À l’aube du XXème siècle, les mathématiques connaissent d’importantes percées dans tous les domaines : en théorie des nombres, en géométrie, en topologie, en analyse, en logique, en algèbre.
C’est dans ce contexte que se placent les travaux de la mathématicienne Emmy Noether. Elle comprend mieux que quiconque que le formalisme algébrique fournit des outils très puissants et très généraux pour reformuler, établir des liens, comprendre en profondeur et finalement résoudre les principaux défis mathématiques de son époque.
Par sa généralité, sa profondeur, sa justesse et sa pertinence, l’œuvre d’Emmy Noether est aujourd’hui considérée comme l’une des œuvres majeures des mathématiques du début du XXème siècle.
Conférence du cycle “Un Texte, Une Mathématicienne” de la Société Mathématique de France, donnée le 20 mars 2024 à la Bibliothèque Nationale de France.
[Musique] bonsoir à toutes et à tous et bienvenue à la Bibliothèque nationale de France alors ce soir on a la chance d’accueillir les lycées Bliss Pascal Jules Ferry la fontaine Sophie Germain Charles Magne Évariste Galois et Flon Sainte-Marie j’espère que j’oublie personne on pense également au lycée
Louis Armand et au lycée français d’Oslo qui nous suivent à distance alors pour celles et ceux qui ne connaissent pas déjà les conférences un texte à mathématicien elles sont organisées en collaboration par la Bibliothèque nationale de France animat l’association et la société mathématique de France le magazine tangente et la
Fondation bless Pascal sont partenairirees de ce cycle alors la saison 2024 continue avec cette 3e séance aujourd’hui c’est Xavi carouso qui nous parlera des idéos des mutaires à ce propos la société mathématique de France a édité un livret sur la mathématicienne émine terre que vous trouverez à la vente sur le site de
La société mathématique de France la SMF c’est pas cher et c’est de grande qualité donc n’hésitez pas xavier est directeur de recherche en mathématiques au CNRS à l’Université de Bordeaux il a passé le bac à Cann au lycée Bristol en 97 puis il a fait une classe prépa au
Centre international de Valbon pas très loin de Cann après une scolarité à l’École normale supérieure de Paris il soutient en 97 une thèse intitulée attention conjecture de l’inertie modérée de S c’est bien ça c’est pas 97 c’était le bac mince ah oui il y a une petite
Erreur c’était en 2005 c’est ça il est il est au CNRS depuis lors d’abord à Rennes puis à Bordeaux où il est maintenant ses recherches en mathématique portent sur l’algèbre et l’arithmétique sa spécialité étant les nombres péadiques il s’intéresse également aux applications de cette notion en probabilité et en informatique
Xavier a également une activité de diffusion bien rempli il a entre autres réalisé le film mais où est donc le petit côté qui explique certains effets d’optique dus à la réfraction de la lumière Xavier a également créé le cycle de conférence mathématique parc que certains certains d’entre vous suivront
Peut-être bientôt parce qu’il est destiné aux élèves de licence et de prépas scientifique bonne exposé à toutes et à tous Xavier je te laisse la parole merci be oh ça marche merci beaucoup pour cette introduction bonjour à tous je suis très é d’être ce soir à la BNF pour faire cet
Exposé sur une grande une grande mathématicienne pardon du début du du 20e siècle comm nous allons le voir donc qui est é mineutire donc dans cet exposé j’aimerais vous présenter sa vie son œuvre et sa contribution donc au mathématiques donc je commence effectivement c’est ma partie 1 par une
Vue sommaire de ce qui a été la vie et l’œuvre de l’œuvre scientifique de éminoire donc pour commencer quelques repères sur sur sa sur sa vie quelques repères biographiques donc i ne né à herlangen donc en Allemagne en 1882 son père et vous voyez apparaître ici sur l’écran et Max Neter qui était
Lui-même mathématicien et qui travaillait comme professeur à l’Université d’Erlangen sa mère c’est Ida Kauman alors malheureusement vous voyez que j’ai pas trouvé de de portrait d’elle sur internet donc vous avez juste le droit à une silhouette euh donc i Neire euh passe son enfant c’est ça fait sa scolarité à airlangen euh
Jusque donc à l’âge de 18 ans en 1900 elle obtient un diplôme pour enseigner les langues donc les langues en l’occurrence c’est le le le français et l’anglais langue qu’elle apprend donc ça langue évidemment sa langue natale sa langue natale c’est le l’allemand dans une école de jeunes filles euh ceci dit
Euh il semble à peu près clair que sa passion déjà dès cet âge était portée sur les mathématiques qu’elle a en particulier je pense appris auprès auprès auprès de son père que je rappelle donc était mathématicien euh en tout cas euh bien queelle ait obtenu ce diplôme pour
Enseigner elle ne va jamais vraiment l’utiliser en tout cas elle va jamais euh enseigné dans cette école dans dans une école dans cette école de jeunes filles les langues et dès l’année suivante donc dès 1901 elle poursuit des études à l’université d’Erlangen alors en fait euh elle et Minter n’a pas le le
Baccalauréat à ce moment parce que tout simplement parce que d’après ce que j’ai compris l’examen du baccalauréat à cette époque n’était pas ouvert pour les filles donc elle n’a pas pu le passer en particulier elle peut pas vraiment s’inscrire en tant qu’étudiante à l’université donc elle y va plutôt en tant qu’auditrice
Là encore c’est pas forcément facile elle doit demander explicitement l’accord à chacun des des professeurs de pour s’il veut bien ou non qu’elle assiste à son cours ce n’est qu’en 1903 que il y a possibilité justement pour les pour les jeunes filles de passer l’examen du baccalauréat le rifer prung en allemand
Et donc dès que cette possibilité est ouverte elle elle s’inscrit et elle le passe donc en 1903 à à nurberg donc nurberg c’est une ville qui est très proche d’lang euh dans la foulée elle continue des études mais cette fois-ci plus à l’université d’Erlangen mais à l’université de guttingen donc gtingen
C’est un peu plus au nord en Allemagne et il faut il faut comprendre en fait que gtingen c’est vraiment le centre nevalgique pour les mathématiques en Allemagne c’est vraiment là où harlangen est une toute petite université gotingen c’est vraiment le grand centre où les les mathématiques modernes se font et elle a
Probablement sur les sur les conseils de son père d’ailleurs elle va poursuivre ses études là-bas et là on voit maintenant qu’elle a complètement peut-être pas abandonné mais enfin en tout cas qu’elle se focalise plus sur les langues mais elle étudie l’astronomie et les mathématique et surtout les mathématiques en fait alors
Malheureusement au bout de de semestre à peine elle tombe malade et elle est contrainte de rentrer à alangen et donc elle peut rester finalement à gtingun que que quelques années que quelques mois parardon mais elle a l’occasion à cette à ce moment de rencontré grands mathématiciens de l’époque donc sont un
Gutingen donc en particulier David Hilbert dont on va reparler un petit peu dans la suite et euh Félix Klein euh Félix Klein quiil est probable qu’elle connaissait déjà avant vu que c’était un ami de son père et qui est qui qui a été un moment aussi lui-même à
Alangen donc je disais à à à à après ce bref passage à gtingen elle retourne à à alangen continuer ses études à l’université d’Erlangen donc et entre 1904 et 1907 à peu près elle prépare une thèse de mathématique sur la théorie des invariants donc son directeur de thèse c’est Paul Gordan que
Vous voyez ici alors comme je le disais il faut savoir que harlangen c’est une petite université essentiellement il y a que deux deux professeurs de mathématiques qui sont ben max nter son père et Paul Gordan donc finalement il pas énormément de choix pour choisir un directeur de tèse
Mais ça lui convient quand même très bien je pense donc elle fait sa thèse sous la direction de Paul Gordan elle a soutien en 1907 avec la meilleure note possible enfin la meilleure mention possible ce qu’on un peu l’équivalent de ce qu’on appellererait aujourd’hui les félicitations du
Jury entre 1907 et 1915 çaens une période où pas vraiment de stabilité mais en fait en tout cas où elle elle elle elle n’a pas de de de poste de de de support disons pour pour pour pour enseigner euh mais elle est sa passion pour les mathématiques ne s’en démour
Pas et elle va enseigner pendant toutes ces années bénévolement à l’université d’Erlangen remplaçant euh j’allais dire occasionnellement mais en fait régulièrement son père de temps en temps et Paul Gordan à d’autres moments euh en fait c’est un arrangement qui convient assez bien à son père qui avait une
Santé plutôt fragile donc certain moment il était bien content que sa fille puisse le remplacer et qui était évidemment tout à fait compétente à ce moment elle rencontre aussi Fisher qui vient qui est recruté à l’université d’langen et c’est vraiment une personne avec qui elle va se lier
D’amitié et beaucoup beaucoup parler de mathématique et c’est à ses côtés ensemble qui vont vraiment apprendre les mathématiques modernes entre guillemets en tout cas celles qui sont faites à gotingun et que discussions pas vraiment cette collaboration parce que je pense pas qu’ils a écrit d’article ensemble maises discussions permanente qu’ avec Fisher
Vont vraiment influencer sa manière de voir les mathématiques dans la suite en 1915 elle est invitée par Hilbert et par Klein à l’université de gotingen alors le plan initial c’était de l’inviter sur ce qu’on appelle un poste de Private dosent donc bon ça existe plus mén mais
C’est une sorte de de poste qu’on peut avoir en général après avoir soutenu une thèse qui en général n’est pas rémunéré mais qui donne quand même accès à à l’enseignement on peut donner des cours avec ce poste et euh qu’est-ce que je disais oui donc elle est invitée sur l’idée initiale
Était de qu’elle puisse venir sur un tel poste en vue de préparer ce qu’on appelle une habilitation donc a un diplôme supplémentaire qu’on passe après la thèse et qui permet lui d’accéder à des postes de professeur à l’université alors malheureusement les choses se passent pas exactement comme
Ça parce que donc la la faculté de math qui était assez proche de la faculté était assez proche à cette à ce moment la faculté de philosophie et les philosophes ne n’acceptent pas qu’une femme puisse accéder à un poste de Private docent donc sen suivent des des
Tensions entre la faculté de math et la faculté de philosophie qui si j’ai bien compris quelques années plus tard va conduire à la séparation des deux facultés le pour ce qui concerne noteur l’arrangement est le suivant elle est quand même invitée à à aller à gotingun où elle va pouvoir aussi enseigner toujours
Bénévolement mais les officiellement les cours devront être donnés sont donnés par Hilbert ou par Klein selon le cas sauf que en pratique c’est vraent elle qui officie devant les les étudiants et les étudiants et les études les étudiants c’est à ce moment qu’elle rencontre Richard dekin qui va jouer un
Rôle aussi dans sa carrière mathématique dont on reparlera par la suite donc un grand mathématicien de de cette époque elle passe en fait son habilitation en 1919 et finalement encore plusieurs années plus tard en 1923 elle obtient enfin ce prof d’enseignant ce poste pardon d’enseignant à l’université l’enseignante à l’université qu’on
Appelle lera trag F algebra donc elle va le le garder pendant pendant 9 ans jusqu’en 1932 et là se passe un nouvel événement important dans dans la dans la vie de notire c’est qu’en 1933 le régime nazi arrive au pouvoir en Allemagne et alors je l’ai pas pas je l’ai pas dit encore
Mais notaire est bien que non pratiquante est juive et issue d’une famille juive et à ce moment le gouvernement fait passer une loi qui interdit aux Juifs d’enseigner en particulier à l’université et donc le poste pardon et donc le poste de notire le poste d’enseignant d’enseignante qui
Avait notire lui est retiré et elle se retrouve encore une fois sans emploi ceci dit notire à cette époque de sa a atteint une certaine notoriété elle reçoit des invitations de ses collègues étrangers en particulier en Russie en en en Angleterre et aux États-Unis et finalement elle va aux États-Unis
Donc dans une université qui s’appelle brin ma al c’est pas du tout un nom un nom un nom italien c’est plutôt du Breton ça veut dire petite colline si je dis pas de bêtises donc une université très proche de Princeton donc Princeton où il y a le grand centre nouvellement créé
L’as l’Institute for advance studies qui est à vocation à devenir vraiment un grand centre scientifique et où il a par exemple Einstein l’invitation normalement était pour une année mais elle mais elle a été reconduite une deuxème année et après ceci il y a une FA un peu tragique parce
Que Nether décède en fait en 1935 des suitees d’une complication d’une maladie en fait elle avait un kiste aux overts et et donc elle a dû être hospitalisée et à la suite de C elle est décède à la suite de cette hospitalisation des suites de des complication donc de de
L’opération donc voilà pour quelques repères bi biographiqu pardon sur la sur la vie de notire et donc maintenant je vais essayer de rentrer un peu plus peut-être dans les dans les mathématiques mais avant de parler des mathématiques de Neire je vais essayer de vous brosser un paysage de ce que
Sont les mathématiques au début du 20e siècle alors bien sûr ce sera largement incomplet mais je voulais vous montrer que au début du 20e siècle donc à la période où a vécu notare les mathématiques sont vraiment en pleine effervescence il y a vraiment des choses vraiment des mathématiques nouvelles qui
Apparaissent ou des mathématique qui se renouvelle complètement qui se développe à travers quelques exemples qui vont vraiment marquer la la carrière de notaire donc le premier bon c’est pas proprement parler des mathématiques disons mais c’est la physique je pense qu’il faut vraiment le mentionner c’est l’époque où les les les grandes
Nouvelles théorie physique apparaissent donc ça vous aura pas échappé la relativité euh et euh donc avec Einstein et la mécanique quantique qui sont les deux grandes révolutions du début du 20e siècle donc ici j’ai cité Schrodinger mais ce n’est pas le seul bien sûr a contribué à la mécanique quantique il y
A plein d’autres gens notamment euh euh le principe d’isenberg euh alors c’est certes c’est de la physique mais c’est quand même de la physique qui demande beaucoup de mathématiques qui est très lié à la physique c’est il y a beaucoup de notions mathématiques derrière donc c’est quelque chose qui risonne dans ce
Que font les mathématiciens de l’époque un autre point qui prend énormément d’ampleur à cette époque c’est ce qu’on appelle la théorie algébrique des nombres c’est essentiellement l’arithmétique avec comme grand disons grande réalisation la démonstration de nouveaux cas du théorème de ferma alors je reviendrai là-dessus donc j’en dis
Pas plus pour l’instant mais ça va être je reviendrai par la suite sur ce point dans la dans mon exposé euh les les artisans disons de de ce de ce développement sont richardkin qu’on a déjà vu donc on a vu qu’ a eu l’occasion de rencontrer notire et je voulais citer
Aussi komer Ernst coomer qui est qui a beaucoup vré dans ce dans ce domaine une autre chose qui arrive en mathématique c’est le le développement de ce qu’on appelle maintenant la topologie par le mathématicien français henry. car et qu’est-ce que la topologie je l’ai défini ici de cette manière
C’est des nouvelles méthodes de calcul pour étudier les formes géométriques donc le l’objet d’étude c’est les formes géométriques et ce qui est surtout important je pense dans dans cette phrase c’est vraiment qu’on l’étudie par le calcul on va plus faire des on va vraiment faire des calculs sur ces
Objets géométriques des des des calculs au sens mathématique du terme et ça donne ce que je rencontre Point Carré c’est qu’il comprend que faire des calculs comme ça c’est possible et ça donne vraiment des outils puissants pour étudier ces formes géométriques de manière plus générale la géométrie peut-être un peu plus
Traditionnelle qu’on connaît qui sont pas juste les formes mais les longueurs et ce genre de choses se développe aussi beaucoup euh notamment sous l’influence de Félix Klein qu’on a déjà vu qui qui lorsqu’il était langangen a présenté ce qu’on appelle maintenant le programme d’arlangen et le point de vue en
Géométrie change un peu radicalement c’est-à-dire que au lieu de de considérer que les objets fondamentaux je sais pas c’est les droites les triangles les cercles comme vous êtes habitué à le faire euh et bien le les objets fondamentaux de la nouvelle géométrie de son kine disons ça va être
Les transformations donc plutôt les translations les rotations les symétrie ce genre de chos et et et Félix Kin va vouloir étudier ces transformations leur propriétés d’invariance et surtout faire du calcul sur ces transformations à nouveau donc encore la notion de calcul sur des objets un peu différents apparaît à ce
Moment notre branche de la géométrie qui est un petit peu différente et ce qu’on appelle la géométrie algébrique qui elle aussi se développe euh beaucoup à cette époque et à nouveau les personnes qui contribuent le plus ce sont ben le père de notire lui-même max notire et si dans
Géométrie algébrique on inclut ce qu’on appelle la théorie des invariants et je peux pas ne pas citer David Hilbert qui est une des grandes figures de de de de ces développements je reviendrai sur la partie géométrie algébrique par la suite donc pour l’instant j’en dis aussi pas
Beaucoup plus et enfin il y a l’algèbre euh qui qui aussi fait son apparition à ce moment enfin l’algèbre existit depuis très longtemps mais je veux dire qu’il se renouvell aussi à ce moment et là pour le coup bah c’est justement éineire qui va être l’une des principales contributrices au développement de
L’algèbre comme j’espère vous en convaincre dans la suite de l’exposé alors qu’est-ce que l’algèbre pas forcément facile à définir euh disons quelques mots pas une définition formelle mais c’est ce que j’ai envie de dire c’est l’art de faire de calcul donc pour reprendre ce terme de calcul que j’ai utilisé donc par
Exemple si vous vous rappelez euh des cours de math de du collège ou du lycée bah tout ce qui est développement factorisation manipulation d’expression avec des X d y résolution d’équation ce genre de chos c’est rentre dans l’algeèbre euh ceci dit en donc au début du 20e siècle la gèbre se transforme euh
Complètement et elle ce n’est plus juste l’art de faire des calculs des pages et des pages de calcul comme ça mais ça devient une réflexion sur le calcul alors qu’est-ce que j’entends par là et pourquoi pourquoi on a besoin de de se pourquoi les mathématiciens et les mathématiciennes ont ressenti le besoin
De de changer comme ça radicalement ce point de vue sur l’algeèbre ben c’est ce que j’ai essayé de vous faire comprendre tout à l’heure qu’on commençait à faire des calculs avec des trucs qui étaient pas forcément des nombres on faisait des calcul avec des des transformations géométriques avec des même des figures
Géométriques ce genre de choses on commence à faire des calcul avec des objets de plus en plus variés et donc on arrive ce besoin de réfléchir un peu plus précisé à ce qu’est le calcul dans l’espoir peut-être un peu dissimulé encore à l’époque de bah si on a toute
Une théorie qui marche avec les nombres est-ce qu’on pourrait pas laetransposer directement avec d’autres choses et donc c’est à ce moment qu’apparaissent des nouvelles définitions je vous en donne une qui va être importante dans la suite de l’exposé voilà une définition donc un anneau c’est un un mot en mathématique
C’est un ensemble donc un ensemble ça veut juste dire qu’on met des des objets groupe quoi en particulier j’assis c’est pas forcément des nombres euh sur lesquels on sait faire des additions des soustractions et des multiplications donc vraiment les trois opérations élémentaire du calcul et donc on va vouloir étudier ces
Ados euh pour pour eux-mêmes sans s sans se préoccuper de savoir ce qu’on additionne ce qu’on soustrait et ce qu’on multiplie donc je vous donne des exemples on va en voir d’autres dans la suite mais euh juste pour avoir une idée bon bien sûr les premiers exemples c’est
Les nombres bien que je vous ai dit que c’était pas l’objet qu’on avait forcément envie de considérer le plus pour mais c’est quand même un exemple important donc il y a les nombres alors les nombres vous pouvez les décliner sur pleine de manière les nombres entiers les nombres rationnels les nombres réels
Vous avvez plein plein de de façons de considérer les nombres euh j’ai mis aussi les congruences alors si vous en avez entendu parler ben vous savez qu’on sait faire des opérations aussi sur les congruences addition soustraction multiplication et donc ça rentre dans le cadre de ces anneau mais un autre objet sur lequel
Qu’it aussi additionner soustraire et multiplier par exemple c’est les fonctions qui sont pas des nombres donc quand vous avez des fonctions comme je le dis vous pouvez additionner soustraire multiplier des fonction et là encore vous pouvez le décliner sous pleine manière vous pouvez prendre que les fonctions continues les fonctions
Dérivables ou plein d’autres propriétés que vous n connaissez sur les fonctions en général ben on continue à savoir additionner soustraire et multiplier et donc tout ça c’est des anneau et on a envie de pouvoir avoir des résultat qui englobe euh tout tous ces cas une se en
Une seule fois donc c’est un peu la la la promesse disons de l’algèbre et c’est un peu ce que c’est exactement ce que eminoter va réaliser durant sa carrière alors pour être un peu plus précis quelles sont les contributions principales de de éinoter euh je les découpe en en trois
Peut-être périodes ce qu’on fait traditionnellement donc la première période c’est essentiellement la période où elle est à alangen juste après sa thèse pas tout à fait mais presque donc disons de 1908 à 1919 elle étudie ce qu’on appelle la théorie des invariants bon je vais pas vous expliquer trop ce
Que c’est la théorie des invariant c’est pas vraiment l’objet du sujet mais sachez que c’est un truc d’algèbre qui est très en vogue à l’époque et et et c’est vraiment à ce moment que s’opère pour ne la transformation où on passe de l’art de faire du calcul à la réflexion
Sur le calcul à à mon sens la thèse de notire est très très calculatoire vous avez des tonnes de calculs sur des pages et des pages et des pages et donc c’est vraiment l’art de faire du calcul si on veut et c’est la vision qu’avaient les mathématiciens enfin son en particulier son directeur
De thèse Paul Gordan et peu à peu même relativement vite en fait en lisant les les notamment au côté de her Fisher euh notire se rend compte que il y a un autre point de vue qu’on peut adopter pour éviter justement ces calculs et avoir quelque chose de plus conceptuel
Plus abstrait et infin elle va arriver elle va adopter ce nouveau point de vue et elle va arriver à avoir des théorèmes plus généraux plus dans le style de l’algèbre sur et mais qui pourtant vont avoir des applications c’est ça qui est relativement exceptionnel disons c’est que certes on se pose des questions
Générales sur les additions les multiplications et les soustractions mais on arrive quand même à avoir des applications et c’est pas des applications anodines là par exemple la théorie de la des invariants permet de comprendre des développements de la relativité par exemple et c’est peut-être encore plus vrai avec la
Physique théorique moderne qu’avec la relativité mais bon je l’ai pas mentionné parce que évidemment ça existait pas à l’époque donc on peut pas dire que ce soit une motivation de notaire la deuxème période c’est le moment où elle va vraiment étudier la théorie des anneaux donc les anneaux ce
Qu’on a ce qu’on a vu donc j’ai mis 1920 1926 et là encore c’est pas juste pour le plaisir qu’elle va étudier la théorie des anneaux mais elle va arriver avec des applications et les application je vais un peu plus détailler ce point dans la suite de mon exposé ça va être des
Applications à l’arithmétique à la géométrie algébrique alors au au grand au grands domaines dont j’ai que j’ai déjà évoqué tout à l’heure qui sont les vraiment les les les grands domaines qui sont en bouleversement en mathématique et qui intéressent les gens euh la 3ème période de 1927 jusqu’à
Jusqu’à sa mort donc en 1935 est consacré à ce qu’on appelle l’algèbre non commutative alors là aussi je vais pas trop vous en dire plus sur ce que c’est mais c’est encore de l’algèbre vous voyez c’est dans le titre et là encore par ces développements elle va arriver à avoir des applications alors
C’est des applications qui sont plutôt arriv après à postériori mais n’empêche c’est des applications à la géométrie algébrique très très très présente aujourd’hui et à la physique aussi notamment la mécanique quantique qui est une grande utilisatrice de d’algebre d’opérateur euh donc de choses qui sont pas commutatifs donc là c’est les trois
Grandes périodes je pense de la carrière de notire point de vue mathématique à côté de cela je voulais mentionner aussi que ne était quelqu’un de très généreux dans le partage de ses idées elle a eu beaucoup d’étudiants et d’étudiantes euh avec qui elle a donc partagé beaucoup d’idées elle les a donné beaucoup
D’idées et donc je voulais citer le cas de d’une étudiante qu’elle a eu Gret Herman euh qui a soutenu sa têse je pense en 1925 ou enfin en tout cas qui a travailler avec elle en 1925 et donc le sujet de sa thèse qui était vraiment euh
Euh les idées de notaire euh a conduit à euh ce qui s’appelle aujourd’hui les bases de gromur alors j’imagine que vous avez pas entendu parler de base de gromur enfin peut-être que si mais pas forcément il faut il faut le comprendre comme un moyen de de faire des calculs
Explicites donc cet art de faire du calcul dans la dans le cadre de la théorie des anneaux mais sur ordinateur donc c’est un peu je pas c’était exceptionnel mais enfin c’est à cette époque évidemment les ordinateurs existaient pas ou pratiquement pas mais se posait quand même la question de
Savoir comment automatiser ces calculs et ça a donné la thèse de Gret Herman qui a eu après énormément de de de déco dans la dans dans dans la suite donc ça a été repris en particulier donc par grumner que vous voyez par bberger qui ont vraiment développé ce
Truc là qui sont venus à à à à en créer des vrais algorithmes qu’on peut implémenter sur un ordinateur par exemple dans mon ordinateur il y j’ai plusieurs implémentations des bases de Gromer et qui aujourd’hui servent vraiment à la géométrie algébrique à l’informatique et qui ont aussi plein
D’applications alors que du temp de notaire était pas présente évidemment mais à la robotique à la cryptographie et cetera c’est vraiment outi qui est devenu fondamental aujourd’hui euh en euh euh dans plein domaine et euh les prées sont vraiment du aux idées de notaire quelle a été la la
Reconnaissance des travaux de notaire de son vivant euh elle a étit plutôt bonne euh bien que euh en fait les les les gens disons de la vieille génération ne comprenaient pas toujours l’intérêt de travailler dans un contexte abstrait si général pour eux les enfin pour certains les les les véritables le problème
Concret d’arithmétique de géométrie algébrique et cetera était plus important que développer l’algèbre générale alors malgré cela notire a eu un écho très très important auprès des jeunes mathématiciens de l’époque je vous ai mis une photo de famille donc vous avez vous avez notire à gauche vous l’avez reconnu et là vous
Avez plein de de de mathématiciens qui sont plus jeunes que notaire qui ont été parfois des étudiants de notire parfois non mais avec qui elle a énormément collaboré énormément échangé avec qui elle a partagé de façon très généreuse touteses idées son point de vue sur l’algèbre qui sont devenus des grands
Mathématiciens donc il a des gens dans la salle qui sont des algébristes ou qui ont fait des études d’algèbre vous reconnaîtrez sans doute vite de ring Jacobson qui sont des grands noms de l’algèbre à braower qui ont tous été donc à un moment influencés par l’œuvre
De ne et qui par ailleurs ont réussi à à partager le leur enthousiasme avec toute la communauté mathématique je pense notamment à vaner Verden que vous voyez en haut en haut à droite euh sur l’image qui a écrit un livre qui s’appelle enfin qui s’appelait à l’origine modne algebra mais qui
Finalement s’appelle algebra maintenant donc algèbre dans lesquels il partage le point de vue de notaire et il arrive à à expliquer à expliquer ses idées à montrer la puissance des idées de notaire et en particulier qui a été un succès auprès de de la communauté mathématique qui a beaucoup euh
Contribué à la diffusion des de ce nouveau point de vue sur la sur à la fin de sa vie c’est un peu disons la consacration entre guillemets euh en 1932 euh notire est est invité au Congrès international des mathématiciens alors je pense que ça s’appelle toujours pas le Congrès international des
Mathématiciens et mathématiciennes mais donc une mathématicienne invité au Congrès international des mathématiciens donc c’est une rencontre régulière qui est vraiment l’endroit où tous les les les meilleurs mathématiciens et mathématiciennes du monde se réunissent périodiquement pour présenter leurs travaux et donc elle a été invité à
Cet à ce congrès en 1932 pour faire ce qu’on appelle un explosé plignier c’est-à-dire devant toute la salle et la même année elle reçoit le Prix akeran tner donc conjointement avec il Artin un autre mathématicien célèbre donc elle reçoit elle reçoit elle reçoit ce prix qui est un prix très très prestigieux
Donc le prix le plus prestigieux qui existe en mathématique aujourd’hui c’est couramment ce qu’on appelle la médaille Phil peut-être le prix abelle fait concurrent je ne sais pas trop mais enfin qui est souvent comparé au Nobel des mathématiques il faut savoir que le medalfi existait pas à cette époque en
1932 il a été créé seulement en 1936 et en 1932 le prix Alfred akarmman tomner était vraiment parmi l’un des plus prestigieux et donc c’est vraiment une reconnaissance importante de son travail ça récompense en fait ses travaux sur l’algemme non commutative donc voilà donc c’est cétait la première partie de mon exposé j’ai
Essayé de vous présenter un peu ce qu’était la vie et l’œuvre de notaire euh c’est peut-être le moment de faire une petite pause si vous avez des questions et après on pourra attaquer euh on pourra rentrer un peu plus dans le vif du sujet je vais essayer de vous
Expliquer un peu de vous faire sentir messieur dam bonsoir J’ai le micro excusez-moi est-ce que vous allez euh parler des ponts s’ils existent entre le calcul des variations et les idéaux et les problèmes algébriques intéressés TER al je non dans dans la suite de je va me concentrer donc sur la
Deuxème partie la théorie des anneaux pour AR les anneaux neutériens il a fallu que je fasse des choix et je vais pas plus évoquer ce cet aspect dans la suite d’accord donc les anneaux neutérien c’est en relation avec les le calcul des variations est-ce qu’il y a des
Relations ça ça ça ça peut l’être mais je pense que dans l’esprit de notur c’était vraiment deux périodes un peu différentes d’accord et et donc là plutôt la le présenter un lien avec les problèmes de factorisation qui est vraiment celle qui a amené à l’introduction de cette de cette notion ne soyez pas
Timide euh j’ai une question qu’est-ce que vous pense à l’évolution des mathématiques dans le ça je sais pas j répondrai peut-être plutôt à la fin euh je pense que ce sera plus là donc on est encore en 1900 et puis à la fin j’essaierai n’hésitez pas à me reposer la question au dernier
Moment je pense que ce sera j’aurai plus de matériel pour m’appuyer dessus euh bonsoir euh est-ce que c’est le est-ce que ce sont les idées en physique qui ont dicté son goût pour pour aller à la généralisation et pour les choses qu’elle va découvrir qui auront une importance cruciale en physique par la
Suite dans quelle mesure est-ce que c’est enfin quelle est la frontière entre physique et mathématique chez les scientifiques à cette époque- làà alors chez les scientifiques en général je sais pas très bien si je sais répondre à cette question mais pour notaire je pense que son goût était déjà prononcé pour les mathématiques
Elle elle elle s’intéresse à donc son son approche est vraiment on part de la théorie des invariants et à à ce moment justement c’est surtout la relativité où on où on comprend que étudier les propriétés d’invariance les repères les transformations les transformations qui laissent stable qui laissent invariant
Les lois de la physique et cetera sont vraiment quelque chose d’important et donc il se trouve que alors si j’ai bien si j’ai bien compris l’histoire c’est c’éit un peu dans l’air du temps que bah ce serait bien notamment Hilbert d’avoir un théorème qui permettrait de comprendre de d’avoir vraiment un
Théorème mathématique qui donne une assise à ce que faisaient les physiciens et c’est ce à à et c’est ce à quoi va s’atteler not terre elle va obtenir un résultat qui va donc oui le lien entre mathématique et physique était était prignant était les les les gens de mathématique s’intéressaient à la
Physique et réciproquement évidemment euh pour ce qui concerne notaire je pense que elle sa passion était vraiment dès le départ pour les pour les mathématiques et elle s’est intéressé à cette question plutôt par le biais de ce qu’ des travaux qu’elle avait déjà fait sur la théorie des variant qui eux
Semblaient plutôt déconneectter des applications physiques euh bonsoir bonsoir euh je voulais juste savoir j’avais cru comprendre que I noire elle avait aussi eu un grand rôle dans le développement de la théorie de représentation ah oui tout à fait et je voulais savoir c’était plutôt quel concept c’est plutôt
Géométrie non non ce que j’ai appelé alge non commutative donc ouais donc effectivement ça ça rentre plutôt dans ce que j’ai appelé l’ALG noncutative qui inclut pas mal de chose il y a il y a donc ce qu’on appelle les matrices qui eux sont très liés aux représentations
Qui sont des objets qui ne commutent pas quand vous multipliez deux matrice dans un sens ou dans l’autre c’est pas la même chose c’est pour ça que ça s’appelle non commutatif et donc not va réconcilier entre guillemets c’est pas qu’ils était fâché avant mais va trouver un cadre commun à la théorie des
Matrices la théorie des représentations et un autre une autre construction qui semblait assez indépendante qui était la théorie qu’on appelle aujourd’hui des quaternion ou des nombres hyper complexes et donc elle va trouver un cadre qui unifie tout ça et donc comme je le disais c’est vraiment elle cherche toujours la grande unification pour
Trouver des des points entre les domaines mathématiques donc ça rentre plutôt dans cette partie ALG non commutative pour lesquel été représ récompensé là par le prix à Carman toyber vous pouvez reprendre ok donc je continue donc maintenant je vais j’attaque la partie 2 on va un peu un peu plus s’intéresser donc
Au au au au mathématiques un peu plus précisément de notaire et donc comme je le disais il a fallu que je fasse un choix je pouvais pas présenter son œuvre dans son intégralité et donc j’ai décidé de me concentrer sur euh euh un un de ces travails dans lesquels un de ces
Travaux principaux dans lesquels elle introduit les anneaux neutériens donc évidemment c’est pas elle qui donne ce nom hein euh ils ont été appelés de cette manière après par le mathématicien français chevaler et euh comme je vais essayer de l’expliquer c’est des anneaux qui ont vraiment une propriété des
Anneaux qui a vraiment une une importance cruciale qui a eu une importance cruciale dans tout le 20e siècle donc ces anneaux notériens sont sont apparus lorsque notire s’intéressait au problème de factorisation et donc je vais essayer de vous raconter cette histoire donc vous avez ici une une
Phrase qui est tiré de l’introduction de l’article dans lesquel elle traite ce truc-là donc c’est écrit en allemand donc comme je ne parle pas allemand je l’ai traduit donc le but de ce travail est d’étendre les théorèmes de factorisation des antiers algébriques ou plus précisément des idéaux d’entiers
Algébriques des décord de nombre aux idéaux des anneaux intègres voire même des anneaux généraux dans ce qui su nous supposerons donner uniquement un anneau général vérifiant la condition de finitude stipulant que chaque idéal possède une base finie donc bon c’est assez technique comme vous voyez mais on
Voit assez bien la démarche qui est la démarche qu’elle va reproduire dans pratiquement tous ses travaux elle veut avoir un théorème donc là en l’occurrence c’est le théorème des de factorisation des antialgébrques je vous expliquerai par la suite ce que c’est elle veut étendre ce théorème dans le contexte général des anneauxs pour
Qu’il s’applique non plus seulement aux antialgébriques mais vraiment à tous les anneaux donc les fonctions et tout ça et donc dans tout ce qui suit on supposera donner uniquement un anneau général alors sauf que on veut qu’il vérifie la condition de finitude blabbla et ça c’est vraiment ce qu’on appelle
Aujourd’hui les anneaux neutériens donc dans la suite j’ai essayé de vous expliquer ce que c’est que ce théorème de factorisation euh comment elle a comment elle a réussi à à à éteendre cela à tous les anneaux et euh et qu’est-ce que c’est que cette condition qui apparaît un peu naturellement dans ce
Cadre donc le premier ingrédient qu’ vous vous en doutez enfin qu’ vous en douté comme on comme on vient de le voir euh c’est l’arithmétique et euh ces fameus antiers algébriquees donc je vais essayer de vous expliquer ce que c’est brièvement donc là les les les les personnes qui ont vraiment Ré au
Développement de cette théorie c’est euh préire donc c’est euh Richard dekin et euh ern schomer qu’on a déjà vu enfin bon j’ai il y a il y a toute une école il y a pas que ces deux ces deux personnes mais enfin c’est vraiment les deux grandes les deux grandes figures qu’on retient
Souvent bon donc je commence peut-être par des trucs un peu simple sur la factorisation enfin que vous devez connaître je pense euh c’est la factorisation des entiers donc qu’est-ce que c’est qu’est-ce qu’on entend par factorisation des entiers donc pour ça il faut que je définisse la notion de nombre
Premier donc le nombre premier je le définis de la manière suivante c’est un nombre qui est pas le résultat d’une multiplication de nombres plus petits que lui d’accord donc par exemple 4 ben c’est pas premier parce que c’est 2 x 2 donc vous pouvez l’écrire comme une multiplication de nombrees plus petits 5
Par contre c’estes premierers vous pouvez pas écrire 5 comme une multiplication de nombrees plus petit se façon d’éc 5 c’est 5 x si vous voulez une x 5 si c’est premier et 6 n’est pas premier pardon c’est 2 x 3 7 les 8 ne
L’est pas c’est 4 x 2 9 ne l’est pas non plus c’est 3 x 3 et ainsi de suite 10 ne l’est pas c’est 2 x 5 et vous avez un théorème très célèbre qu’on appelle parfois le théorème fondamental de l’arithmétique qui dit que enfin un théorème ancestral qui dit que tout
Entier s’écrit de manière unique comme produit de nombre premier donc faisons un exemple juste pour remettre les choses en place donc partons par exemple de 2024 donc 2024 manifestement vous voyez il est pas premier il s’écrit 2 fois quelque chose puis qu’il est per et donc benah c’est ce qu’on fait on
L’écrit 2 x 1012 et puis on regarde si tous les facteurs qu’on a obtenu son premier ou si on peut continuer encore se procéder donc là ben 102 il est à nouveau pas premier il séc CR encore deux fois quelque chose donc on continue
Donc ça fait 2 x 2 x 506 506 il s’écrit encore 2 x 253 et on continue et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on puisse ce que que ça s’arrête ce qu’on puisse plus décomposer les nombres donc là il se trouve que 253 c’est aussi 11 x 23 donc
On obtient 2 x 2 x 2 x 11 x 23 et maintenant bah tout on a plus que des nombres au premiers qu’on peut plus décomposer davantage donc c’est ça la décomposition en facteur premier de 2024 vous auriez pu peut-être remarquer dès le départ que 2024 que c’est aussi 22 x
92 euh et dans ce cas-là vous aurez pu continuer le processus à partir de 22 x 92 donc vous écrivez que 22 c’est 2 x 11 92 c’est 4 x 23 et vous regardez quel facteur peut encore décomposer donc là il y a plus que 4 qui est 2 x 2 et
Finalement vous obtenez cette décomposition qui est 2 x 11 x 2 x 2 x 23 et vous remarquez que c’est la même à l’ordre prè donc c’est ça le théorème de factorisation il y a déjà il y a une factorisation et en plus elle est unique à l’ordre prè donc ça
C’était des mathématiques qui étaient très anciennes qui était connu depuis l’Antiquité et il y a voilà et donc et donc dans la suite plutôt que d’écrire ces produits là je vais représenter ça sous forme visuelle de cette manière vous voyez vous avez 2024 en haut il y a deux branches qui partent
C’est les facteurs 22 x 92 22 c’est 2 x 11 et cetera ça permettra peut-être de voir un peu mieux les choses que d’écrire les produits une autre notion qui est importante et qui est aussi ancestrale c’est la notion de de PGCD vousz peut-être déjà entendu
Parler donc PGCD ça veut dire plus grand commun diviseur et ça porte très bien son nom B vous prenez les diviseurs communs et vous prenez le plus grand donc regardons ce qui se passe par exemple si on veut calculer le PGCD de 4 et de
6 alors pour ça vous faites la liste des diviseurs de 4 donc les diviseurs je rappelle c’est les nombres par lesquels si vous faites la division par ce nombre ça tombe juste donc 4 divis par 1 ben ça tombe juste ça fait 4 4 div par 2 aussi
Ça fait ça fait 2 ça tombe juste 4 div par 3 ça tombe pas juste ça fait 1,3333 quelque chose comme ça et donc du coup ben 3 est pas un diviseur de 4 et voilà donc vous avez la liste des diviseurs de 4 qui sont 1 2 et 4 pareil vous faites
La liste des diviseurs de 6 c’est 1 2 3 6 maintenant vous regardez ceux qui sont en commun donc il y a que 1 et 2 n’est-ce pas et vous prenez le plus grand d’entre eux et c’est c’est lui le PGCD d’accord donc le PGC de 4 et de 6 c’est
De alors un peu plus compliqué que vaut le PGCD de 2024 et de 2156 alors bah vous pouvez faire pareil commencer par faire la liste de tous les diviseurs de 2024 la liste de tous les diviseurs de 256 et essayer de trouver le plus grand alors c’est peut-être un peu laborieux
Heureusement il y a des méthodes plus efficaces je vous en présente une autre qui est basée sur la décomposition en facteur premier qui pas encore la meilleure mais qui est déjà mieux donc vous écrivez 2024 comme produit de facteur premier comme on l’a vu tout à
L’heure donc 2 x 2 x 2 x 11 x 23 vous faites pareil pour 256 c’est 2 x 2 x 7 x 7 x 11 n’est-ce pas et vous prenez les nombres qui sont les facteurs qui sont communs donc là vous avez le 1ier 2 qui est commun le deè 2 qui est
Commun et 11 vous prenez pas le 3è 2 parce qu’il y en a pas de trè en bas qui correspond d’accord et maintenant pour fabriquer le PGCD et bien vous faites seulement le produit des facteurs qui sont communs donc vous avez 2 x 2 x 11 ça fait 44 et
Donc ça va être 44 le PGC de 2024 et de 2156 ça c’est quand on suit la définition en fait il y a un autre point de vue un peu dual si vous voulez sur les PGCD qui est donné par le théorème de bzou qui va être important pour la suite
De l’exposé donc le théorème de Bezou il vous dit que le PGCD de deux nombres A et B c’est le plus petit nombre strictement positif qui s’écrit sous la forme a x u + B x V avec U et V des entiers relatifs alors si vous avez
Jamais vu je vais plutôt vous donner des exemples que si décortiquer ce théorème donc reprenons les mêmes donc les exemples si je prends 4 et 6 vous voyez ben je peux trouver une combinaison adéquate de 4 et de 6 donc en l’occurrence -1 x 4 + 1 x 6 qui fait 2
D’accord et 2 c’est le PGCD et j’affirme qu’on peut pas faire plus petit que de c’est-à-dire on peut pas faire 1 euh pourquoi ben parce que si vous faites un multiple de 4 plus un multiple de 6 vous allez toujours obtenir un nombre pair ça pourra jamais être 1 du coup donc 2
C’est vraiment le plus petit qui s’écrit comme sous cette formme là un multiple de 4 plus un multiple de 6 de la même manière euh si vous regardez les multiple de euh si vous regardez 44 qui est le PGCD de 2024 et 2156 vous pouvez l’écrire comme une
Combinaison comme ça 16 x 224 – 15 x 2156 et de même que tout à l’heure euh vous pouvez pas faire les nombres entre 1 et 43 ils peuvent jamais s’écrire comme ça mais parce que 2024 et 256 sont tous les deux des multiples de 44 et donc quand vous allez faire des
Combinaisons comme ça vous allez nécessairement aussi obtenir des multiples de 44 donc je disais que c’est donné un sorte de point de vue dual sur le PGCD le PGCD c’est dévisé c’est défini comme le plus grand commun diviseur et là il se trouve aussi que c’est le plus petit
Nombre qui s’écrit de cette manière là vous avez deux visions sur les PGCD qui sont complémentaires disons ok alors la théorie algébrique des nombres c’est d’essayé de refaire tout ça dans un cadre un peu différent et donc je vais vous présenter sur l’exemple de l’anneau ce qu’on ce qu’on appelle Z
De√15 donc √1 déjà c’est quoi bah c’est le nombre qui multiplié par lui-même fait 15 d’accord donc c’est un peu moins de 4 parce que 4 x 4 ça fait 16 euh et en tout cas c’est pas un nombre entier on est bien d’accord hein c’est
C’est il y a pas de nombre entier qui multiplié par lui-même fait 15 c’est un nombre à virgule avec une infinité de chiffres après la virgule qui sont euh très compliqué à priori il y a pas de logique clair euh et pourtant l’objectif c’est euh on a envie de faire
De l’arithmétique avec les nombres de la forme A + B X √15 où A et B eux sont des entiers alors bon pourquoi on a envie de faire ça c’est pas forcément évident mais en fait c’est arrivé naturellement justement quand on travaillait sur l’équation de ferma enfin dans d’autres
Contextes aussi mais en particulier sur l’équation de ferma euh on s’est rendu compte que si on arrivait à faire de l’arithmétique avec des nombres un peu de cette forme c’està-dire si on arrivait à avoir des théorèmes de factorisation par exemple avec des nombres de cette forme et bien
On avait des outils puissants pour essayer d’attaquer ces équations de fer et c’est d’ailleurs ce qu’a fait ce C fait CER il a en étudiant les l’arithmétique avec des nombres un peu de cette forme pas exactement racine de 15 mais d’autes d’autres valeurs il a réussi à résoudre le problème de ferma
Donc l’équation x^iss n + y^ n = 7^ n obtenir des des résultats significatifs sur cette équation alors essayons de faire un peu de la factorisation avec nom prons par exemple 14essons de voir si on peut le factoriser 14 évidment c’est 2 x 7 ça
Reste toujours é à 2 x 7 ça don une prière factorisation de 14 il se trouve que dans ce cas si on autorise à c’est aussi 11ord l’identité remarquable A+ B et donc vous avez deux factorisations de 14 qui semblent être des factorisations en facteur premier et qui
Pourtant n’ont rien à voir donc il semblerait c’est ce qu’ remarqué cour qu’il y a pas unicité de la factorisation dans ce cas-là et l’unicité c’est vraiment quelque chose d’important si on veut faire marcher tous les théorèmes tous les théorèmes de l’arithmétique bon alors on pourrait conclure que ça marche pas mais là
Justement komer deadkin et toutes leur écle ont une une enfin ça a été il y a eu des prémers c’est notamment dû à eler on une idée c’est que en fait il devrait y avoir une décomposition commune raffinée 14 devrait s’écrire comme un produit de trois ou de quatre nombres
Premiers de telle sorte que quand on les combine 2 par de d’une certaine manière on trouve 2 x 7 et quand on les combine 2 par 2 d’une autre manière on trouve la deuxième factorisation alors ça paraît tout à fait séduisant comme idée sauf que ben on peut chercher les diviseurs
De 2 les diviseurs de 7 les diviseurs de R de 15 et cetera et on se rend compte qu’il y en a pas en fait on peut pas les casser davantage alors ça paraît un peu du coup un peu fou à l’échec mais Ben les gens vont plus loin et ils se
Disent que pourquoi il devrait y avoir une décomposition commune comment on devrait l’obtenir ben un de ces facteurs ça devrait être le PGCD de 2 et de 1+ RAC de 15 enfin ou ou n’importe lesquel dans n’importe quel ordre mais par exemple ces deuxl donc si vous avez le
PGCD de ça ça devrait être un diviseur commun à 2 et à 1 +√1 et ça devrait être lui qui donne cette ce facteur commun n’est-ce pas alors il se trouve que si on essaie de faire la liste des diviseurs de 2 et de 1 + RAC 15 il y en
A qu’un essentiellement c’est 1 et donc ben le on a envie de dire que le PGCD c’est 1 et ça en est pas plus avancé qu’avant mais donc ce que ce que disent komer et deadkin c’est que en fait ce PGCD devrait pas être égal à
1 il est il est peut-être égal à 1 si on y pense comme plus grand diviseur commun mais si on y pense via le théorème de besou on se rend compte qu’il devrait pas être égal à 1 pour la bonne et simple raison que si vous faites un
Multiple de 2 n’importe quel multiple de 2 plus n’importe quel multiple de 1 + √1 ben vous pouvez jamais obtenir 1 et donc si l’idée c’est de penser à PGCD non pas comme plus grand commeun diviseur mais plutôt comme via le sa version duale par le théorème de bzou
Alors ok on a dit ça mais qu’est-ce qu’il faut faire concrètement alors donc ce que font ce ce ce qu’on fait c’est qu’on introduit un nouveau nombre faut que je vous dise un peu plus comment on fait ça he appelé qu’on appelle qui est appelé nombre idéal par
Coomer et qui va jouer ce rôle de PGCD manquant alors on not quand même pas PGCD ça c’est la notation moderne on écrit 2 et 1 +√1 entre entre crochet là comme ça alors bon quand on introduit un nouveau nombre on est toujours dans une situation un peu bizarre he si vous avez
Déjà vu les nombres complexes vous savez quand on introduit i on sait jamais quelle est la quelle est sa signification exacte et donc on peut pas juste dire on introduit un nouveau nombre il faut vraiment donner une assise rigoureuse à à ça et c’est ce que va faire deadkin kumur dans un premier
Temps et deadkin dans le cas général et donc ce nouveau nombre il va lui donner vraiment une définition mathématique et il va le définir de cette manière donc ce nouveau nombre 2 1 + √15 il va le définir non pas comme un seul nombre
Parce que ça on a vu que ça marchait pas mais comme l’ensemble de tous les nombres de la forme 2 U + 1 + √15 x V donc d’après le théorème de bzou ce PGCD là s’il existait ça devrait être le plus petit là le problème c’est qu’il y en a
Pas de plus petit et ben on prend pas juste le plus petit du coup on les prend tous c’est globalement l’idée et donc ces nouveaux nombres que il faut vraiment penser comme des nouveaux nombres mais formellement c’est défini comme des collections de nombres et euh ben ce que font ce que
Fait toute cette école c’est de montrer qu’avec ces ces nombres de de ce nouveau type disons on a arrive à fabriquer on arrive à avoir une multiplication on arrive à refaire toutes les opérations de l’arithmétique et on arrive surtout à avoir un théorème de factorisation dans laquelle la factorisation est maintenant unique donc
Finalement ce qui va se passer à la fin dans cette histoire c’est que 14 va s’écrire comme un produit de quatre facteurs mais qui sont des nombres idéaux et pu des nombres classiques enfin classiques même de la forme avec A + B 15 donc 14 va se décomposer comme un
Produit de qure facteurs et c’est exactement ce que je disais au début selon comment vous grouper les facteurs vous allez obtenir soit 2 x 7 soit 1 +√15 so -1 +√15 d’accord donc ça c’est la décomposition de 14 je vous fais pour pour le plaisir celle de
2024 et donc en même temps je vous montre comment on fait pour l’obtenir ben faites pareil qu’avant 2024 c’est toujours 22 x 92 et vous continuez 92 c’est 23 x 4 et cetera 22 vous avez vous pouvez comme avant écrire 2 x 11 évidemment mais là il y a d’autres
Factorisations possibles de 22 et par exemple 22 c’est aussi le de nombres idé donc ça je peux pas les écrire comme des A+ B c’est vraiment des nouveaux nombres mais se trouve que 22 c’est quand même le produit de ces de nombres là et puis chacun de ces de nombres là se
Redécompose encore comme des nombres idéaux ou pas idéaux d’ailleurs et donc à la fin vous trouvez que 2024 c’est le produit de 2 2+ et 23 qui sont vrais vrais nombr entre guillemets et aussi il y a ce nombre idéal 2 x 1+1 qui apparaît 6 fois
Et si vous autorisez ça ben vous avez tous les théorèmes vous avez l’existence l’unicité et vous pouvez dérouler toute la machine pour éventuellement obtenir à terme des nouveaux cas du théorème de Fermain donc ça c le premier ingrédient l’arithmétique si vous avez des questions encore sur cette partie ouais
Alors j’avais juste une question par rapport à ce que vous avez dit pourquoi avoir choisi racine de 15 et pas n’importe quoi ah on peut faire avec d’autres l’avantage de racine de 15 c’est c’était un peu plus facile à illustrer ah oui ok donc ça pvit mais ça
Marcherait avec racine carré de de n’importe quel nombre et même avec des racines cubiques ou de fè général des des des nombres qui sont solution d’équation encore plus compliqué d’cord c’est pas n non non le théorème donc de dekin ça marche vraiment pour dans n’importe quel cadre avec n’importe quel
Nombre qu’on appelle algébrique c’est-à-dire solution d’une équation algébrique et donc c’est pour ça que ça’appelle la théorie algébrique des nombres d’ailleurs oui euh allô oui on a l’impression que les nombres idéaux ça ressemble à des bases euh parce que on a des combinaisons linéairesou et et ensuite le le 4 de votre
Exemple on a l’impression que les les nombres sont plongés aussi dans un autre dans un autre univers de nom nombre c’estàd le de la même manière que les réels sont plongés dans le ouais c’est exact ouais c’est exactement ça donc on introduit des nouveaux nombres donc effectivement ça ressemble si vous
Voulez à des bases alors donc le le dans ce cas-là c’est ça pour ceux pour celles et ceux qui connaissent c’est ça ressemble vraiment à la théorie des espaces vectoriel alors là c’est pas des bases parce que vous avez des relations c’est plutôt des familles génératrices mais enfin bon peu importe c’est
Vraiment dans ce cadre là que ça se formule quand on veut vraiment avoir de des des formulations rigoureuses exactes et effectivement les nombres eux-mêmes on peut les voir comme des nombres idéaux en prenant e l’ensemble des multiples de ce nombre donc de la même façon que quand on je sais pas comme
Vous disiez les nombres réels dans les nombres complexes les nombres réel nom complexes qui s’écrivent a + 0 x i quand onong les entiers dans les fractions c’estux qui s’écrivent a div 1 donc là pareil vous avez une manière de comprendre les nombres normaux comme les nombres idéau c’est vraiment le même
Processus et sauf que ça fait des nombres en plus qui permettent de de faire des opérations qu’onarit pas à faire avant c’est exactement la même analogie effectivement une question par ici j’ai vu ou je crois qu’il faut le micro c’est ouais Mo l’égalité que vous montrez c’est pas
Vraiment entre le le nombre 4 et le l’idéal engendré par 2 et 1+√ 15 c’est l’idéal donc là il y a un X 4 ça veut dire que celui-là il a parait qure fois c’est parce que j’avais pas assez de place sur mon dessin non ce qui me
Troupe c’est le on fait des égalités entre des ensembles engendrés là par ouais et et des et des nombres qui sont donc c’est ce que je disais si on veut voir le nombre 4 comme un nombre idéal il faut y penser comme l’ensemble de tous les multiples de 4 ok voilà mais je
Préfère voir les dans C pour cet exposé en tout cas je préfère voir les nombreséos plutôt comme des nouveaux nombres qu’on ajoute et il pensit vraiment comme des comme des nombres excusez-moi ouais ouais euh là-bas euh vous disiez que donc l’ensemble 2U + 1 +√1
Facteur de V ouais il y avait pas de nombre plus petit enfin j’imagine de minimum positif ouais qu’est-ce que donc alors bon déjà il y a bon la notion de plus petit est pas vraiment la même dans quand on a C truccl c’est plutôt plus petit au sens de la divisibilité et donc
Effectivement donc c’est un ensemble vous pouvez avoir des nombres il y a pas de plus petit pas penser par exemple pour bah si vous prenez l’ensemble des nombres strictement positifs il y a pas de nombre là pour le le truc normal ben il y a pas de nombre
Plus petit euh vous pouvez vous avez pas un plus petit nombre qui est strictement positif si vous prenez je pas 0,001 il y a toujours un autre plus petit qui est 0,0001 s’il en avait un plus petit ce serait 0 mais il est pas strictement positif donc là c’est un peu la même
Chose vous avez un ensemble de nombres et on aura envie de prendre un plus petit mais il est pas là et donc là on l’ajoute c’est un peu le même procéd si vous voulez qu’on avait l’ensemble des nombres strictement positifs et on doit ajouter zéro pour pouvoir avoir ce plus petit OK
Merci je reprends ok donc j’arrive à mon deuxième ingrédientok est la géométrie algébrique donc la géométrie algébréque donc j’ai remis les photos de not de Max Notter et de David Hilbert qui sont les personnes qui ont vré à développement de la géométrie algébrique à cette époque donc je vais essayer de vous expliquer
Rapidement ce que c’est donc en en en arithmétique les objets un peu fondamentaux c’est les entiers ici ça va être ce qu’on appelle les polynômes alors je sais pas si vous connaissez le terme de polynôme mais en tout cas vous en avez certainement déjà vu c’est des expressions avec des X un
Peu comme ça d’accord x² – 3x + 2 par exemple c’est un polynôme quand vous avez des X des puissances et pas de fonction plus compliqué c’est ce qu’on appelle un polynôme donc géométrie algébrique comme ça vous a pas échappé il y a géométrie et algèbre donc ça évidemment vous avez
Compris que c’est la partie algébrique c’est la partie calcul et donc il y a aussi une partie géométrique on a envie de dessiner en quelque sorte ces polynommes donc là comment on fait somes tout assez simple on trace la droite réelle et on va résoudre
L’équation x² – 3x + 2 = 0 et on va dessiner les solutions donc là je prends un exemple assez simple les solutions c’est juste 1 et 2 et si vous avez déjà résolu une équation de ce type là vous savez que bah trouver les solutions c’est très lié à la
Factorisation x² – 3x + 2 c’est en fait x – 1 x x – 2 et c’est pour ça que les solutions sont 1 et 2 quand vous écrivez ça é= 0 bah c’est un des facteurs qui est forcément égal à 0 donc ça c’est un polynôme pour en avoir un autre par
Exemple vous avez le droit d’autoriser des X Cu ou des plus grand des plus grandes puissances de X X puiss 4 et cetera donc par exemple celui-ci de la même manière vous pouvez le dessiner en écrivant les les en mettant des gros points sur les
Solutions de l’équation X3 – 3×2 – x + 3 =0 là les solutions c’est encore choisi un cas simple c’est -1 1 et 3 et c’est lié à au fait que ce polynôme se factorise sous la forme x + 1 x x – 1 x x – 3
D’accord voilà donc le la géométrie algébrique c’est le jeu entre cette écriture géométrique et la représentation sous forme pardon cette écriture algébrique et cette représentation sous forme géométrique alors quand on parle de PGCD comme ça doit plus vous étonner maistenant pardon quand on parle de isation comme ça doit plus vous étonner
Maisaintenant on peut parler de PGCD là vous avez le PGCD de ces deux polynômes ben vous pouvez le trouver en regardant juste les facteurs qui sont communs dans les deux polynômes d’accord donc là en l’occurrence il y a que X -1 qui est commun et donc le PGCD de ces deux
Polynômes là du polynôme violet du polynome vert bah c’est x – 1 et géométriquement ça revient à quoi ben ça revient à regarder les points qui sont à la fois coloriés en violet et en vert ça revient à faire géométrie ce qu’on appelle une intersection donc vous pouvez retenir ça
Euh quand vous faites une intersection comme je dit ça revient à prendre un PGCD et quand vous faites une union c’est-à-dire quand vous avez le point X-1 et le point X- 2 et que vous les mettez ensemble ben ça revient à multiplier d’accord multiplication et PGCD c’est le côté algébrique union intersection c’est
Le côté géométrie donc on complique un petit peu on va prendre un polynôme avec des X et des y donc x – 2Y + 1 par exemple ben celui-là pareil vous pouvez écrire x – 2Y + 1 é= é et vous pouvez dessiner ça donc c’est une équation de droite dans
Le plan cette fois-ci donc c’est plus juste un point ça devient un peu plus compliqué c’est une droite vous pouvez regarder plus généralement des polynômes avec des X car des X Cu et cetera donc prenons par exemple celui-ci x² + y² – 1 là ça va plus vous dessiner une droite mais ça
Vous dessine un cercle d’accord c’est exactement le théorème de Pythagore qui vous dit que l’ensemble des solutions de cette équation c’est un cercle de centre 0 et de rayon 1 pour ce polynôme ça paraît déjà plus compliqué vous avez plein de de de de termes avec des X Cu et cetera c’est pas
Forcément clair de savoir ce que c’est que le dessin qui lui correspond mais en fait vous pouvez vous en sortir là on a évidemment cas favorable parce que ce polynôme il se factorise comme produit de deux polynômes plus petits donc c’est
Exactement x – 2Y + 1 x X2 + y2 – 1 et donc d’après ce que j’ai dit tout à l’heure ben c’est la réunion du Cercle et de la droite dire que ce truccl égal Z0 ça veut juste ça veut dire que soit le premier facteur égal é au quel cas
Vous êtes sur la droite soit le deuxème facteur ég 0 au quel cas vous êtes sur le cercle produit c’est pareil qu’Union quit de l’intersection maintenant si vous regardez l’intersection du cercle et de la droite c’est deux points a deux points d’intersection comme ça et ces deux points d’après ce qu’on a dit
Précédemment devrai correspondre au PGCD mais alors si vous cherchez à trouver quels sont les diviseurs communs de ces deux polynôes ben vous rendez compte qu’il y en a pas enfin à part les constantes et les constantes c’est des polynômes 1 par exemple qui s’annule nulle part ça définira jamais deux
Points dans le plan comme ça et donc à nouveau vous êtes obligé de travailler avec ces polynômes idéaux entre guillemets et donc ce que vous regardez c’est le polynôme idéal qui est donné par sorte de PGCD de X – 2Y + 1 et X2 +
Y2 – 1 et dans ce cas-là si vous autorisez à introduire ces polynommes idéaux la correspondance devient devient parfaite disons et ce polynome idéal correspond vraiment à ces deux points donc là si vous voulez vous avez une visualisation géométrique de ces idéaux de ces polynômes idéaux en quelque sorte les polynôes
Normaux entre guillemets correspondent plutôt à des courbes alors que les polynomes idéau vont plutôt correspondre à des points isolés et vient maintenant la question de la factorisation donc là j’ai pris un polynôme très compliqué avec plein de termes des X puiss 6 y puiss 7 et cetera
Et pareil on peut se demander si on peut le factoriser et il se trouve que oui donc vous pouvez commencer parc ce polynôme comme produit de trois polynômes et ensuite pour chacun le redécomposer et cetera et vous avez de la même manière un théorème de factorisation qui vous dit qu’au bout
D’un moment ça va s’arrêter jusqu’à ce que vous obteniez des polynômes premiers on dit réductible en général pour les polynômes mais c’est pareil et une fois que vous avez cette décomposition ça devient plus facile la dessiné ici ça ressemble à ça y X2 + y2
– 25 ça vous donne le cercle et les autres ça vous donne les segments en bleu enfin les droites mais j’ai tracé que les segments d’accord donc vous avez aussi un théorème de factorisation pour les polynôes et bah quitte des polynômes idéaux si maintenant je prends un polynôme idéal donc celui-ci qui
Correspond à l’intersection je vous rappelle ça correspond aux deux points en que vous voyez là les deux gros points en en en mar que vous voyez sur la figure euh si vous regardez l’interse juste ces deux points ça correspond au polynôme idéal x – 2Y + 1
Et X2 + y2 – 1 mais vous voyez que c’est deux points et ces deux points ben ça s’écrit naturellement comme l’union du premier point et du deuxème point d’accord donc il devrait y avoir un polynomeme idéal qui correspond à un des points un autre polynomeme idéal qui
Correspond à l’autre point de telle sorte que ce polynomeme idéal que vous voyez ici ce soit le produit des deux si on si les choses sont sont commell le son sont comme il faut et c’est exactement ce qui se passe ici ce polynôme idéal il va s’écrire comme le
Polynôme idéal x + 1 y et l’autre polynome idéal 5x – 3 x 5y + 3 vous avez un théorème de factorisation de ces polynôes idéaux qui correspond juste à vous avez un nombre fini de points dans le plan et vous en prenez un les uns après les autres dans cet
Exemple donc tout ça pour dire que quand on travaille avec des polynommes plutôt qu’avec des entiers la factorisation a une a une interprétation géométrique qu’on peut vraiment voir ce théorème de factorisation ne vaut pas que pour ce polynome idéal là mais pour tous les polynomes idéo avec des X Y
Éventuellement d’autres variables Z et ce et c’est un théorème qui Ava a été démontré par Emmanuel las donc qui fait office de de préambule au travail de notire également d’accord voilà donc là j’ai introduit la factorisation dans les deux contextes qui préexist avant ne et maintenant ENF dans la suite de
L’exposé je vais essayer d’expliquer comment not a réussi à mettre tout ça ensemble dans un seul théorème qui va s’appliquer dans plein d’autres contexes également donc si vous avez encore des questions peut-être pas trop trop parce que le temps tourne mais je pe en prendre encore quelquesunes sur cette partie on continue on
Continue donc voilà donc j’ reviens au travail de notaire et je vais essayer de vous expliquer ce que sont les anneaux notairiens alors le théorème de notaire bon malheureusement je vais pas l’énoncer de façon de de façon précise parce que ça devient assez technique mais c’est illustré essentiellement par le fond que
Vous voyez ici ben c’est un théorème de factorisation dans un anneau pas quelconque puis doitre en mais dans un anneau très général d’accord donc ne va démontrer un théorème de factorisation qui va redonner les théorèmes de factorisation dont je vous ai parlé donc avec ses ces nombres idéaux ces
Polynomes idéaux elle va le démontrer pour un anneau général donc elle va pas supposer qu’on travaille avec des entier avec des racines 15 ou je ne sais quoi ou avec des polynômes juste qu’on sait faire des additions des soustractions et des multiplications et juste en sachant
Ça elle va réussir à obtenir un théorème de factorisation d’accord donc c’est ça le théorème de ne la elle va elle va généraliser ce truccl dans ce cadre très général alors plutôt que de vous expliquer les les les subtilités de l’énoncé de ce théorème je voulais passer le les quelques minutes enfin les
10 minutes qui me restent 10 15 minutes qui me reste à vous expliquer plutôt ce que c’est que les anneau notrien d’accord et alors pour ça revenons au à la factorisation classique donc ben voilà un exemple de factorisation classique c’était la factorisation de 2024 usuel dans les entiers et alors réfléchissons un petit
Peu de quoi on a besoin pour démontrer disons que cette factorisation existe donc vous partez de 2024 s’il est premier ben c’est fini s’il est pas premier vous le décomposez et puis ainsi de suite ainsi de suite ainsi de suite et donc ce vous avez besoin en fait
C’est de montrer que au bout d’un moment ce procédé va s’arrêter vous allez tomber vraiment sur des nombres premiers enfin c’est une des choses dont vous besoin c’est c’est pas le forcément le la seule mais c’est quand même une des choses importantes dont on a besoin alors ici c’est à peu près évident
D’accord parce que enfin je sais pas très bien si ça vous paraît évident mais c’est pas très compliqué en tout cas parce que si vous partez de 2024 et ben les nombres que vous allez obtenir comme comme facteur les produits vont être plus petits vous allez avoir 22 après
Quand vous allez avoir 22 vous allez avoir 11 et cetera et au bout d’un moment bah forcément vous allez vous arrêter parce que vous avez une suite comme ça de nombre entier qui décroit et c’est pas possible d’avoir une suite de nombre entier qui décroit strictement d’accord c’est ce qu’on appelle parfois
Le principe de récurrence peut-être si vous aavez vu peut-être vous l’avez vu sur une forme un peu différente mais c’est ce qu’on appelle le principe de récurrence quand vous avez des nombres entiers et que vous faites décroître ben au bout d’un moment ça s’arrête forcément donc c’est un des argument
Important pour montrer l’existence de la décomposition en facteur premier donc ça c’est sur les entiers sur les polynômes ça paraît peut-être un peu plus délicat mais quand même ça marche à peu près le même argument là aussi il va y avoir quelque chose qui décroit à chaque étape et dans ce cas
C’est le degré vous pouvez regarder par exemple je sais pas la plus grande puissance qui apparaît sur le PO poinome en haut c’est 7 après ça devient 3 et cetera et ça décroit à chaque fois et donc au bout d’un moment ben ça ça ça forcément ça doit s’arrêter vous pouvez
Pas avoir comme ça une suite de de de choses qui décroissent à l’infini alors quand vous avez des nombres algébriques avec des 1 +√1 ou des Rac1 de façon générale c’est un peu plus compliqué de savoir ce qui décroit mais ça a été tout le travail de de de
Comer et de Dead kill de pour justement de définir une quantité qui va décroître à chaque moment à chaque fois qu’on fait une factorisation de sorte que de montrer qu’à la fin ça s’arrête vraiment donc dans ce cas-là c’est ce qu’on appelle la norme du nombre idéal c’est
Un vrai un nombre un vrai nombre en entier qui va décroître à chaque fois et qui va vous garantir qu’au bout d’un moment le processus s’arrête donc à chaque fois vous voyez dans toutes ces dans dans dans toutes ces euh euh ces théorèmes de factorisation vous avez ce truc là qui
Vous permet de dire qu’au bout d’un moment la factorisation va va va s’arrêter vous allez pas pouvoir continuer à l’infini et donc il faut trouver quelque chose qui remplace cet argument pour un anneau général si vous avez un anneau général donc je rappelle un anneau général vous
Savez pas du tout ce que c’est les éléments vous savez pas si c’est des nombres des polynômes des je sais pas des des éléphants des tortu ça peut être n’importe que donc ben là je le représente juste par un gros point d’accord ça c’est un élément de mon anneau général je sais
Pas ce que c’est je peux pas écrire 1 2 ou autre chose ou x j’en sais rien je sais pas du tout ce que c’est et donc essayons de faire le même truc donc on va commencer par lui essayer de le factoriser alors là histoire de que mon descin pren pas trop
De place j’ai écrit juste une branche juste un des facteurs et pas tous mais admettons qu’on arrive à trouver comme ça un diviseur un premier diviseur et puis ce diviseur on va trouver un deè diviseur puis un 3è diviseur puis un 4è diviseur et cetera
Si on arrive à faire ça à l’infini bah évidemment on aura jamais de théorème de factorisation parce que ça va continuer toujours on va jamais tomber sur un nombre enfin un nombre idal un idéal je sais pas comment il faut dire premier je sais comment il faut dire il faut dire un
Idéal et donc il faut interdire ce genre de chose si on veut avoir un théorème de factorisation et c’est exactement la condition que met en évidence notuteur c’est ça être en anneau notérien ça veut vraiment dire satisfaire cette condition là qu’il n’existe pas de suite infinie d’éléments idéaux donc comme ça de telle
Façon à ce que chacun divise le précédent d’accord si vous avez si vous avez pas de suite infinie comme ça de branche infinie disons dans votre arbre je sais pas comment il faut dire et bien vous êtes vous satisfaisit la condition de Neire alors que maintenant on appelle
Condition de notterianité et que Neire dans son article l’AEL condition de chaîne voyez pourquoi çaaelle une Cha et donc l’exploit que réalise le en quelque sorte c’est de démontrer que bah cette condition en fait elle est suffisante pour avoir un théorème de factorisation là je vous ai fait sentir
Qu’elle était nécessaire ser si vous avez pas ça vous avez aucune chance que ça marche mais en fait le fait est que dès qu’on a cette condition qui est satisfaite et bien euh vous avez un théorème de factorisation alors mieux encore enfin je sais pas si c’est mieux ou moins bien
Mais notaire donne une reformulation de cette condition qui est peut-être un peu moins parlante mais qui est un peu plus pratique en fait elle dit que c’est pareil que de vérifier que cette condition est équivalente à celle que j’ai écrite en vert ici qui dit que si
Vous prenez le le le PGCD au sens des idéos d’une famille infinie d’éléments de votre anneau he peu importe que ce soit des entiers ou n’importe quoi et bien ça se réduit toujours à une un PGCD d’une famille finie al bon je sais pas si ça vous parle mais c’est important d’avoir
Cette reformulation parce que Ben à l’époque on savait démontrer que bah il y a plein d’anneaux qui vérifient cette condition particulier les anneaux de polynô Hilbert avait démontré qu’il vérifier cette il vérifier ça dans son travail sur en particulier sur la théorie des invariants et donc le théorème de ne il
Est vraiment il englobe vraiment le théorème de la SCER qu’on a vu tout à l’heure sur la factorisation des des idéaux dans les ans de polynome et il englobe aussi le théorème de factorisation de dekin sur les entier mais en fait il est beaucoup plus
Général que ça parce que il y a beaucoup d’anneau neutérien c’est ça le dernier message que je voudrais vous faire passer c’est que là on a parlé beaucoup d’entier et de polynôme mais c’est pas du tout les seuls anériens il y en a vraiment plein plein plein
Donc les anneau de nombre on déjà vu donc je peut-être faire un récapitulatif peut-êre mettre des nouveau en même temps donc par exemple les entiers c’est un anneen du coup là vous retrouvez le théorème de factorisation dans les entiers est-ce qu’on avait besoin de faire tout ça pour ça certainement pas
Mais c’est quand même un bon c’est quand même bien de savoir qu’on retrouve le théorème de factorisation classique Z 15 comme on a vu c’est aussi un anneen et donc vous allezrou par ce théorème général le théorème de dekin et de il y en a d’autres que les gens
Avaient pas forcément vu avant par exemple les congruen qui donne lieu à un autre anneau est aussi un anneau neutérien et donc de cette manière vous avez un théorème de factorisation pour les congruences bon qui est pas forcément celui le cas le plus intéressant mais qui existe quand
Même vous avez d’autres entiers alors on a dit dans l’introduction que j’étais un fanatique de nom péadique donc je ne résiste pas au plaisir de les citer donc les artiers péadiques que vous sachiez ce que c’est ou pas ben ça fait aussi un anneauutérien et donc vous avez aussi un
Théorème de factorisation dans ce contexte euh les anaux de fonction je vous avais dit que c’éétait un autre exemple d’anau donc vous avez euh ben les polynômes qu’on a vu largement qui sont des anneaux notutériens et donc là comme je le disais vous retrouvez le théorème de lasquer c’est nototation
Pour les anneaux de polynô euh mais vous avez aussi d’autres anneaux de fonction par exemple je sais pas si vous connaissez mais les séries qui sont des sortes de polynômes infinis et bien il vérifie aussi cette condition enfin dans certains cas ça dépend les conditions qu’on met sur les
Séries mais dans pas mal de cas et vérifie aussi cette condition de d’être de neéianité et donc ben gratuitement avec le théorème de Neire vous récupérez un théorème de factorisation pour les séries euh vous pouvez aussi adjoindre des fonctions algébriques comme √x quand vous écrivez des expressions X Y et √x
Par exemple ou aussi √ y ou √3x + 2Y ou n’importe quoi vous euh vous vous obtenez encore des des anneaux neutériens et donc vous avez à nouveau un théorème de factorisation dans ce cadre là qui était pas connu avant vous pouvez faire encore des choses plus compliquées vous pouvez
Prendre ce que j’ai écrit des fonctions sur un espace géométrique donc là par exemple je vous ai dessiné un truc qui ressemble à un espace géométrique je sais pas trop ce que c’est une sorte de papillon euh d’oiseau je sais pas et donc si vous prenez les fonctions
Qui sont définies juste sur cette courbe et pas les fonctions qui sont défin sur tout le plan comme c’était le cas pour les polynômes par exemple et bien en généralon ça dépend un peu de la géométrie évidemment mais en général ça va aussi vous donner un un un anneau
Neutérien et donc vous avez aussi un théorème de factorisation pour ça et ça ça a des conséquences qui sont euh des conséquences pour la géométrie étudier la factorisation ou plus généralement étudier l’anneau des fonctions sur cet espace géométrique ça peut vous renseigner sur la géométrie un cas très typique là vous
Voyez sur mon sur mon dessin il y a un point qui a l’air très particulier là le l’endroit où c’est pointu ce qu’on appelle une singularité et donc si vous prenez non pas les fonctions qui sont définies partout mais juste les fonctions qui sont définis sur un petit voisinage de cette singularité
Par exemple dans le cercle que j’ai tracé enfin sur la courbe et dans le cercle et bien vous allez avoir des renseignements sur la singularité et étudier la factorisation ou d’autres propriétés de cet anneau qui est neutérien donc euh ça va vous donner des renseignements sur bah ce point particulier sur cette singularité
Aujourd’hui c’est un c’est une méthode vraiment très efficace qui a prouvé son efficacité tout au long du 20e siècle pour étudier les singularité des points bizarres comme ça sur les sur les courbes un dernier exemple qui est peut-être le plus important de tous enfin je sais pas en tout cas à mes yeux
Ça l’est c’est euh euh ce que j’ai appelé les anneaux hybrides c’est-à-dire que vous pouvez mélanger des nombres et des fonctions par un exemple très simple vous pouvez prendre les polynômes euh en X et Y mais vous autorisez d’avoir des racines de 15 dans l’écriture aussi donc vous avez une partie qui est
Arithmétique et une partie qui est plus polynome et ça je pense enfin à ma connaissance c’est pas vraiment des anneaux qui avaient été considérés avant notaire mais c’est des anneaux qui rentre vraiment dans le contexte de notire parce que eux aussi sont notriens donc ça c’est vraiment un cas nouveau où
On avait pas de théorème de factorisation avant et maintenant on en a un donc la zoologie des anneaux est vraiment très très grande on demande juste savoir faire des addition des soustractions et des multiplications ce qui est un peu la base quand on veut faire des maths et essentiellement dès
Qu’on sait faire ça et qu’on a cette condition de finitude de notaire et bien on sait faire de la factorisation et la factorisation c’est quelque chose d’important ça a des applications en arithmétique en géométrie algébrique mais ça a aussi des applications en géométrie et cetera ça permet de comprendre les singularités et
Tout donc voilà ce que je voulais dire sur ce ce travail de Neire dans les quelques minutes qui me reste je vais essayer de vous expliquer un peu enfin un peu plus parce que j’ai déjà commencé euh la répercussion de de de ces travaux tout au long du 20e siècle en fait elle
Est immense je reviens sur le même transparent euh donc je disais elle est immense mais donc quelle est-elle euh en fait ce qui s’est passé c’est qu’avevec Neire enfin l’école de Neire façon plus généralement on a vraiment changé de point de vue avant quand on faisait de la de
L’arithmétique on étudiait des des nombres entiers éventuellement des nombres entiers algébriques avec des racines de 15 ce genre de chose quand on faisait de la géométrie algébrique on étudiait des polynommes quand on faisait de la théorie des invariants on s’amusait à calculer des des invariants justement et avec ne après ne la
Géométrie algébrique par exemple ben ça c’est devenu l’étude des anaux enfin c’est le cadre d’étude c’était celui des anaux justement parce qu’on avait on s’est rendu compte qu’on avait pouvait avoir des théorèmes dans la généralité des anneaux et donc on commençait plus par je sais pas soit x y z des variables
On va considér les polynôes machin mais plutôt par on considère un anneau et on va travailler dans ce cadre et ça ça d’après moi c’est vraiment not a été peut-être pas la seule mais enfin quand même une des grandes une des grandes mathématiciennes qui ont contribué à
Faire changer le point de vue ce point de vue là et c’est vraiment un point de vue qui a montré toutes ses toute toute sa puissance tout au long du 20e siècle notamment en géométrie algébque en particulier je peux citer grotend si vous voulez mais il y a plein
D’autres plein d’autres gens qui ont contribué donc les anneaux hybrides là que vous voyez ici eux aussi qui mêlent arithmétique et géométrie ont étit vraiment très important ont été très étudiés et ont contribuait à presque la naissance d’une nouvelle branche des mathématiques qu’on appelle aujourd’hui la géométrie arithmétique c’est donc
Essayer de comprendre ces anneaux al la factorisation en particulier mais de manière plus générale d’autres propriétés de ces anneaux hybrides et une de et la propriété d’être neutérien et vraiment une propriété qui qui est importante qu’on retrouve partout qu’on retrouve dans beaucoup d’énoncés comme hypothèse c’est souvent une propriété qui fait
Marcher qui fait énormément marcher les les démonstrations parce que ça autorise comme on l’a vu d’avoir des raisonnements par récurrence enfin des sortes de généralisation de raisonnement par écurrence qui sont des choses que les mathématiciens font font beaucoup quand même donc les anneaux hybrides ont donné naissance à la géométrie arithmétique la
Géométrie arithmétique et en quelque sorte euh j’exagère un peu si je dis ça mais peut-être pas tant que ça non plus le point de vue moderne pour étudier les questions arithmétiques notamment les équations duancienne c’est-à-dire les équations sur les nombres entiers et plein d’autres choses donc la démonstration par exemple du théorème de
Ferma la la finale celle qui est d à wies en 1994 fait intervenir plein plein d’ingrédients mais c’est très les notions de géométrie arithmétique sont très importantes là-dedans notamment essentielle et la théorie des anneaux est vraiment et enfin je veux dire sans ça on aurait c’est impossible d’écrire la démonstration
Ouais il me reste 2 minutes donc je conclus l’exposé euh par juste on est très en ce moment je sais pas si ça vous a échappé peut-être pas les mathématiques les mathématiciens et mathématiciennes sont jugés par des critères bibliométriques donc j’ai fait un peu de bibliométrie sur de teres donc
Je suis allé sur Central blat donc central blat c’est une c’est une une base de donné en ligne de tous les articles mathématiques qui sont publiés euh dans toutes les revues de recherche en mathématique et donc on peut interroger la base de données c’est c’est très
Facile et euh donc je lui ai demandé dis-moi en 2023 Py 2023 ça veut dire ça combien il y a eu d’articles qui ont été publiés euh qui avaent neutterien dans le titre donc pour vous montrer que c’est encore une notion vraiment d’actualité donc dans le titre hein et
Donc ben il y en en a trouvé 37 donc sur Central blat vous avez donc l’année dernière donc juste sur l’année 2023 vous avez 37 articles qui ont été publiés qui ont notérien dans le titre donc dans la vraiment notérien c’est vraiment une notion centrale si vous
Faites la même requête en demandant qui est notérien dans le résumé vous montez à 257 donc tout ça pour montrer que la notion notérien 100 ans après bah c’est devenu c’est encore une notion fondamentale en mathématique peut-être plus que jamais en fait et vous avez encore énormément de recherche sur les
Anneaux notériens qui sont vraiment devenus un objet un objet courant de de l’algèbre passe peut-être presque au même titre que les entiers sont un objet courant de l’arithmétique voilà donc j’espère vous avoir convaincu que les anneau notéiens j’espère vous avoir fait sentir sentir un peu quelle était la contribution de
Not avoir convaincu que les anneau notériens c’est très important pour l’algèbre et que ça a beaucoup d’applications dans les mathématiques et je vous remercie de votre attention [Applaudissements] on a le temps pour une courte question euh dans la condition de notaire que vous avez écrit tout à
L’heure ou vous vous avez dit qu’il doit pas exister de suite infinie d’idéo enfin divisible tout ça oui euh dans le cas par exemple des séries entières ou des nombres péadiques comment on montre que ça n’existe pas enfin pour les entiers on pouvait dire qu’il y avait une descente infinie donc
Ouais B à chaque fois vous avez une démonstration un petit peu différente donc donc pour les polynômes c’est un théorème de noteur pour les séries le même argument s’applique mais c’est un petit peu un petit peu enfin il est même plus facile en fait pour les séries et
En fait ce qui se passe c’est qu’il y a des théorèmes très très généraux qui disent que si vous avez un anneau et que vous lui appliquez une certaine construction si au départ vous étiez notérien vous restez notérien par exemple si vous avez un anneau quelconque et vousprenez les
Polynôes à coefficient dans cet anneau quelconque si l’anneau de base était neutérien alors l’anneau des polynômes est neut rien et vous avez plein de construction sur les anneaux que j’ai pas détaillé détaillé par exemple je sais pas moi les quotients les choses comme ça et à chaque fois vous avez des
Les compessions euh qui permettent d’avoir au péadque et à chaque fois vous avez des théorèmes généraux qui vous vous dit si vous appliquez telle construction et que vous étiez neutérien vous restez neutérien ce qui fait que la plupart des anneaux qu’on va définir en fait ils vont être neutérien et juste en
Appliquant de la même façon que vous avez des théorèmes qui vous disent que je sais pas moi la somme ou le produit de deux fonctions dérivables et dériva donc vous avez pas grand chose à vérifier en général pour montrer qu’une fonction est dérivable là vous avez à
Peu près le même genre de machinerie vous avez des théorèmes de stabilité très très généraux qui vont vous dire que si vous partez des anneaux classiques qui sont déjà neériens et vous faites des constructions à partir de celle-là vous allez rester dans le monde notérien en réalité c’est plus dur
De construire des des anneaux non neériens que des anneaux neériens merci je suis désolé on va on va devoir quitter la salle puisque ça ferme à 20h prochain rendez-vous avec un texte un mathématicien Virginie bonayi Noël va nous parler le 3 avril prochain de peut-on entendre la forme d’un
Tambour d’après Mar Marc 4 merci encore Xavier et à bientôt merci beaucoup à vous pour cette invitation et pour m’avoir donné l’opportunité de parler de de notire qui est une grande mathématicienne à mes yeux
1 Comment
Lumineux. J'ai compris plein de choses apprises il y a très très longtemps.