules parties de E qui sont la fois ouvert et fermé c’est VI et E donc il y a soit au 1 qui est vide soit au de qui est vide et donc on a bien le 1 ok vous voyez ça c’était pas très très très dur mais il fallait quand même y penser si je peux couper en deux ouverts di joint ben en fait ça veut dire que ces ouverts là ils sont ouvert et fermé et si j’ai une partie ouverte et fermée son complémentair c’est un autre ouvert qui sont 10 joints donc voilà ça revient au même de dire ces deux trucs là ok mais mine de rien c’est pratique parce que rappelez-vous dans l’espace vectorel des fois on dit alors cette partie est-ce qu’elle est ouverte elle est fermée ah elle est ouverte et on se disait ah ou du coup est-ce qu’elle est fermée et ben en fait on aurait pu dire non on peut pas parce que un espace vectoriel est connexe bon je spoile un petit peu la suite mais on aurait pu gagner vachement de temps avec ce théorème ok alors maintenant il faut encore relier au 3 donc démontrer que 1 implique 3 donc je suppose que si j’ai deux ouverts joints don la Réunion est e alors il y en a un qui est forcément vide et je prends une application de E dans 01 qui est continue alors une application continue dans un espace topologique a qu’une seule définition il y a pas d’histoire de distance et tout c’est cl l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert alors quels sont les ouverts de 0 1 comme vous le savez c’est un ensemble discret tout toutes les parties sont des ouverts dans 01 donc 0 est un ouvert 1 est un ouvert 01 est un ouvert ok donc voilà c’était pas marqué dans l’énoncé mais c’est sous-entendu he quand dit dans 01 comme ça si on précise pas la topologie c’est la topologie induite par celle de R qui fait que du coup voilà c’est la topologie discrète et toutes les parties de ça sont ouvertes bon il y en a quatre en même temps il y a vide il y a Z0 il y a 1 il y a 0 ok donc F est Contin continu c’est uneimage réciproque de tout ouvert ouvert donc en l’occurrence F-1 de 0 ouvert donc ouais c’est un AB de notation parce que normalement mais F-1 du singleton 0 ok parce que c’est l’image réciproque du singleton 0 mais F est pas objectif donc c’est pas c’est pas l’image par F-1 de 0 ok c’est bien l’image réciproque du du singleton 0 U0 bah du coup c’est un ouvert parce que 0 est un ouvert et puis F-1 1 aussi c’est un ouvert parce que pareil 1 est un ouvert d’accord donc je prends une application continue j’obtiens deux ouverts comme ça mais qui sont forcément 10 joint et et dans la Réunion fait tout e parce que les images de de e c’est soit 0 soit 1 ok donc du coup j’ai trouvé deux ouvert qui vérifie toutes les hypothèses donc il y en a forcément un qui est vide d’accord donc soit U0 c’est vide et puis du coup U1 c’est e ben donc la fonction tout le temps égale à 1 soit U1 c’est vide et F c’est l’application qui vaut tout le temps zéro voilà donc en tout cas elle est constante ok hein puisque les en fait voilà les parties de sur lesquell elle vaut zé et les parties de sur lesquelles elle vaut 1 c’est c’est des ouvert deux ouverts de donc il y en a forcément un qui était ensemble vide et donc elle est constante ok si on suppose ça elle est constante très bien maintenant on va supposer l’inverse pour ça je vous rappelle une petite notation qui est vachement utile qu’on déjà vu plein de fois mais on sait jamais si on prend une partie de e l’application indicatrice ou l’application caractéristique de a que je note avec un 1 dou a c’est celle qui vaut 1 quand X est dans A et 0 quand X est pas dans A c’est la fonction indicatrice c’est fonction qui qui indique si on est dans A ou pas en prenant la valeur 0 ou la valeur 1 ok donc on a déjà parlé de cette fonction indicatrice on av déjà vu dans quel cas elle était continue il fallait que a soit ouvert et fermé mais enfin je vais le redire parce que voilà mais on l’a déjà vu dans chapitre sur les fonctions continues bon bref alors maintenant prouvons que 3 implique 2 ce qui impliquera que tout est équivalent parce que j’ai déjà vu que 1 et 2 étaai équivalent et donc je suppose que toute application continue de E dans 01 est constante et je vais montrer que les seules parties de qui sont là ouvert et fermé sont vid et E alors donc si u est une partie ouverte et fermée de e alors l’application la fonction indicatrice un U est continue pourquoi donc on l’a déjàémré avant mais là je vous redémontre ben parce que l’image réciproque de 1 c’est u d’accord donc qui vient ouvert l’image réciproque deê un ouvert c’est u l’imageoque de 0 bah c’est e pr de U bah c’est un ouvert aussi parce que j’ai pris u une partie ouverte et fermée donc U est ouvert ce complémentaire est ouvert aussi donc voilà l’image rciprooc de tout bah c’est tout de c’est bien ouvert et l’image de vide c’est vide donc l’imagep de tout ouvert de 0 est un ouvert de e donc l’application est continue ok on l’avait déjà vu dans le r donc j’obtiens une une fonction qui est pas constante et qui continue si j’ai s’il existe une partie ouverte et fermée ok or par hypothèse c’est pas possible d’accord mon hypothèse c’est que si j’ai une application continue 01 elle est forcément constante donc soit elle vaut tout le temps Z0 soit elle vaut tout le temps 1 alors si elle vaut tout le temps zé bah ça veut dire que u c’est vide si vaut tout le temps ça veut dire que u c’est e voilà parce que c’est l’application caractéristique de a donc c’est tout le temps 1 surtout e bah c’est que A est égal à E et puis u é= e en l’occurrence et voilà ok donc on a démontré ces trois façons et les trois sont sont utiles dans différents contextes donc c’estut pas se baser se disent laquelle faut prendre bah en fait faut pas choisir dans certains cas ça va être celle-là tiens il y a une partie qui est à la fois ouverte et fermée ah c’est pas connexe dans d’autres cas c’est ah mais là il y a les blancs il y a les noir et s’intersecte pas et la Réunion ça fait tout le monde ils sont ouverts hop ça va être là ah là je peux construire une application indicatrice regarde machin une fonction qui va de là dans 01 qui est constante bref les trois vont servir donc il y a pas une meilleure définition que les autres et voilà dans les bouquins il commence par l’une ou par l’autre c’est un peu indifféremment en tout cas faut connaître les trois hyper utile ok allez on y va alors maintenant qu’est-ce que c’est qu’une partie connexe on a vu un espace connexe comme d’habitude bah les sousptie quand est-ce qu’on va dire qu’une sous-partie d’un espace est connexe B alors là pour le coup c’est relativement simple parce que c’est intrinsèque je vais en reparler si f une partie connexe de F si l’espace F mit de la topologie induite par celle de donc je rappelle ça veut dire que les ouverts de F c’est les intersection des ouverts de E avec F c’est les traces des ouverts de e sur F et Connex voilà donc c’est voilà donc c’est c’est exactement ça on prend une sous-partie on a une topologie sur E ça on induit une topologie sur F est-ce que l’espace F de cette topologie est connecte OK et euh voilà donc ça c’est c’est c’est en pratique comment ça se passe bah donc F et no Connect ça veut dire s’il y a deux ouverts de F comme je disais tout à l’heure avec mon exemple 01 34 quoi dont la Réunion 10jint don la Réunion fait tout F mais un ouvert de F c’est l’intersection d’un ouvert de E avec F d’accord et cet ouvert là de F c’est intersection d’un ouvert de e aussi avec F aussi autrement dit visuellement deux parties du plan elles sont pas connexes même si elles sont fermées dans le plan si on peut trouver un ouvert qui contient un bout un ouvert contient un autre bout autrement dit c’est ma mon ensemble là il il peut être inclus dans deux ouverts des juint ok donc s’il existe deux ouverts 10 juin de e 10 juin tel que bah ça touche F u touche F V touche F et puis que f est inclu dans la réunion des deux me dire mais s y a tris boutahi je peux mettre de bout dans même ok c’est pas problème c’est qu’ a au moins de deux ouverts qui permettent de prendre de regrouper comme ça ok voilà ça c’est deux parties du plan no Connect c’est qu’en fait je peux trouver un ouvert qui contient un ouvert contient l’autre et là je pouvais avec mes deux intervalles fermés faire ça OK et donc le truc vachement important et qui est vachement cool c’est que la définition est intrinsèque c’està-dire que si j’ai a qui est une partie de F qui est inclu dans e est-ce que oh là là a est-ce que c’est une partie connexe de F ou parti connexe de E ou est-ce que c’est machin en fait non juste en regardant a tout seul on sait c’est connexe ou pas voyez c’est ça qui chouite quoi c’est c’est une partie connexe de F si seulement si c’est une partie connexe de e c’est pareil c’est juste en regardant les éléments de a juste avec la topologie de a la topologie induite par c’est toujours celle de e d’accord parce que c’est les intersections à chaque fois et donc voilà il y a pas de connexe de c’est connexe ou pas en fait une partie on peut juste regarder elle- même quand on connaî la topologie induite elle est connexe ou pas ça dépend pas de de l’ensemble dans lequel on l’a mis quoi d’accord c’est est-ce qu’ en a un bout ou un seul bout est-ce qu’il y a une fonction de a dans dans truc continu qui vaut 0 ou 1 on peut s’en rendre compte juste en regardant a et ça c’est cool contrairement à la notion d’ouvert qui était pas intrinsèque VO un ouvert de F cétait pas forcément ouvert de ok là un Connex de F c’est un Connex de c’est il y a pas de problème donc de ce côté-là c’est quand même cool ok très bien allez allons-y peutêre faire quelques petits exemples quand même comme prévu bah du coup r étoile il est pas Connex d’accordz bien ça c’est un ouvert ça c’est un ouvert de R qui s’intersecte pas la Réunion fait ouvert tout ça ok euh bah si je prends n c’est 0 union n étoile et puis 0 c’est n intersecté avec – 05 05 donc c’est un ouvert de N donc j’ai bien voilà un ouvert donc c’est une réunion d’ouvert n étoile c’est par exemple n intersecté avec 0,5 1/2 plus l’infini c’est bien ouvert de N donc n n’est pas connexe voilà j’ai en deux parties j’ai pris juste zé juste tout le reste bah ça c’est des ouverts de N à chaque fois toute partie de n est un ouvert je vous rappelle topologie discrète c’est pénard mais donc voilà est-ce que Q est connexe alors ça c’est plus dur mettez sur Pause réfléchissez comment vous démontreer que Q est pas connexe je vous le dis Q n’est pas connexe petit morceau partout mais comment on le prouve le Q la partie Q de R n’est pas Connect réléchissez bien B je donne la réponse en fait il faut essayer de couper en deux ouverts mais le problème c’est que si on prend les rationnels strictement positif les rationel est strictement négatif ben il y a problème il manque zéro donc il faut prendre tout le monde et donc l’astuce c’est pas couper en rationnel mais couper en irrationnel par exemple √2 est pratique on sait qu’il est irrationnel bah si je prends tous les nombres plus petits que r√2 strictement plus petit et les nombres strictement plus grand que Racine 2 OK dans Q bah ça c’est bien un ouvert de Q ça c’est un ouvert de Q qui sont 10jint bah il peut pas à fois plus petite racine 2 plus grand que Racine 2 d’accord et dans la Réunion ça fait tous tous les rationnels sont soit plus strictement plus petits racine 2 soitquement plus grand puisque racine 2 n’en est pas donc j’ai bien coupé en deux ouverts des joints mais rationnel et donc c’est pas Connex ok ensuite si je prends un espace topologique séparé Aï Aï rappelez-vous un espace topologique séparé ça veut dire que quand je prends 2.10 join il existe un ouvert un voisinage de l’un et un voisinage de l’autre qui ne se rencontre pas d’accord qui sont l’insection vide ok c’est ça un ensemble séparé tu prend deux points distincts il existe deux voisinages donc deux quiti l’ et l’autre qui ne se touche pas une partie a dans mon que si a Conn un point isolé alors a est alors un pointol jeppelle ça veut dire que il existe un voisinage du point qui rencontre a que en ce point okiste V voisinage de x V est juste é x bon alors allonsy donc supposons que si x est isolé ça veut dire quoi x isolé je vous rappelle bah ça veut dire que justement que X est un ouvert de a hein si X c’est un point isolé dans A ça veut dire que sleton X est un ouvert de a il existe un un ouver de X qui est intersecté avec a fait que singleton x c’est la définition or on a vu que dans un espace séparé singleton x Ctait toujours un fermé ok rappelez-vous les vidéos sur l’espace topologique hein d’accord c’est pas très dur hein je veux dire c’est voilà c’est c’est prenez un autre bref le complémentaire est un ouvert ok bref donc euh donc si A est Connex bah du coup a ég x parce que la seule partie qui est à la fois ouverte et fermée et qui est non vide ça doit être tout l’ensemble ok donc voilà donc un un une partie Connex pas de point isolé mais intuitivement ça se voit bien je dire c’est un petit point c’est un petit bout qui déconne SAF il y a que le point isolé alors d’accord d’accord là c’est connexe mais sinon voilà un un machin avec un point isolé c’est pas Connect ça se voyait bien mais il fallait encore le prouver quoi ok alors maintenant un autre exemple concret on imagine bien que c’est ça mais faut encore le prouver les parti connexes de R sont les intervalles voilà il y a que les intervalles ok c’est c’est ça les parties connectes alors dire c’est quoi déjà la définition d’un intervalle parce que j’aurais pu imaginer que c’était ça la définition d’un interval alors non la définition d’un intervalle dans R c’est les parties convexes de r ah là là tu compliques tu tu remplace un mot par un autre mot alors sauf que ça c’est notion assez simple ça veut dire en fait ça veut dire si je prends deux points tout le segment est inclu vous savez convexe en général c’est prend deux points d’esace convexe c’est tout le segment qui relie ces deux points donc c’est forcément une partie d’un espace vectoriel pour pouvoir définir les le segment mais voilà dans un espace vectoriel une partie est convexe quand dès que je prends deux points tout le segment est inclus dans cette partie bon bah dans R du coup c’est tout bête ça veut dire un intervalle I qui est pas forcément borné c’est un intervalle ça veut dire si je prends deux points dans I alors tous les éléments qui sont entre et B sont aussi dans quel que soit X dans R si x est compris entre et B alors X dans R tout le segment et bien inclu dans I ok j’ pu marquer crochet à B inclu dans I voilà donc ça c’est les définitions des interval réel va montrer que les parties connexes c’est ça et que c’est que ça alors allons-y donc prenons une partie qui n’est pas intervalle partie F qui n’est pas un interval alors qu’est-ce que ça veut dire par définition ça c’est faux donc le contraire de quel que soit quel que soit x machin c’est il existe à dans I il existe X dans R tel que le contraire de a implique B rappelle ça veut dire qui veut dire NON A ou B c’est a et non B donc le contraire de ça c’est a plus petit que X plus petit que P et X n’appartient pas à i enfin à F en l’occurrence donc j’ai bien traduit si f n’est pas un intervalle hop il existe donc de AB de deux éléments AB dans F et un X dans R tel que X est compr entre A et B et X n’est pas dans F ok ça c’est la définition de pas être un intervalle ok mais alors du coup si je prends prends moins l’infini X et X plus l’infini j’obtiens deux ouverts de F non vi 10 juin et qui forme une partition de F c’estàdire que la réunion des deux c’est bien F parce que justement x c’est pas dans F c’est même astuce que r√2 avec Q trouve un qui est pas dedans du coup ben je prends tous ceux qui sont au dessus tous ceux qui sont en dessous ça fait bien deux ouverts de F don la Réunion c’est tout F et qui sont des Jes OK et du coup F pas con les de par sont il y a un élément a il estans don bien de parties non ok donc si f n pas un inter pas con petite contraos alors est inter ok donc voilà oui alors effectivement j’auris plus dur sauf qu’on a pas fini vous l’z vu qu’on avit pas fini là des fois mes étudiants souent cool non non on croit que la partie du c’est montrer que si c’est Conn c’est interval en fait la partie c’est montr que si c’est interval c’est Conn ça oh ça se voit il faut le démontrer alors allons-y prenons interval de r je vous laisse réfléchir c’est pas si simple pour le coup comment vous moner que ça c’est Connect bah ça se voit bien ça se voit bien ça se démontre bah allons-y euh supposons que I soit la réunion de deux ouverts O1 et O2 10 juin donc je suppose que il y a deux ouverts non vides 1 et 2 dont la Réunion fait enfin dont l’intersection est vide et je montrer que la réunion CE peut pas être tout l’intervalle et a priori deux ouvert ça peut être des trucs compliqués voyez c’est des petits bouts d’ouverts dans tous les sens machin vous ça les les espaces de Cantor on a vu les trucs ça peut être compliqué hein des ouverts de r pourquoi c’est pas possible voilà que j’ai mon mon intervalle soit réunon deux ouvert 10 juin non de réfléchir trouver une contradiction moner réunion pas faire alors donc je prends un a dans et existe forcment interver chiffres je peux que tous les éléments de plus grand changeelleel ça change pas mon raisonnement donc voilà je suppose qu’il y en a un petit tas qui est plusti untit ça veut pas dire que tous les éléments de P T sont tous les éléments de O2 he parce que là il y a encore des éléments de O1 aprèsin mais en tout cas je peuxoser qu’il y a un élément de O1 qui est plus petit qu’un élément de O2 tu là tout va bien qui sont dans mon interval i ok alors maintenant bah je vais faire une astuce qui ressemble peu ce qu’on a fait avant je vais regarder bah tous ceux qui sont dans O1 et qui sont strictement plus petits que B ok vous voyez tout toute la partie de 1 qui est après je regarde plus là bon ben du coup regarde cette partie là là sur le dessin faut pas raisonner avec le dessin mais l’idée voilà je sais que cette partie là donc c’est une partie qui est non vide bah oui il y a a dedans a est dans 1 est plus petit que B ok donc c’est non vide et c’est majoré bah par définition j’ai pris ceux qui sont plus petits que B donc c’est une partie majorée donc elle a une borne sup vous voyez c’est l’idée c’est de prendre x la borne sub de ce truc là et de montrer maintenant que X peut pas être dans O1 il peut pas être dans O 2 intuitivement ça se voit bien si O1 est un ouvert donc ça borne su là ça veut dire ça l’atteint pas d’accord donc il est pas dedans parce que sinon vu que c’est un ouvert ça déborderait un petit peu et pareil pour de vu que c’est un ouvert si X était dans un ouvert ça déborderait un petit peu par là maintenant il y a juste à écrire ça mais c’est ça l’idée X peut pas être dans 1 et pas dans dans de parce que c’est ce sont deux ouverts quoi ok bon al maintenant il faut le démontrer ok donc X est bien dans I puisquil est compris entre A et B donc ça il y a pas de problème et si X appartient à O2 donc rouge ici bah par définition il existe un petit intervalle autour de X qui est inclus dans O2 puisque o2 est un ouvert donc il existerait un r strictement positif tel que l’interval X- RX est inclus dans O2 et du coup la la ça veut dire que ouz là la borne sub de de de a ce serait plus petit que X- r ça pourrait pas être x quoi OK et donc voilà il existerait comme il existe un y dans O1 aussi proche que je veux de X puisque X par définition c’est la brande sub de O1 donc si je suis entre X- r à X il existe un élément de O1 du coup j’obtiens y qu’ serait à la fois dans 1 et dans 2 et ça c’est une contradiction ok donc voilà donc ça c’est pas possible donc X il peut pas être dans O2 parce que sinon voilà ça déborderait par là mais pareil X peut pas être dans O1 parce que sinon il existerait un petit intervalle là tel que XX + R c’est compris entre dans 1 et dans moins l’infini B parce que B strictement plus grand que X puis que si x est dans O1 et B est dans2 bah du coup X est strictement plus petit parce qu’il sont pas é Go euh bah voilà et donc on pourrait trouver un petit interval entre les deux qui comme ça et du coup bah ce serait plus la band sub parce que ce serait x + R quoi voilà et donc voilà OK et donc X il est pas dans 1 union 2 donc o 1 union 2 c’est pas égal à toutti donc je peux pas réussir à voilà faire un interval avec de ouver bon bref ça se voyait bien mais comme on le prouve formellement c’est pas simple ok si vous connaissez une démonstration plus simple je veux bien que vous me disiez en commentaire où je peux la trouver mais moi j’ai pas trouvé plus Simp ok enfin bref tout ça pour dire que maintenant on le sait les intervalles de r les parties connexes de R sont exactement les intervales de r ok allez un petit exercice comme ça pour rigoler que je vais corriger tout de suite donc celui-là c’est les autres fa attendre les correction d’exo on va le faire tout de suite si prend l’esace métrique on prend deux parties donc on suppose que la distance entre A et B est strictement positive montrer que a union B n’est pas connexe hop stop qu’est-ce qui se passe ah oui alors d’accord je comprends l’objection parce que je lis dans les pensées euh c’est on a dit tout à l’heure que c’était pas ça la définition de de non Connex hein rappelez-vous on a dit que c’était pas c’est c’est si c’était ça pouvait ne pas être Connex avec la distance qui était égale à zéro ok mais là c’est différent c’està dire que c’est si A et B n’est pas Connex alors la distance peut être nulle mais si la distance est strictement supérieure à zéro alors comment on démontre que c’est pas Connex c’est ça l’exercice ok donc je je je vous incite à le chercher si vous voulez d’ailleurs mais sinon voilà la réponse donc prenons deux ensembles dont la distance est strictement positive R et ben non distance de AB je prends r la distance de AB divisé par 2 je divise par 2 cette longueur et comment je vais trouver un ouvert qui contient a et un ouvert contient B qui sont 10joints bah c’est tout con en fait hein c’est une astuce qu’on a déjà vu dans un exercice précédent si vous avez fait tous les exercices jusqu’à présent ça doit vous parler on avait appeler ça VR le voisinage de taille R de B et de a bref c’est l’ensemble des points de E qui sont à distance de A petit que R ce que j’ai dessiné là et au2 ça va être l’ensemble des X2 qui sont en distance de B strictement plus petit que R voilà et bien ça on avait vu que O1 c’était l’union de toutes les boules de centre A et de rayon r et donc c’était un ouvert de e pareil pour O2 et que l’intersection avec O1 avec a union B ben c’est forcément a il y a pas de doute ça contient a et puis ça peut pas contenir un élément de B donc a et puis pareil l’intersection de O2 avec B c’était B que a donc donc c’est un ouvert de a union b b c’est un ouvert de a union B donc ouvert de deux voilà de deux réunions deux ouvert 10 juin donc a union B n’est pas Connex voilà voilà bon c’est pas dur qu’on a l’idée mais après voilà c’est toujours pareil faut y penser qu très bien allez donc maintenant si je réunis des parties connexes bah si j’ai A et B qui est connexe et si la distance de A à B c’est égal à 0 est-ce que a union B est connecte voà ça ça peut être un petit piège un petit vrai ou faux hein si je prends de partie Connex et puis je les mets tout proche est-ce que ça ça devient connexe alors bah la réponse c’est ça dépend parce que ça peut s’emboîter ou ça peut ne pas s’emboîer vous voyez c’est en gros on a déjà parlé au début je bien que vous compreniez cette affaire bah voyez des fois c’est Connex et des fois non la distance entre les deux c’est zéro mais en gros s’il manque la frontière c’est c’est deux ouverts ben non ça peut ne pas être Connect quoi ok donc par contre sil se touchent vraiment c’est c’est pas qu’ils sont à distance Z0 mais qui se touche vraiment c’est qu’il y a un point commun d’accord si je prends donc deux parties connexes A et B et si interse non alors ok alors comment r compte intersection c’est le prier cas où notre définition 3 bien pratiqueition je je une fonction qui va de dans 0 qui continok Pr constantever si je prends la restriction de F comme tout restriction Contin continue continppliationoup je prends X0 dans bah l’image sur a c’est F X0 l’image sur B c’est F X0 donc en fait partout dans A B l’image de F c’est f x0elle est constante sur a sur B du coup elle est constante partout donc elle est constante donc avec ma définition 3 lafinition en de coup de cuillère à ok bon alors maintenant si on prend une famille de parties Connex de E et ben s y a par exemple une famille qui touche toutes les autres s existe un cas tel que AK rencontre tous les AG qui se rencontrre pas entre eux ben n’empêche que la Réunion connecte voyz si j’ai une partie AK qui rencontte toutes les autres parties bah du coup ça union ça et Connect ça union ça et Connect ça union ça et Conn je rajoute petit à petit toutes les autres parties ça devient Connect ok ça j que là donc voilà c’est c’est c’est c’est pas plus dur à démontrer peutêtre par récurrence comme vous voulez et après il y a plein de cas on peut faire 50 théor un peu dans tous les sens si ma famille de parties c’est indexée par Z j’ai voilà A-1 A- 3 a 2 A1 a 4 imaginez l’ensemble comme ça une suite de parties mais qui à chaque fois la partie elle touche la suivante voyz donc celle-là touche pas celle-là touche pas les autres mais à chaque fois il y en a une qui touche les autres et tout çaah voyez la Réunion tout ça ça va être Connect quoi vous pouvez faire des théorèmes peu comme vous voulez des assemblages en cycle en boucle en machin tant que les ensembles ils touchent les un les autres la réunion à chaque fois ça s’étend la partie connecte ça devient de plus en plus grande tout ça voilà on dira plus tard qu’ a une seule composante c’est un seul morceau dès que ça se les morceaux il se ils se recoupent il se touchent ça devient le même morceau quoi ok alors petite réflexion maintenant tiens est-ce que vous pouvez montrer que si a et b sont deux parties connexes alors leur intersection est connexe allez je vous laisse rélchir 30 secondes enfin non je moi je vais le faire tout de suite mais vous vous mettez sur Pause et réer 30 secondes alors si vous avez pas trouvé de preuve c’est normal parce que ça marche pas si vous avez trouvé une preuve c’est pas normal après il faut chercher aussi des contreexemples quand je pose une question pouvez-vous montrer si c’était faut se méfier c’était vrai j’aurais dit montrer que pouvez-vous montrer bah non peut-être pas du coup ben voilà un petit dessin comme ça ça me va très bien le bleu c’est connexe le rose c’est connexe l’intersection des deux ça l’IT pas ok donc faut se méfier évidemment faut aller dans le plan dans R il se passe pas grandchose à ce niveauà une dimension 1 ça va être dur mais dès qu’on est en dimension 2 il se passe des trucs bizarres donc faut pas dire ça par contre voyez he si A et B se Connect c’estinsection est pas forcément connexe ok alors maintenant on va parler un petit peu de connexité et continue parce que c’est quand même un petit peu pour ça j’ai spoilé la vidéo précédente pour les les homéomorphismes bah la connexité ça va être hyper utile donc voilà donc on arrive au théorème le plus important du chapitre c’est même pour ça que ça justifierait la notion de connexité à elle toute seule ce théorème là il dit donc c’est je résume en une phrase l’image d’un Connex par une application continue est un Connex ok c’estàdire voilà je prends E et F deux espaces topologique et F de E dans F une application continue quelle que soit la partie A de e si A est Connex alors F DEA et Connex alors attention parce queil y a un petit piège parce que pour les ouverts c’était une fonction continue l’image réciproque d’un ouvert est un ouvert pour les Connex c’est l’image directe d’un Connex c’est un Connex ok c’est pas dans le même sens faut se méfier hein ok alors en plus ça se démontre enfin on va faire d’abord une application avant de voir la preuve qui est pas très dur on va voir une petite application si je prends les fonctions de r dans R donc de de AB dans R une application continue B on l’ déjà vu AB c’est un intervalle d’accord donc l’image de F c’est un intervalle Paris que l’image de F Connex l’image de Connex c’est un Connex donc l’image de F c’est un interval d’après ce théorème ok mais qu’est- ça veut dire l’image de F interval ça veut dire que B si je prends une valeur entre FA et FB d’accord vu que F DEA c’est dans l’image et FB c’est dans l’image et c’est un intervalle toutes les valeurs entre les deux sont dans l’image donc il existe un C dans AB tel que FC é= V automatiquement voyez c’est ça que ça veut dire autrement dit si je fais un petit dessin si je prends une valeur entre FA et FB ici ben il existe au moins un C dont c’est l’image bah ce théorème normalement vous connaissez déjà sous un autre nom d’accord c’est le TV le théorème des valeurs intermédiaires ce théorème là quand on prend une application de r dans R c’est exactement la même chose que le théorème des valeurs intermédiaires et donc ça c’est une généralisation absolument incroyable parce queespace topologique ça vous AES déjà vu ça généralise beaucoup beaucoup r dans les espaces vectoriels normés dans les espaces métriques et même dans les espaces où il y a pas de métrique on a toujours image d’un Connex c’est un Connex énorme généralisation de ce théorème des valeurs intermédiaires et en plus qui se démontre en de coup de cuillère à peau c’est marrant parce que le TVI était pas si simple que ça à démontrer en fait la partie dure a été cachée dans le fait que les intervalles de R sont Connect c’est ce qu’on a fait tout à l’heure avec le SUP où j’ai un peu galéré parce que là là la partie l’image d’un Connex un Connex elle est très simple quand on prend la définition 3 encore là donc soit A une partie connexe de e OK et ben je vais montrer que F2A l’image est une partie connexe de F qu’est-ce que je fais je prends une application continue de F DEA dans 01 que j’appelle Phi il faut que je démontre que cette application Phi est constante OK et ça me prouvera que F DEA est Connex bon d’accord mais enfin tu connais rien sur cette application fi alors bonne chance quoi oui sauf que je sais que A est connexe et donc si je prends l’application firon F celle qui va de a dans 01 en passant par là OK et ben c’est une composée de deux fonctions continues f est continue Phi est continue donc c’est fonction continue OK et donc va de a qui connecte dans 01 elle est continue donc elle elle est constante voilà si je fais de ça dans ça elle est constante ok donc quel que soit a dans A F de Phi de a c’est 0 tout le temps pour tout a ou pour tout a dans A F de fi de a c’est 1 il y a pas d’autre choix F de Phi c’est une application constant ok bon très bien mais si je prends un B qui est dans fa ça veut dire qu’il existe un petit que B tout le temps c’est la définition de f c’est tous les éléments qui peuvent s’écrire donc pour tout B dans le petit a soit B il vaut 0 soit il vaut 1 donc l’application F elle est bien constante et donc bien Conn et donc GAMEOVER ok fantastique non tout démontré et th généralist de façon hallucinante un théorème compliqué incroyable donc c’est là que la puissance de la topologie de l’abstraction permet de démontrer plein de trucs donc voilà F2A et Connex ok alors maintenant on va faire des petites applications pour s’amuser il serait quand même temps si je prends un cercle dans R2 je dis que c’est Connex alors pourquoi B parce que je peux prendre une application donc de de r dans R2 qui a T associe X0 + R COS t y0 + R sinus t alors là vous reconnaîrez vous reconnaîtrez sans doute la paramétrisation du cercle de centre X0 y0 et de rayon r hein effectivement là si je prends l’angle t ici les coordonnées du point ici bah c’est exactement euh la différence avec X0 y0 c’est r c t r sinus t r étant le rayon d’accord les points n trigonométriques he c’est COS t sinus t on multiplie par R et donc on ajoute X0 y0 PAM on trouve le point fi de T donc ça c’est une application continue parceque cos et sinus sont continu la somme est continue multiplication par une constante c’est continue tout ça donc ça c’est bien une application continue de r dans R2 R est connexe donc son image le cercle est connexe donc j’aurais pu prendre 0 de PI hein mais ça suffisait qui est aussi connexe un intervalle parce que là je fais plein de fois le tour mais on s’en moque un cercle donc c’est une partie connexe du plan sur un seul morceau bah on le savait bah oui mais voilà comment on le prouve quoi ok donc F continue donc hop donc maintenant tiens si j’assimile la la surface de la Terre à une sphère d’accord c’est pas vraiment une sphère mais admettons c’est pas grave donc l’équateur c’est un cercle donc c’est une partie connecte OK et ben montrer que sur l’équateur il existe deux points diamétralement opposé dans la sur lequel il règne la une température absolument identique voilà voilà alors évidemment pour pouvoir résoudre ce système il faut admettre que la température est une fonction continue de l’endroit sur lequel on se passe sur Terre ce qui est complètement vrai je veux dire il est pas possible vu que avec des échanges de chaleur et tout ça si on se balade en plein air il est pas possible que de points hyper proch des températures différentes d’accord ça c’est pas la température de l’air c’est bien une fonction continue VO quand on va partir des zones chaudes des zones froides ça va passer par toutes les valeurs entre les deux d’accord on peut pas tout d’un coup dire ah il fait 5 ah il fait 12 non c’est pas possible c’est voilà ça va ok donc on a on admet l’hypothèse que la température est continue ce qui n’est pas une hypothèse délirante du tout et la question c’est pourquoi forcément là à tout moment même en ce moment sur terre il y a deux points diamétralement opposés sur l’équateur qui enfin j’ai pris l’équateur mais n’impor grand cercle he que vous auriez pu prendre sur la sur la terre ça marchait pareil pourquoi il y a deux points diamétralement opposés qui ont la même température bigre bigre alors je peux pas prendre de points à 90°g he ça je suis pas sûr du tout qu’ ça existe mais deux points à l’opposé qu’ la même température je suis sûr que ça existe c’est dingue ce qu’on peut faire avec ce théorème là de l’image Connex c’est un Connex quand même alors donc je vous laisse réfléchir un peu et je donner la solution mettez sur Pause si vous voulez ok donc prenons un point M de l’équateur je note T2M sa température et donc j’admet que c’est une application continue de M et puis j’appelle op de M le point dientalement opposé bah c’est pareil l’application qui a M associe son point diamétralement opposé et continue bien si M il bouge tout doucement là bah l’opposé aussi donc c’est bien une application continue et je regardé l’application donc qui va de mon cercle dans R qui a un point M associe la différence entre la température en m et la température au point opposé de M ok bah si c’est zé bah j’ai gagné il y a deux points qui ont la même température sinon bah peut-être il fait plus chaud en M qu’à ce point opposé donc sera positif OK et pourquoi ça reste pas tout le temps positif du coup bah l’astuce alors déjà c’est que f est continu donc je va pouvoir utiliser le thorme valeurs intermédiaires puisque l’image d’un Connex est un Connex donc l’image du cercle ça va êre un Connex de R et bah l’astuce en fait c’est que F du point opposé à M si je réfléchis bien bah ça fait la température de point opposé à M moins la température du point opposé au point opposé à M c’estd la température en M donc c’est moin F2M bah oui si je fais un demi-tour je la différence entre la température là et la température de l’autre côté ben je fais un demi-tour hop ça c’est inversé donc la température l’écart entre température c’est l’inverse si là c’était + 3 entre lui et lui bah du coup entre lui et lui c’est – 3 ok donc quand je fais tourner mon point M là bah une fois que j’ai fait un demi-tour je suis passé d’une valeur positive à une valeur négative ou d’une valeur négative à une valeur positive mais en tout cas j’ai changé de signe donc l’image de mon application F dans R contient des valeurs positives et négatives et l’image c’est un intervalle parce que l’image d’un Connex c’est un Connex de r etc les Connex de R sont les intervalles et donc un interval contient un point négatif un point négatif il contient zéro donc l’image de F étant un interval et F changeant de signe F s’annule donc il existe un point où F dem vaut 0 et donc pour laquelle la température de M est égale à la température des point imposé marrant non très bien ok ok donc après il y a même des théorèmes plus compliqué al je je l’ai pas fait parce que je vais pas trop vous embrouiller on pour même démontrer qu’il existe deux points diamétralement os ENF aux antipodes donc pas forcément sur l’équateur mais deux points au antipodes sur terre quelque part où il fait à la fois la même température la même pressionant que la pression est continue aussi bref pe faire d’ut trucs rigolo voilà ok application 2 donc si je prends intervalle réel donc Connex une application F de i dans R évidment je prendsation continue bon le grahe de F G vous savez ce que c’est c’est l’ensemble des points des plans définis par les couples x FX y FX pour tout X dans I bon voilà si f continue l’application là qui a X X FX est continue prière composante continue identité deè composante continue on déjà vu du coup ça faisait une fonction continue et donc son image Conil d’accord donc l’image bienune fction Contin nimporteac comme ça et con on peut la tourner dans tous les sens déjà vu c’était une rotation c’est un homéomorphisme et donc ça conserve la topologie donc OK alors ensuite l’application déterminant donc qui va des matrices inversible dans R est continue puisque c’est un polynomeme coefficient c’est le déterminant très compliqu il y signatur des permutations pour le signe et tout mais c’est un polynôme c’est que des produits d’accord des produits des coefficients et des sommes de produit de coefficient donc c’est continue son image éto qui pas Connex donc l’espace de départ n’est pas Connex ça marche dans l’utre sens aussi si j’ai une application qui va d’un ensemble qui est continu et dont l’image n’est pas connexe bah c’est que l’espace de départ était pas Connex donc Gln 2R était pas Connex voilà comme je vous avais annoncé tout au début de de de cette vidéo OK et ben très bien je vous remercie d’avoir suivi jusque là on a bouclé la boucle j’espère que ça vous a intéressé envie en savoir plus et donc je vous dis à bientôt pour avoir la notion de composant de Connex de Connex parar qui est de encore plein de choses très très utiles allez ciao ciao et un dernier mot c’est une post crédit pour remercier voilà les tipeurs de plus en plus nombreux de plus en plus généreux qui me permettre de vivre une vie royale et donc je vous embrasse et j’espère que ça vous a plu je vous fais des gros bisous ciao ciao et à bientôt