Des disques aux planètes : processus fondamentaux (6) – Alessandro Morbidelli (2023-2024)

Enseignement 2023-2024 : Des disques aux planètes : processus fondamentaux
Cours du 11 mars 2024 : Les interactions dynamiques

Professeur : Alessandro Morbidelli
Chaire Formation planétaire : de la Terre aux exoplanètes

Étant donné que le processus de formation planétaire tend à produire plusieurs planètes, il est essentiel de prendre en compte les interactions entre celles-ci. La migration conduit à la formation de chaînes de résonance, parfois observées dans des systèmes exoplanétaires. Cependant, à long terme, une fois que le disque de gaz a disparu, les systèmes planétaires peuvent devenir temporairement instables, entraînant des fusions et des éjections de planètes, jusqu’à ce qu’une nouvelle configuration plus stable soit atteinte.

Retrouvez les enregistrements audios et vidéos du cycle :
https://www.college-de-france.fr/fr/agenda/cours/des-disques-aux-planetes-processus-fondamentaux

Tous les enseignements du Pr Alessandro Morbidelli :
https://www.college-de-france.fr/fr/chaire/alessandro-morbidelli-formation-planetaire-de-la-terre-aux-exoplanetes-chaire-statutaire

Le Collège de France est une institution de recherche fondamentale dans tous les domaines de la connaissance et un lieu de diffusion du « savoir en train de se faire » ouvert à tous.
Les cours, séminaires, colloques sont enregistrés puis mis à disposition du public sur le site internet du Collège de France.

Découvrez toutes les ressources du Collège de France :
https://www.college-de-france.fr

Suivez-nous sur :
Facebook : https://www.facebook.com/College.de.France
Instagram : https://www.instagram.com/collegedefrance
X (ex-Twitter) : https://twitter.com/cdf1530
LinkedIn : https://fr.linkedin.com/company/collègedefrance

[Musique] bonsoir à tous donc merci d’être venu c’est la dernière rencontre de ce cycle sera suivi d’un cololloque comme je diraai à la fin donc aujourd’hui on termine cet aperçu des processus fondamentaux qui régisse la formation et l’évolution initial de les façonnement de la mise en forme des des systèmes

Planétaires en parlant justement des interactions entre planètes parce que jusqu’ici on s’est plutôt intéressé d’une planète seule penser la dernier cours lundi passé on a étudier en grand détail la migration mais c’était à chaque fois une seule planète et évidemment les planètes se forme à

Plusieurs on a vu un peu lors du 4e cours et lors de de leur formation et surtout le leur migration les planètes forcément sont amené à interagir dynamiquement entre elles et donc dans ce dernier cours je vais vous parler de ces interactions dynamiques justement la naissance de chaînes de résonance

L’effet de leur migration leur phénomène collectif leur instabilité alors quand on parle d’interaction dynamique ça peut dire devenir très vite très compliqué et très mathématique donc je me suis posé longement la question comment je vais aborder ce cours et donc c’est le cours que j’ai fait en dernier et finalement

J’ai décidé de l’aborder en deux parties donc la première heure je vais essayer d’expliquer tout ce que je suis capable d’expliquer plutôt avec le main des petits schémas des petits animations voilà et faire passer l’intuition de ce qui se passe et donc ça devrait être abordable après 2è heure on va passer en

Mode séminaire vous savez certains cours au Collège de France ont organisé un cours introductif la première heure séminaire la 2e heure souvent c’est un invité qui présente les séminaires c’est moi parfois en anglais même cette fois c’est moi qui fait le séminaire ce sera en français mais ce sera bien plus

Technique c’est plutôt adressé au au doctorant dans la salle jeune chercheur et je vais parler de comment on peut étudier les interactions des entre planètes notamment les interactions ressonnantes en utilisant une approche plus mathématique qui est l’approche hamiltonien mais c’est de d’être aussi bon clair aussi clair que possible on va

Voir donc commençons toujours un petit rappel sur ce que c’est une orbite je l’ai déjà fait plusieurs fois dans le cours de cette série donc une orbite est en une ellipse où l’étoile neoccupe pas les centes de l’ellxe de l’ellipse mais un des foyer déjà la dernière fois

J’avais définir les demi grand axe qui est la moitié du grand axe qui traverse l’ellipse et son excentricité qui mesure la distance entre l’étoile et le centes de l’ellipse normalisé au demi-grandaxe de l’étoile donc l’ellipse sur l’ellipse le l’objet a une excursion radiale par rapport à l’étoile et l’objet passe à

Une distance minimale par rapport à l’étoile au péréie et une distance maximale à l’ Phélie donc on peut définir quelques autres variables pour caractériser l’ellipse et la position de l’objet sur l’ellipse tout d’abord donc on va prendre un système d’axe arbitraire mais centré sur l’étoile axe X un axe Y l’orientation arbitraire et

On va définir la longitude du périelli donc l’orientation du périelli par rapport à l’axe de référence l’axe des x donc la longitude des pérell sera cet angle qui caractérise l’orientation du pérell par rapport à l’axe des x maintenant pour représenter la position de l’objet sur l’ellipse ce n’est pas

Immédiat parce que si l’objet était sur une orbite circulaire ben il tournerait autour de l’étoile avec un mouvement régulier uniforme mais il est sur une ellipse et donc l’arc que l’objet fait sur un temps Delta t dépend d’où l’objet est sur l’ellipse par exemple dans un premier temps Delta t l’objet ira du

Pérell jusqu’à à cette position le delta t suivant il va parcourir un autre arc d’ellipse mais cet arc là est plus court que cet arcleci donc en fait l’arc ou l’angle parcouru par la planète c’est pas une fonction linéaire du temps c’est qu’ une fonction linéaire du temps est

L’air c’est la fameuse loi des air de Kepler qui dit que un un temps égal ben l’air qui est comprise entre ces deux segments qui qui connectent l’étoile à la position initiale de la planète et à la position finale de la planète et les bords de l’ellipse bien cette R est

Toujours la même chaque Delta t c’est la même r donc l’air de ces segments là est égale à l’air de ces segments là et donc c’est l’air qui augmente linéairement dans les temps donc on va définir un angle qu’on appelle l’anomalie moyenne qui est en fait cette R qui grandit

Linéairement dans le temps avec une dérivée constante qu’on va renormalisé par rapport à l’air totale de l’ellipse multiplié par 2 pi donc une fois que l’objet aura fait toute un tour autour de l’ellipse cet angle ANOM moyenne changera de 0 à 2 pi comme il se doit

Pour un angle mais bien sûr cet angle nous dit pas directement où est la planète parce que la la la l’angle vrai qui caractérise la position de la planète par rapport au Pell lui n’est pas une fonction linéaire dans les temps et donc on passe à travers un autre angle que s’appelle l’anomalie

Excentrique qui est lié pardon à cette anomalie moyenne l’anomalie moyenne est parfois représenté par un L parfois représenté par un M je me suis gamellé donc je vi la M ici je m’en excuse c’est le même angle et et donc c’est l’équation de Kepler c’est une équation transcendante dont la solution numérique

N’est pas banal pas mal de littérature pour comment on peut résoudre cette équation et donc en connaissant m calculer grand E en connaissant l’exencité petite e évidemment de façon précise et rapide mais bon on va pas rentrer dans cette cette ces arguments algorithmiques et une fois qu’on calcule l’anomalie excentrique alors on peut

Connaître la position de l’objet en terme de sa distance à l’étoile R et l’angle de qui de de la ligne qui la connecte le connecte la connecte à l’étoile par rapport à la ligne qui identifie les pérell qu’on appelle F et les formules sont celles-ci donc la

Distance à l’étoile égal au déi grand axe qui multiplie 1 moins petit e donc l’excentricité cosinus de cette anomalie excentrique et les cosinus de cet angle F et s rapport donc cosinus de l’angle grand E moins l’excentricité divisé par E1 moin e cosinus e donc une fois que on

Connaî le temps donc on connaît l’anomalie moyenne parce que l’air augmente linéairement dans les temps une fois qu’on connaitt l’anomalie moyenne on inverse cette équation calcule l’anomalie excentrique et celle nous donne la position de de la planète par rapport à l’étoile sur les plans de l’orbite le planans de l’orbite n’est pas

Nécessairement le planans de référence vous direz le plan de référence est arbitraire donc pourquoi ne pas prendre le planans de l’orbite parce que parfois il y a des plans de référenceces qui nous intéressent davantage par exemple si vous avez un système de planètes vous savez que le moment cinétique total est

Conservé donc en plan de référenceces privilégié et les plans orthogonal au moment cinétique totale du système donc finalement les planans de référenceces est arbitraire mais mais pour des études en général on a des bonnes motivations pour choisir un plan de référence bien spécifique qui n’est pas forcément les

Plan de orbital d’une planète d’un objet spécifique donc si vous avez ici votre plan de référence avec les axes X Y les plans de l’orbite peut être transverse au plan de référence on appelle bien sûr l’inclinaison ben l’inclinaison donc l’angle qui fait les plans de l’orbite par rapport au planans de référence donc

L’intersection entre les plans de l’orbite et les plans de référence définit une ligne qu’on appelle la ligne des nœuds et la position de ce nœud par rapport à l’axe de référence X qui on a s’appelle longitude du nœud euh identifié par un Oméga majuscule la position du périéi on peut

La décomposer dans un angle qui identifie la position du pérell par rapport à la ligne de nœud qu’on appellera argument de pérell petitte Oméga et la longitude du pérelli que sur les plans euh on avait défini comme la position du pérelli par rapport à à

L’axe des x m tant que la l’orbite sort du plan sera simplement la Somme entre la longitude du nœud et l’argument des pérellie et vous voyez que si l’inclinaison devient nulle la longitude des pérellie est bien celle que je vous ai définie auparavant chose importante à à garder à

L’esprit c’est que la période orbitale de pend uniquement du démig grandandaxe si vous changez l’inclinaison vous changez l’excentricité vous changez l’inclinaison vous changez l’ l’orientation l’orbite la période orbitale nechange pas la période orbitale est uniquement fonction du démigrandax bien alors mon objectif dans cette première heure est arriver à

Comprendre cette animation al cette animation une animation que j’ai montré lors de ma conférence inaugurale peu tricher déjà dans la conférence inaugurale n’avait pas montré l’axe vertical qui est ici l’excentricité ant vous savez ce que c’est l’excentricité le 25 janvier pas nécessairement donc qu’est-ce qu’elle montre elle montre la migration dansun

Système des planètes qui se forment au-delà de la ligne des glace dans les dis de gaz qui est représenté par C triangle et donc qu’est-ce qu’on voit on voit benah les planètes migrent maintenant depuis là qu’on fait la leson du lundi passé vous savez pourquoi on a

Vu même une planète l’orange comm moment donné a fait marche arrière c’est parce que il y a de [Musique] fameux il y a il y a les fameux couple de cororbital dû à au gradient de d’entropie qui peut inverser la migration temporairement et puis bon je

La remontre parce que j’ai il a été trop vite par rapport à mon temp parole là vous voyez l’inversion de la migration temporaire de la planète orange puis qu’est-ce qu’on voit par exemple on voit des groupes des planètes qui migrent ensemble ici il y en a deux ici il y en

A quatre qui vont migrer vers les bords internes du disque la migration continue euh parfois ces groupes arrivent à merger dans un unique train groupe qui arrive voilà ici on arrive au bord interne du disque alors on a vu euh lundi passé qu’au bord interne du disque

La les gradients radial de la densité de surface du disque est fort et positif donc le coupes de corotation peut arrêter une planète on a appelé les les pièg à planète mais ici on voit qu’il y a tout un système des planètes qui est bloé au bord interne et il y a seulement

Évidemment une seule planète qui est qui est ancrée sur les pièges à Planète donc pourquoi un piège peut garder plusieurs planètes à l’arrêt même si sont pas toutes s les pièges planète c’est quelque chose qu’on voudra comprendre et puis on peut continuer la la simulation si veut bien continuer euh voilà donc

C’est intéressant de voir cette petite planète comment elle se comporte quand quand elle est pour chasser par une planète plus grande et à la fin passe derrière pourquoi quoi un doit vererserette position donc tout ça c’est des choses que je voudrais essayer de vous expliquer pendant cette première et

À la fin donc on reviendra sur cette animation pour expliquer un peu la phénoménologie qu’on est en train de voir donc pour commencer commençons avec l’interaction entre deux planètes qui migrent et euh donc je vais vous montrer une animation ce qui font C deux planètes euh j’ai dans cette animation

Je vais montrer bon l’Excentric des planètes la distance à l’étoile j’ai pour par simplicité rénormaliser la distance à l’étoile sur la distance de la première planète donc on voit pas laè première planète bouger même si elle migre vu qu’on renormalise la distance à les unités de mesure à sa

Distance on la verra pas bouger et ce qui est important que la deuxième planète plus externe migre plus vite donc dans ce diagramme où la planète première planète semble à l’arrêt la deuxième planète va s’approcher à la première planète première planète peut être l’arrê est sur une piège en planète

Mais peut aussi migrer mais mais la deuxième planète migre plus vite de la première donc on a une migration convergente et donc voyons ce qui se passe donc voilà la la deuxième planète s’approche à première planète son excentricité diminue devient pratiquement nul parce que les dis de gaz pas seulement force la migration

Mais aussi d’ampleexcentricité et puis quand ça arrive sur cette ligne vous voyez que les les excentricit des deux planètes montent jusqu’à se stabiliser et là on a configuration d’équilibre où nous avons deux planètes un peu excentriques elles s’approchent plus les un aux autres et j’ai pas arrêté les forces d’migration

Les disque est toujours en train d’agir mais les planètes ne peuTent plus s’approcher mutuellement donc clairement cette ligne a joué un rôle capital dans la dynamique de ces systèmes et a permis de stabiliser les systèmes au lieu d’avoir un système qui était en train de changer parce que mutuelle diminué

Maintenant le système s’est figé toutes et même si les forces exercées par les disques sont toujours là et cette ligne pointillée est une résonance et en particulier ici il s’agit d’une résonance 32 ça veut dire que la période orbitale les deux les rapport entre les périodes orbitales des

Deux planètes est un rapport 32 c’est-à-dire la planète interne fait trois tours autour de l’étoile dans le temps où la planète externe fait deux tours autrement dit la période de la planète externe et une fois et demi la période de la planète inter terne donc les résonances font des choses bizarres

Donc il nous faut comprendre pourquoi alors commençons à voir ce que c’est vraiment une résonance bon c’était c’était rapport de période qui égal au nombre entier mais qu’est-ce que ça signifie donc pour le montrer je vous montre ici une animation de planète qui tourne autour de l’étoile vu par les

Haut j’ai pris la résonance 2 an plutôt que la résonance 3 32 pour pour aller un peu plus vite et donc voyons ce qui se passe donc je lance l’animation ah oui j’ai oublié de dire la planète interne sur une orbite circulaire la planète externe est sur une orbite excentrique

Elle démarre à la Phélie donc euh les périodes sont exactement 2 an donc quand la première planète a fait un tour la planète externe a fait un demi-tour et en attendant qu un tout petit peu quand la la planète interne complète son 2e tour la planète externe

A fini exactement son premier tour donc on se on se retrouve exactement dans la position initiale donc c’est clairement une configuration qui se répète de façon périodique à la conjonction c’est-à-dire quand l’étoile la première planète la deuxième planète sont alignées on a aussi la configuration d’approche minimale c’est à ce moment-là que les

Deux planètes sont les plus proches et donc leur force de gravité mutuelle est la plus forte à cause de la symmétrie parfaite de ces diagrammes donc un peu avant la conjonction la planète interne est derrière la planète derrière la planète externe donc ça veut dire que la la planète interne

Freine la planète externe et la planète externe accélère la planète interne mais symétriquement quand vous allez de l’autre côté du diagramme c’est exactement la situation symétrique la planète interne est devant la planète externe donc la planète interne accélère la planète externe la planète externe décélère la planète interne c’est la même magnitude

Donc les ces forces vont s’annuler par paire d’un côté et de l’autre par rapport à cette ligne de symétrie donc en moyenne sur cette orbite périodique sur cette configuration priodique il y a pas de force entre la planète première entre les deux planètes et donc cette configuration est dans l’espace orbital

En point d’équilibre donc maintenant donc et résonance égale orbite périodique voil et orbite périodique égale point d’équili libre dans un espace par exemple des migr d’axe excentricité si on a des certains des migr d’axe certaine excentricité et on est sur une orbite périodique l’ des migrant d’axe et l’excentricité en

Moyenne sur sur une configuration complète après une configuration complète ne bougeront pas alors est-ce que cette orbite périodique est stable ou est instable pour les savoir ben comme toujours on l’a fait plusieurs fois dans ces cours il faut modifier un peu les orbites et voir comment se comportent les forces de rappel est-ce

Que les forces des rappels ramèneent les les orbites vers le la la configuration périodique au contraire les fonds divergés donc considérons par exemple un cas maintenant comme celui de tout à l’heure la planète interne est circulaire la planète externe est excentrique elle démarre toujours de la

Félie mais cette fois elle est un peu décalée vers l’extérieur de façon que sa période est un peu plus longue que le double de la période de la planète interne et donc voyons ce qui se passe dans ces cas-là donc ça rassembleable assez à la simulation de tout à l’heure mais pas

Tout à fait et vous voyez que quand la première planète complète une orbite l’autre n’est pas tout à fait fini une demi-orbite et quand la première planète rattrape la deuxième et elle arrive en conjonction ben on n’est pas arrivé dans la configuration initiale donc celle-ci n’est clairement pas une configuration

Périodique parce qu’on est passé d’une conjonction qui était ici sur l’axe des X à une autre conjonction qui n’est plus sur l’axe des x cette fois la conjonction ne correspond pas au point d’approche minimale des deux planètes l’approche minimale des deux planètes en fait a

Lieu un peu plus tôt par rapport à la conjonction a lieu là et la différence est importante parce que vous voyez que la ligne qui connecte les deux planètes donc la force disons que la planète rouge exerce sur la planète noire n’est pas exactement alignée comme euh la la

Ligne qui qui joint l’étoile à la planète noire donc cette force a deux composantes une composante radiale et une composante asimutale dans la dans la direction de l’orbite de la planète alors la planète en même temps vu qu’elle est pas encore arrivée à la Félie la planète noire est en train de

S’éloigner de l’étoile donc la planète est en train de s’éloigner de l’étoile elle subit une force par la planète rouge dirigé vers la planète donc avec une composante radiale dirigée vers l’étoile donc ça veut dire que les mouvements radial positifs de la planète qui est en train d’aller vers la Félie est freiné

Par l’action de la planète en terre et donc ça veut dire que l’excentricité diminue parce que si vous êes freinez une planète qui est en train d’aller du périe vers la Félie ben forcément vous diminuez son excentricité d’autre côté vu que cette force n’est pas dirigée

Comme la ligne qui joint le soleil à la planète il y a une petite composante à utale cette composante asimutale est dans la direction opposée du mouvement orbital de la planète noire donc cette cette la vitesse asimutale est aussi freiné et si vous freinez un objet en orbite vous diminuez son déigrand d’axe

Donc si on passe maintenant à l’espace orbital d’ migrand d’xe excentricité la planète noire quand elle était en résonance je disais c’est un point fixe donc elle garde son demigrandaxe son excentricité parce que c’est une orbite périodique là on l’a mis un peu à l’ex rieur donc elle est pas exactement sur

La ligne ressonnante et quel est l’effet de ne pas plus être sur une orbite périodique et que la force moyenne exercée par la planète rouge surous la planète noire est une force qui va tendre à diminuer son excentricité et en même temps diminuer son démigrandax maintenant prenons maintenant en considération l’autre cas

Les cas où la planète noire toujours part à l’ Philie d’une orbite excentrique mais cette fois son orbite un peu plus petite son des migran d’axe un peu plus petit donc il est à l’intérie elle est à l’intérieur de la résonance 2 donc sa période est un peu

Plus courte que deux fois la période de la planète rouge et donc on va voir ben exactement les cas opposés la planète noire va faire une demi-orbite avant que la planète rouge termine son orbite et puis la planète noire termine son orbite avant que la planète rouge termine sa

Deuxè orbite et donc la simulation va continuer jusqu’à la conjonction et donc voilà la conjonction et euh donc comme tout à l’heure la conjonction n’est plus sur l’axe des x donc c’est pas non plus une orbite périodique comme tout à l’heure la conjonction n’est pas le point d’approche minimale entre deux planètes

L’approche minimale a lieu un peu après et euh donc comme tout à l’heure la force que la planète rouge exerce sur la planète noire a une composante radiale et une composante aimutale ok mais cette fois la situation est différente la planète est en train de descendre de la

Félie qui est là vers son péée qui est ici et donc la planète a un mouvement radial négatif la planète noire en train de s’approcher au soleil et la force radiale exercée de la par la planète rouge est dans la même direction donc le mouvement radial négatif de la planète

Est accéléré ceci veut dire que son excentricité est augmenté par la force exercée par la planète rouge sur la planète noire et la composante de la force d’un Asim sur la Tangentielle à l’orbite est aussi positive dans l’ sens du mouvement de la planète donc ça veut

Dire que la vitesse aimutale est aussi accéléré et si vous accélérez un objet sur son orbite vous augmentez son demigr d’axe donc si on repasse un dans l’espace orbital donc desigr d’axe excentricité on appris maintenant une planète qui n’est pas tout à fait en résonance mais un peu cette fois à

L’intérieur et on a vu que le fait n plus être sur une orbite périodique fait si que la force force plus forte au moment des du moment de des distances minimale de la entre la planète rouge et la planète noire fa si que l’excentricité augmente et les démigr d’axe augmentent dans cette directionl

Donc vous l’aurez compris si vous écartez un objet de sa résonance une planète de sa résonance il va voir un mouvement oscillatoire transverse à la résonance un peu comme en pondule et donc c’est une oscillation autour de la résonance cette oscillation n’a pas lieu à excentricité constante a lieu sur une

Courbe inclinée qui donc couple des migrant d’axe et excentricité pour faire une ligne transverse donc si vous êtes sur la résonance c’est un point stable parce que si vous vous écartez de la résonance vous commencez osiler autour évidemment comme les pendules à une amplitude d’oscillation finie la résonance va avoir aussi une amplitude

D’oscillation maximale euh évidemment si vous êtes très loin la résonance à chaque conjonction les les phases sont complètement distante de la phase initiale donc vous avez des des des des des choses complètement cohérentes une fois les planètes s’accélèent une fois c’est des salaire donc il y a une distance une

Amplitude maximale d’oscillation autour de la résonance qu’on appellera l’amplitude de la résonance la taille de la résonance alors il est assez intuitif aussi de dire que cette taille de la cette amplitude d’oscillation de la résonance est nulle à excentricité nulle pourquoi parce que si je fais les mêmes

Diagrammes de tout à l’heure la même animation orbitale de tout à l’heure en prenant deux orbites circulaires peu importe où se ren quel est le point de où se trouve la euh la conjonction entre les planètes vu que les orbites sont circulaires rien change la même distance

Et cetera donc évidemment la résonance n na plus aucune importance sur les orbites son circulaires donc l’amplitude doit être nulle sur les orbites son circulaires elle n’est pas nul si les orbites ne sont pas circulaires donc voilà l’amplitude de la résonance doit avoir une certaine forme de V alors

C’est pas que les bords soient des lignes droites ça peut être quelque chose d’ peuvasé comme ça on peutvaser comme ça et d’ailleurs les deux cas existent mais en gros passe d’une taille minimale nulle excentricité nulle à des des tailles plus grandes excentricité grandissante et donc selon où vous êtes

Dans la résonance vous oscillez sur une de ces lignes transverses voilà très bien donc ceci nous montré déjà comment on se comporte par rapport à la résonance en la résonance un pendule c’est un pendule donc qui donne une oscillation sur ces lignes transverses dans un plan de migrinaxe excentricité maintenant sur cette base

Nous pouvons comprendre la pourquoi une une planète qui migre vers l’autre va être capturé en résonance donc considérons là par exemple pour être plus simple la planète rouge grand est grande donc elle est pas affectée première approximation la planète noire est petite donc c’est la planète noire qui va subir l’influence

La planète rouge pas trop l’inverse sinon çaent vraiment com compliqué à dessiner donc disons c’est une planète un petit corps c’est ces objets là migrent vers l’intérieur donc c’est une migration convergente donc il s’approche la résonance il rentre dans la résonance et donc il se retrouve là dans la

Résonance mais maintenant il est dans la résonance et donc il doit obéir aussi au mouvement résonant donc la résonance tende à le faire changer de là à là avec une demi euh oscillation sur ces plans obliques qu’on qu’on vient de discuter mais l’objet veut toujours migrer donc

Il veut aller de là à là mais il est toujours en résonance donc la résonance qui force de l’oscilation veut la le rappeler en arrière toujours sur une ligne qui est parallèle à ces lignes sur laquelle la résonance agit mais l’objet veut toujours migrer vers la gauche donc

Voilà mais la résonance veut le faire aussiler mais l’objet veut aller vers la gauche la résonance fait aussiler et ainsi de suite donc vous avez comprisin ça montre en excentricité comme on a vu tout à l’heure donc en net l’objet ne s’approche plus à l’étoile mais ce mouvement de rapprochement et

Oscillation fait monter l’excentricité de l’objet verticalement autour de la résonance avec une amplitude d’oscillation par rapport à la résonance qui reste à peu près constante mais les disques n’exercent pas seulement des forces qui font migrer les planètes qu’on a regardé en détail lundi passé exerce aussi un amortissement de

L’excentricité la l’ANDI passé je n’ai pas eu trop le temps de détaillé de le développer mais c’est en fait les les les for les mêmes forces de migration tend d’amortir l’excentricité donc euh voilà les disques exercent aussi une force qui a tendance à faire diminuer l’excentricité la migration à travers la

Résonance a tendance à faire augmenter les excentricités et à un moment donné les ces deux forces s’annulent et euh rentre en équilibre et c’est pour ça que la montée de l’excentricité s’arrête comme on a vu dans l’animation tout à l’heure et on dirait que plus rien passe même si

Le gaz est toujours là le disqu est toujours là et le disque est toujours en train d’exercer ses forces voilà et dans la 2è heure on on essayera de dériver quel est le point d’équilibre en excentricité pardon euh alors pour vous avez compris de Cees schéas que pour avoir une capture en

Résonance il est essentiel que le temps de traverser de la résonance donc si comme si la la ressonance n’existe pas l’objet peut continuer à migrer donc les temps qu’il faut pour l’objet pour traverser la ressonance doit être beaucoup plus long que les temps d’oscillation autour de la résonance

Parce que sinon la résonance n’a pas le temps de de faire osciller l’objet de le ramener en arrière ramener en avant puis en arrière et cetera donc un critère les critères essentiels pour la capture en résonance est que voilà les temps de traverser de la résonance est plus long

Beaucoup plus long que les temps la période d’oscillation à l’intérieur de la résonance et c’est un critère qu’on peut formaliser on formalisera lors de la 2è heure mais c’est le critère de base donc si vos objets migrent trop vite ils vont passer à travers la résonance ets vont pas voir la résonance

Mais la résonance il n’a pas une il y en a toute une série il s’approche en plus en plus à la planète à la planète perturbatrice par exemple il la résonance 21 puis la ressence 32 puis ronence 43 puis ronance 54 et cetera et vu que c ressonnance s’approche de plus

En plus à la planète leur mouvement de d’oscillation est devient de plus en plus rapide le fréquence d’oscillation devient de plus en plus grande et donc tôt ou tard on trouvera une résonance qui dont la fréquence d’oscillation est plus rapide que le temps de traversé de la résonance et donc le l’objet migrant

Peut passer à travers une série de résonances jusqu’à s caler sur une résonance appropriée et et donc l’ordre de la résonance c’est la 21 la 32 la 3 la la 43 la 54 et cetera va dépendre effectivement de la vitesse des migration convergente entre les deux

Objets si on réverse la figure donc on prend un objet qui migre vers la planète donc toujours une migration convergente mais vers l’extérieur c’est exactement le même dessin donc les les lignes d’oscillations sont inversées donc au mainant l’excentricité augmente pour de quand les démigrandax diminuent l’é diminue quandmigrandaxe augmente votre

Objet arrive là et va va osciller temps de traverser mais l’oscillation le ramène en arrière ça monte à excentcité jusqu’au point d’équilibre donc c’est exactement la même chose en spéculaire et donc qu deux planètes et pas une planète un petit corps vous pouvez avoir l’intuition et donc c’est un peu la

Composition des ça avec ce que je vous ai montré précédemment et donc ça veut dire que c’est les deux objets sont deux planèt pas une planète et un petit corps donc les deux objets peuvent s’influencer mutuellement en gros la planète externe est capturée en ressonance avec la planète interne avec

Un schéma comme celui-ci mais la planète interne est capturé en ressonance avec la planète externe avec un schéma comme celui-là et donc la résultat est que les deux excentricités des deux planètes vont augmenter de concer exactement ce qu’on a vu sur l’animation au début de de la du

Cours en revanche si vous avez une migration divergente vous pouvez jamais être capturé en résonance et la raison est toujours dans la géométrie de cette amplitude de résonance en forme de V et ces plans d’oscillation parce que bon si votre objet migre de l’intérieur vers l’extérieur donc s’éloigne de la planète

Il va rentrer en résonance comme tout à l’heure la résonance ve lui faire faire une oscillation le ramène près du bord l’objet va continuer à migrer il sort en fait on a vu que ce jeu tout à l’heure garderit l’amplitude de d’oscillation autour de la ligne ressonnante en

Montant ici on devrait garder la même amplitude d’oscillation en descendant mais vu qu’il y a une forme de V il y a pas de place donc tôt ou tard après que peut-être pas directement à la première oscillation mais après deux trois oscillations forcément l’objet doit sortir et reprendre sa migration en

S’éloignant de la planète donc les résonances capturent seulement quand il y a de la migration con et jamais quand il y a de la migration divergente bon ça ce qu’on a vu on a vu pour deux planètes mais ça se répète par exemple prenons trois planètes et refaisons les même simulation qu’au

Départ encore une fois donc on a les trois planètes rouge bleu noir et bleu l’excentricité montrée sur l’axe des Y la distance à l’étoile normalisée sur l’axe des x encore une fois normalisé à la la distance à première planète donc la première planète migrossie soit prise sur une piège en planète peu importe

Dans cette configuration elle ne ne ne semblera pas bouger donc ici c’est la résonance 32 avec la planète rouge vu que la planète rouge n’apparaît pas bouger cette ligne ne va pas bouger et la ligne bleue la résonance 32 avec la la planète noire donc fa la trac noire

Mais tempant j’y pense et ben vu que c là bouge ben cette ligne va bouger aussi donc lançons l’animation donc vous voyez la planète noire la planète bleue migre excentricité nulle donc voilà la planète noire bouge sa résonance aussi Laon planète noire rentre en résonance avec la planète rouges les excentricités

Augmentent c’est comme tout à l’heure planète bleue va Trine du coup la ressonnance 32 avec la planète noire s’est arrêté la planète bleue arrive PAF rentre en ressonance aussi troisième planète en résonance alors au départ elles sont déphasées parce que les autres deux planètes sont déjà excentriques et la dernière planète

N’est pas excentrique donc elle veut monter en excentricité en influençant les autres donc vous avez vu des oscillations mais à la fin cette force de damping que les gaz exercent sur les excentricités stabilis ces oscillations et donc là à la fin on a une configuration à trois planètes chacune

Chaque planète a en ressonance 32 avec la planète voisine la monte excentricité est contrebalancé par l’amortissement des excentricités d pe au gaz et les systèmes se figent dans une configuration qui ne ne bouge plus même s’il y a encore les disques qui exercent ses forces et donc là on a

L’établissement par exemple d’une chaîne de résonan à trois planètes c’est une chaîne 32 32 parce que une résonance 32 entre les deux premières planètes et résonance 32 entre la 2è et la 3è planète et ainsi de suite j’arrête de faire les vidéos mais les animations

Mais ça peut marcher avec 4 5 6 planètes et ce et voilà donc toujours s’il y a migration convergente une petite exception donc une migration convergente mais où la planète interne est une planète mineure par rapport à la planète externe qui une planète majeur sont deux planètes c’est

Pas seulement une planète en petit corps sont deux planètes mais la première est moins massive que la 2è encore une fois je choisis de rénormaliser les unités à la distance de la planète majeure donc on verra la planète mineure se déplacer de la gauche vers la droite parce que

C’est une migration convergente donc VO comme tout à l’heure l’objet capturé en résonance vous voyez la planète noire est exanté plus grand que la planète rouge parce qu’elle est plus petite mais maintenant au lieu d’arriver à un équilibre comme tout à l’heure où des systèmes se figai même si

Les disques étaient toujours là ben ces oscillations il y a des oscillations qui commencent qui deviennent de plus en plus fortes de plus en plus grandes jusqu’à faire échapper l’objet noir de la résonance avec l’objet rouge donc on a un cas où on a une capture en résonance mais la stabilisation à une

Certaine excentricité n’est pas complète et amène à des oscillations dans la résonance de plus en plus grande jusqu’à faire échapper l’objet de la résonance c’est un un phénomène qu’on appelle overstabilité de la résonance peu importe et la raison est encore relativement simple donc on a on est

Dans ces casre Figur là où la planète rentre en résonance c’est des migration plus oscillation autour de la résonance fait monter en excentricité il y a les damping de l’excentricité du au disque donc les la chose devrait se stabiliser mais mais il y en mais donc l’excentricité effectivement à cause de

L’existence du disque est amorti et par cette équation là et mais l’amortissement de l’excentricité a aussi un effet sur le mouvement du demig grandandax donc le demig grandandax lui ouge parce qu’il y a une force de migration avec un temps caractéristique Toa mais les l’amortissement de l’excentricité avec ce temp

Caractéristique taux e affecte aussi les mouvement du démig grandandaxe et vous voyez que les coefficients de cet amortissement est proportionnel à l’excentricité au carré et là c’est la clé de cette instabilité donc si vous avez votre petite planète donc qui qui est là qui est aussi là donc elle reçoit un damping

D’éleccentricité qui qui contrebalance la poussée de l’ccentricité du à la résonance mais il y a aussi c’est ces term sur les démigrandax qui dépend de l’excentricité donc il y a une force sur les démigrandaxe qui est un peu plus petite de ce côté ici de l’oscillation parce que là l’excentricité est plus

Petite et un peu plus grande de ce côté-là de de l’oscillation parce que là l’excentricité un peu plus grande donc ces deux vecteurs dirigé vers l’extérieur ne se compense pas tout à fait par rapport à la distance au centre il y a il y en a un qui est plus grand

Que l’autre qui pointe vers l’extérieur ça veut dire que l’amplitude de libration d à ce terme va augmenter et c’est exactement ce qu’on a vu tout à l’heure la capture en résonance la montée de l’excentricité la stabilisation de l’excentricité et ensuite l’amplitude d’oscillation qui augmentait sans cesse jusqu’à forcer

L’objet de sortir de la résonance c’est dû justement à C déséquilibre cette inégalité entre les mouvements du démigrandaxe que le démigrand d’Ax subit euh des deux côtés de l’oscillation parce que l’excentricité n’est pas la même et ceci est important si la planète interne est plus petite que la planète

Externe donc on peut l’approximer par un petite planète par rapport à grosse planète qui qui elle n subirien et si je prends les les cas inverse donc la petite planète à l’extérieur et pas intérieur ben on a exactement les mêmes choses mais cette fois les mouvements du

De du demig grandandaxe D à cet terme est plus grand ici que là parce que l’excencité est plus grande ici que là et donc finalement la résultante nette celle-ci C vecteur là tend à faire augmenter l’amplitude de d’oscillation à travers la résonance mais celui-là tend de la faire diminuer parce que amène

L’objet vers les centres de la résonance et vu que cette cette force là est plus forte que celle-ci maintenant la l’amplitude de la résonance va collapser sur les points d’équilibre sur le centre de la résonance alors que dans les cas inverse l’amplitude d’oscillation augmenta sans cesse jusqu’à faire sortir

L’objet la résonance donc les résonances sont plus stables si l’objet interne est plus massif que l’objet externe et tend à être plutôt instable si l’objet interne est beaucoup moins massif de l’objet externe ça des conséquences par exemple quand vous avez deux planètes qui migrent et la première planète

Disons est sur les pièges à Planète piège à planète c’est bord enne du disque où la dérivée radiale de la densité du gaz est positive et donc il y a ces coupes de corrotation qui qui bloque la planète et il y a une deuxème qui arrive si la

Deuxième planète est plus grande que la première disons par exemple la première une mass terrestre la 2uxè et deux mass terrestres la deuxème arrive c’est cale en résonance avec la première mais on rentre dans dans cette instabilité que je décrivais donc finalement ça sort la résonance les deux planètes s rencontre

C’est change de position la planète la plus grosse va prendre la position au piège à Planète la planète la plus petite revient et et rentre en résonance avec la première et maintenant c’est stable parce que la première planète est plus massive la planète interne est plus massive et la planète externe est moins

Massive donc on a facilement des échanges de positionnement des planètes lors de la capture en résonance si les rapports de masse sont trop importants à cause de cette instabilité que je viens de décrire et donc avec tout ça en tête on peut revoir cette fameuse animation et voir un peu ce qui se

Passe dans les détails donc nous avons ici la migration qui a l’œuvre et voilà donc on a vu que il y a des trains des planètes qui sont en train d’migrer ensemble donc ça c’est des des des groupes de planètes qui se sont figés ressonance les unes

Par rapport aux autres là on a deux planètes en ressonance et là on a trois planètes en résonance et chaque train chaque chaîne résonante migre rigidement vers l’étoile mais les distances relatives entre les planètes elles nchangent plus après on continue et on peut voir que si une chaîne résonnante migre plus

Vite qu’une autre chaîne résonnante les chaînes peuvent fusionner OK et maintenant on arrive au bord interne où il y a un piège à planète et là il y a une planète qui est c’est bloqué au piège mais a bloqué aussi les autres dans une configuration résonnante dans une chaîne ressonnante chaque planète ne

Peut pas changer sa distance avec la voisine si une tient tienne au bord du disque grâce à son couple deorbital bah il peut tenir toute la chaîne c’est pas fini donc là on en voit maintenant la la les autres planètes qui arrivent et en particulier la petite

Planète par rapport au grand planète là c’est un grand rapport de masse et donc la petite planète pas ça du tout donc on rentre en résonance et par la haute excentricité puis elle se cale et puis finalement vous avez vu l’change l’échange des résonances exactement

Comme celui que je vous ai montré sur le diagramme précédent la petite planète était interne à à la la grande planète jaune et ça c’est une configuration finalement instable et que cette instabilité a conduit une rencontre entre deux planètes une inversion maintenant la petite planète est en résonance externe avec la grande planète

Et comme ça elle est tranquille ici à l’intérieur il y a toujours ben toutes les planètes qui qui sont au bord interne maintenant la la la chaîne est devenue plus complexe ça pousse beaucoup et vous remarquez que les planètes internes sont les plus petites en masse par rapport aux planètes externes donc

Encore là il y a un petit soupçon d’instabilité euh et effectivement on voit qu’à un moment donné ça devient instable les planètes sort des résonances fusionn et donc grandissent en masse suffisamment pour la atteindre une masse qui est suffisamment grande pour pouvoir tenir les autres planètes derrière dans les dans dans les

Résonances euh sans devenir instable voilà donc finalement comence comprendre ce qui se passe dans ce type de de simulation un peu magique il y a encore un aspect qui est important qui est le fait que à la disparition du gaz ces chaînes de résonance qui sont trop complexes on va

Voir ce que ça veut dire être trop complexe deviennent instable alors il y a eu une série d’expériences numériques faites par Matsumoto et collaborateur au Japon où ils ont construit des chaînes de résonan de plus en plus longue mettant deux planètes en résonance plus trois

Planètes en résonance plus 4 + 5 + 6 comme comme j’ai dans les animations que j’ai montré tout à l’heure donc jusqu’à quand il y a du gaz tout va bien parce que les gaz ben poussent les est en résonance et amorti leur excentricité et temp de stabiliser le système et après

On peut enlever le gaz et étudier lesquels de ces chaînes sont stables donc les planètes restent en résonance pour tous les temps et lesquel à un moment donné deviennent instable et sur quel temps donc ici par exemple je vous montre juste un exemple ils ont considéré une chaîne de résonance où

Chaque planète un résonance 7 6 avec la voisine donc se orbites pour la planète interne 6 orbites pour la planète externe bon si y a que deux planètes en résonance 76 c’est très stable s’il y a trois planètes en résonance 76 le système reste stable plus plus de 100

Millions d’orbites c’est la durée du test donc disons c’est stable pour tous les temps s’il y a quatre planètes dans la chaîne donc on plan 1 planète une 1 2 3 4 ça reste toujours stable pour plus que 100 millions d’orbites et après dès qu’on rajoute la 5è planète paf ça

Devient instable très vite quelques millions d’orbites seulement si on met 6 planètes 10 planètes et cetera c’est toujours stable instable très rapidement et donc il y a un nombre desessuils de Planète qu’on peut mettre dans une ressonance et ces nombre de seuil dépend des donc on appelle les nombres critique

Voilà donc dans ces cas-là quatre est nombre critique on peut mettre quatre planètes dans cette chaîne résonante mais pas cinq si on en met C pendant la phase du gaz quand on enlève les gaz la la chaîne devient instable alors c’est nombre critique dépend la résonance dans

Laquelle on est par exemple si on est dans la 76 ver 4 on a vu là si on prend le chaîne de résonance 8 7 c’est sonulement TR on peut mettre trois planètes on met la 4è ça devient instable si on prend une chaîne de

Résonance 6 5 on peut en mettre 8 quand on met la 9e ça devient instable donc c’est de plus en plus stable parce que avec C nombre qui diminuent les planètes sont de plus en plus séparé et d’ailleurs ici sur l’axe des x c’est la séparation entre planètes voisine un

Nombre des rayons des île donc rayon des île j’avais défini lors du 4e cours donc c’est la sphère d’influence gravitationnelle d’une planète et donc si vous êtes en résonance 8/ 7 pour les masses utilisées ici vous êtes à 4 rayons des et demi et si vous êtes la

Résonance 65 vous êtes à 6 rayons des et demi donc vous êtes plus loin les perturbations sont moins fortes donc vous pouvez mettre plus de planètes mais bien sûr ça ça dépend de la masse des planètes parce que si vous changez la masse de planètes vous changez les des

Vous changez pas les la distance en résonance parce que résonance est dû simplement au rapport des périodes qui est d la loi kepire donc indépendante de la masse des planète donc par exemple si vous augmentez les planètes les masses d’un facteur 10 ben la résonance la chaîne de résonance 43 qui est très

Hyper stable pour les masses initiales ben là maintenant elle accepte seulement SEP planètes et les planètes en résonance 43 maintenant sont un peu moins de 5 rayons de î de sépar mutuelle mais vous voyez que même si c’est la même séparation mutuelle en terme de rayons des île que

La résonance 8 7 dans les cas des planètes 10 fois moins massif ben on peut mettre plus de planètes que là donc quand même les les nombres qui rentrent dans la résonance rentrent en jeu aussi donc c’est un peu compliqué il y a des ressonances qui sont plus stables que

D’autres typiquement c’est les ressonances où les nombres ici sont plus petits plutôt que là il sont plus grands mais ça dépend aussi de la séparation des planètes en terme des rayons des î mutuelles et donc ça dépend des masses donc mais bon on peut pas faire des chaînes infinies avec des planètes

Infiniment grands voilà il y a des limites qu’est-ce qui se passe quand une chaîne ressonnante devient instable donc voici un exemple donc j’ai pris un système qui a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 planètes en résonnance toute

Un résonance résonance qui a été créé pendant la la la phase de migration il y a des planètes plus loin qui traînent qui vont rien faire et euh voilà là on a enlevé les gaz donc 5 millions d’années les gaz enlevés les gaz enlevés tout doucement hein parce que si on enlève

Les gaz de d’un coup on choque les systèmes euh voilà on les déstabilise artificiellement mais là c’était vraiment enlev euh doucement et et on voit voilà on lance la simulation on voit que les planètes initialement sont stables il y a rien de particulièrement méchant qui se passe pendant quelques

Millions d’années et puis voilà les les les l’excitation commence les planètes s’excite un excentricité sort de la résonance et rencontre collisionne grandissent grandissent donc parce que collision entre se réduise en nombre et à la fin voilà on a un système comme celui-ci où mon système initial qui

Avait je veux dire 13 planètes on a plus que 6 les autres là ont rien fait sont des petites planètes beaucoup plus loin donc à remarquer aussi que lors de la l’instabilité il y a jamais eu de planètes expulsées par exemple ça c’est parce qu’on est très près de l’étoile

Centrale donc les nombre des des safronopes que j’avais évoqué lors de mon 4e cours euh que je vous rappelle les rapports entre la vitesse de fuite de la sur à la de la surface d’une planète et la vitesse orbitale de la planète autour autour de l’étoile est

Très petit donc ça veut dire que l’acrétion domine par rapport à l’éjection et donc dès que les planètes deviennent instables et commence à avoir des rencontres proches quand on est près de l’étoile les planètes collisionnent et fusionnent sont jamais éjejecté en fait on a presque pas de perte de masse

Toute la masse initiale se retrouve dans un nombre mineur de planètes mais donc l’important est que dans cette instabilité des chaînes bon on réduit les nombres de planètes on augmente leur masse et surtout on détruit la chaîne ressonnante initiale et ça on peut le voir sur ce diagramme donc ce diagramme montre la

Distribution cumulée des rapports des périodes des planètes voisines donc en autre terme on prend les planètes et on regarde pour chaque planète la rapport entre la planète qui est tout de suite plus loin par rapport à la planète que je considère donc si j’ai par exemple trois planètes je peux faire deux

Rapports le rapport P2 sur P1 et rapport P3 s P2 et cetera et euh donc la la distribution cumulée vous dit quelle fraction de toutes les planètes que je créé dans une simulation à un rapport de période inférieur au rapport au rapport que vous l sur l’axe des x donc par

Exemple ici 50 % des planètes des couples des planètes que je forme ont rapport de période inférieur à bon ce que c’est 5/4 ok donc à la fin de la simulation des migration dans les disques les simulations vous donnent une distribution comme celle-ci c’est une marche en escalier et c’est une marche

Un escalier où les les marches ne sont pas à des positions hasard mais sont sur ces lignes verticales qui correspond bien au rapport des nombres entiers 5 4 4 3 3 2 2 1 et cetera ça veut dire que tout à la fin de la phase du disque de

Gaz tous les systèmes planétaires qu’on a créé par les biais de la migration et encré au bord interne du disque sont bien dans dans des résonances donc on a S toujours des chaînes résonantes et il y a deux distributions une bleue une rouge parce que on a fait deux tests un

Où euh bah les planètes migr simplement et l’autre où on injecte une sorte de turbulence une sorte de bruit stochastique sur le mouvement des planètes mais les résonances sont toujours les plus fortes et donc on forme des chaînes ressonantes alors ces chaînes ressonantes sont observées dans les systèmes extrasolaires de plus en

Plus je dirais il y a des can notables comme par exemple les système trapiste qui a SEP planètes elles sont toutes en résonance entre elles par exemple mais il y en a d’autres donc c ces chaînes de résonance existent mais il sont relativement rare quand on regarde les planètes extrasolaires les systèmes de

Superterrees à proximité de l’étoile la plupart ne sont pas en résonance et si on fait donc cette distribution des rapports des périodes des planètes adjacentes sur les observations on trouve plutôt cette courbe noire grise et bien si les chaînes résonnantes devienent instables comme dans l’animation précédente à à cause de

L’instabilité les les planètes sort de résonan et à la fin il y a plus aucune raison de que les rapport entre planètes proches soit résonnant donc soit proche d’un nombre entier effectivement à la fin des simulations comme celle que des animations comme cell que j’ai montré tout à l’heure ça c’est les

Distributions qu’on obtient encore une fois rouge ou bleu selon qu’on soit parti marron ou bleu selon qu’on soit parti de la distribution rouge ou de la distribution verte et vous voyez qu’il y a plus aucune préférence vers des rapports comme 2 1 3 2 4 parce que la chaîne résonnante a complètement disparu

Et on trouve grosso modo une distribution qui est assez semblable de la distribution observée en fait la distribution observée peut facile peut être reconstruite si on combine 90 % des systèmes comme des systèmes ayant subi une instabilité donc étant sorti et et en sorti de de la chaîne ressonnante

Avec 10 % des systèmes qui sont restés dans une chaîne ressonnante comme le systèm trapiste par exemple et et la même chose est vrai pas seulement pour les systèmes des superterres mais aussi pour les systèmes des planètes géantes donc les planètes géantes aussi se forme dans les disques elles ont

Tendance à migrer cette migration type 2 elles ont tendance à se caler en résonance pensez la la ressonance entre Jupiter et Saturne que j’aiévoqué lundi passé et quand les gaz disparaî ben ces planètes peuvent sont massives peuvent rester en ressonance pendant un moment mais après un moment ont tendance à à

Disparaître à à devenir instable et donc ça c’est aussi une autre simulation que je vais montrer pendant ma laisson inaugurale donc une instabilité d’un système des trois planètes géantes et celle-ci on pense être ce type de de de phénomènes on pense être assez récourrant euh pour les systèmes des

Planètes géantes parce que euh la conséquence est pas seulement de détruire la ressonnance mais de créer des excentricités assez élevées parce que c’est des planètes géante et donc lorsque devient instable es ont des rencontres proches entre elles à cause de leur grande masse l’orbite est très perturbé et donc on

Peut facilement obtenir des excentricités de 30 40 60 %. on peut aussi obtenir des planètes distantes comme celles que parfois on observe par imagerie directe or la plupart des planètes géantes que nous observons autour des autres étoiles ont des orbites assez excentrique et évidemment ce sont des indices que initialement

Leur orbite devait être circulaire donc on on pense vraiment que ce processus d’instabilité est la clé pour expliquer les excentricités orbitales observées par les planètes géant extrasolaire donc l’instabilité dynamique une fois les gaz partis d’un disque protoplanétaire sembl être plutôt la norme plutôt que l’exception et semble être responsable

Du fait que les chaînes résonnantes dans les systèmes de superterres soient relativement rares de l’ORS de 10 % et les excentricités des planètes géantes sont assez typiques là aussi de quelque chose comme 80 % des planètes géantes extrasolaires ont plutôt des grandes excentricités donc ceci termine cette première heure où j’essayais

D’expliquer autant que possible avec les mains des petits schémas comment marche les résonan et les capture leur stabilité et leur instabilité donc c’est le bon moment de prendre 5 10 minutes de pause et après donc on rentrera dans cette phase plus séminaire plus spécialisé hein plus adressé aux

Étudiants je m’en excuse d’avance donc on va reprendre même chose finalement mais sur un approche un peu plus plus rigoureux donc un approche des dynamiques h miltonienne alors déjà qu’est-ce que c’est un approche miltonien donc là ABC de la mécanique miltonienne donc un système dynamique dit être sous forme

Miltonien s’il existe une fonction H qui dépend des variables PQ donc PQ là sont en Grace en vecteur ça veut dire qu’on en a plusieurs on a P1 P2 P3 PN Q1 Q2 Q3 qn donc autant de P que de Q et les équations de votre système donc

S’écrivent comme ça les la dérivée temporelle des des P égale à moins la dérivée de l’hémiltonien par rapport aux variable Q et la dérivée temporelle des variablees Q égale à plus la dérivée partielle de l’émiltonienne par rapport à sa variable P donc c’est vrai pour

Tous les P et tous les QI donc si c’est le cas on dit que le système est sous forme miltonien ça c’est les miltonien du système ça c’est les équations du système donc les équations hamiltoniennes du système évidemment les problèmes multiplanétaires peut s’écrit sous formme miltonien sinon je

Commencerai même pas et je vais vous montrer tout à l’heure comment euh alors les cuis sont appelés coordonnées les pays sont appelés les moments et si les cuis sont des angles ça veut dire être un angle plutôt qu’une coordonnée ça veut dire que l’amiltonien est périodique dans les

QI alors on appelle P action mais c’est juste une question des nomenclature alors une chose importante est que la l’amiltonien est une invariante de la dynamique une constante de mouvement mais ça on peut le voir très facilement parce que si vous prenez la dérivée de l’amiltonien donc ceci

Qu’est-ce que c’est c’est la somme des dérivées partielles par rapport au QI et par rapport au pi fois la dérivée temporel des QI et des PI et si vous substiuez les formules qui définissent les système hiltonien grâce au signe plus et grâce au signe moins ben vous

Avez une ég une elle s’annule et donc les résultat est zéro donc la miltonien est une constante de mouvement et c’est ça qui rend les les les formalismes miltonien si intéressant parce que le fait d’avoir une constante de mouvement permet de reconstruire la forme des trajectoires sans devoir les résoudre

Explicitement donc par exemple général système miltonien générique sera non intégrable mais on peut prendre on peut prendre un système qui qui lui est intégrable donc c’est un système dont l’ miltonien dépend des variables P des moments P et dépend seulement de du d’une coordonnée ou d’un angle Q1 les autres

Angles n’apparaissent pas alors c’est évidemment c’est un peu spécifique mais on y reviendra donc du coup les dérivées temporelles des pays avec I des 1 donc la dérivée de P2 PN son étant les dérivées partielles de l’ miltonienne dans dans l’ miltonien dans les dans les

Dans les Q2 qn sont toutes Nules parce que les Q2 qn n’apparaissent pas dans les fonctions étonant donc on a N- 1 constante de mouvement qui sont les P de PN donc il reste de variables les P1 Q1 ok et les mouvements d’un P1 Q1 on peut alors les décrire

Par des courbes de niveaux du de la fonction h de la fon de la fonction hiltonienne parce que maintenant ben P2 PN c’est des constante donc c’est des paramètres c’est devenu des paramètres on a juste deux variables et une fonction qui est constante de mouvement et donc évidemment les trajectoires ne

Sont autres que les courbes de niveaux de cet hamiltonien j’ai pris un cas résonance pour rester dans les thème mais peu importe donc vous devez pas résoudre explicitement les mouvements vous savez que si vous êt ici ben vous suivez une courbe de niveau de la miltonien vous faites un tour voilà si

Vous êtes sur là il y a un point d’équilibre si vous êtes sur ce point vous vous restez là le fait qu’il y ait des trajectoires quiussi l’utour montrre que les points d’équilibre est stable alors que là il y a un point d’équilibre où des orbites se croise et donc ça veut

Dire que c’est instable parce que si vous écartez un peu du point d’équilibre vous suivez la trajectoire rouge vous en allez et cetera donc c’est c’est très très commode parce que justement ça donne un effet visuel sur la dynamique qu’on pourrait pas avoir si on prenait les équations de mouvement brut sans le

Formalisme miltonien et bien sûr ce diagramme dépend de ces paramètres P2 PN qui sont les autres constantes de mouvement donc pour différents valeurs P2 PN vous avez différents figures différents diagrammes donc en pratique les vra mécaniciens céestes peuvent hurler euh mais en gros la recherche en mécanique céleste revient à à chercher une

Transformation des PQ à des nouvelles variables P prime Q prime qui transforme mon hamilonien qui initialement dépend de tous les P et tous les Q en quelque chose qui dépend seulement d’un Q prime et pas les autres des façons de pouvoir se reconduire un diagramme de ce type en

Gros ce qu’on fait mécanique ceste c’est tout le temps ça euh alors évidemment pas toutes les transformations sont sont admises parce que vous voulez rester dans les formalismes miltonien pour pouvoir utiliser les la la constance de la miltonien et donc vous pouvez seulement jouer sur une classe restreinte des transformations qu’on appelle

Transformation canonique qui sont des transformations qui préservent la forme miltonienne des équation c’est-à-dire dans votre variable PQ il y avait la relation que j’avais affiché sur la diapo précédente dans les nouvelles variables P prime Q prime encore il doit être valable que la dérivée temporelle de P prime sont les dérivées partiel de

De l’hémiltonien par rapport au Q prime et les dérivé temporell de Q prime c’est la dérivée partielle de l’hémiltonienne par rapport au P prime parce que si vous sortez de là du coup c’est plus un systèmeiltonien vous pouvez plus rien dire donc cette transformation s’appelle

Canonique et il y a toute une étude de comment générer des transformations canoniques quel est l’ensemble des transformations canoniques quelle est leur forme et cetera évidemment je pas le temps de rentrer là en une heure mais par exemple par qu’on l’utilisera pas mal si vous avez une trans formation

Linéaire des des angles des coordonnées donc Q é= A une matrice Q prime en forme vectorielle quelconque ben vous pouvez construire une transformation canonique en prenant la cette matrice A prenant son inverse si vous pouvez calculer l’ invverse c’est déterminant est zé vous pouvez pas et la transposer et donc

Définir que P ég l’inverse des a transposé P prime c’est une transformation canonique par construction mais il y a d’autres manièr de construire des transformations canoniqu y compris non linéaire bien sûr ben ce serait bien si on arrivait à faire ça à chaque fois mais en général on y arrive pas et donc

Ce qu’on fait est que on cherche une transformation canonique qui sache transformer l’amiltonien sous cette forme là mais pas tout à fait et donc il y a un reste petit donc avec un petit donc on met devant un petit paramètre Epsilon pour montrer que cette partie là

Est petite par rapport à cette partie-là donc cette partie làà qui dépend seulement de Q1 prime est intégrable et on peut l’étudier par les biais des coures de niveaux comme je vous ai montré tout à l’heure après il faut se rappeler qu’il y a que c’est pas toutes

Les miltoniens il y a aussi un petit terme mais c petit terme c’est une perturbation donc sans doute à des effets plus locaux à plus long terme et cetera que bon après à un moment donné il faut apprender donc c’est l’approche la théorie des perturbations donc trouver des transformations canoniques

Qui transforme la miltonien en quelque chose d’intégrable plus une perturbation qui est plus petite que la partie intégrable donc on va essayer de jouer un peu Cees jeuxlà alors pourquoi les systèmes miloniens sont importants en mécanique céleste parce que les les système de système des planètes qui interagit autour d’une étoile qui

Interagiss centrreelle peut s’écrire sous forme miltonien à une condition de prendre les les bons coordonnées et les bons moments et Point Carré à mon montrer que pour le faire la meilleure façon de s’y prendre est de prendre comme coordonnées les positions héliocentrique donc les positions des planètes par rapport à l’étoile mais

Pour comme moment ces quantité là euh mu U ou m c’est les masses des corps MJ c’est les masses des corps et ou j c’est les vitesses mais attention c’est pas les vitesses héliocentriques par rapport au Soleil à l’étoile mais par rapport au baricentre du système donc on a une

Sorte de système de variables mixtes donc les coordonnées sont héliocentriques par rapport à l’étoile les vitesses sont baricentrique par rapport au baricentre du système si on utilise ces jeux-là donc c’est un jeu les coordonnées les il s’agit bien d’un jeu de coordonnées et moment donc on peut écrire les équations

Du mouvement de ce système des planète autour de l’étoile sous forme miltonien et voilà les miltonien du système donc les miltonien du du système se décompose en une somme de termes comme ceci et après cette double somme là alors ces termes là c’est somme des termes chaque

Terme en fait c’est la miltonien d’un problème de deux corps étoile planète d’ donc m étoile c’est la masse de l’étoile MJ c’est la masse de la planète mu j c’est cette masse réduite qui est définie là donc proportionnel MJ aussi et donc vous avez ben la partie

Cinétique la partie Poton ciel donc là c’est un problème de deux corps si vous avez seulement une planète une étoile ben c’est exactement la même même htonien que que vous avez donc c’est la somme de hiltonien des problèmes de deux corps un un une somme un par planète et

Après vous avez l’interaction entre les planètes elles-mêm donc celle-ci sera dépendra de la distance réciproque entre les planètes et aussi de produit scalair entre les moments des différents plan planète en gros c’est c’est la partie disons qui fait l’effet induit le fait que chaque planète fait bouger le soleil

Et donc une planète voit le soleil qui bouge à Cuse d’une autre planète mais bon c’est un système c’est un système hamiltonien qu’on peut commencer à étudier alors euh on peut introduire à partir de position et vitesse des ellipses alors bien sûr quand vous introduisez une ellipse vous transformez

Position et vitesse en élément orbitaux dem grand d’axe a inesttin quiinaison l’ périlis que j’ai discuté au début du cours euh qui sont une transformation étant donné position et vitesse mais normalement on utilise les positions et les vitesses héliocentriques alors qu’ici on a position héliocentrique et vitesse baricentrique mais formellement

Vous pouvez exactement utiliser les mêmes formules les formules qui li position et vitesse à éléments orbitaux pour définir donc des éléments orbitaux en partant des positions héliocentrique et vitesse baricentrique la seule différence et que l’ellipse que vous déterminez n’est pas tangente au mouvement du corps mais mais bon c’est

Pas vraiment une limitation en soi et et donc on peut très bien travailler dans ce type de coordonnées donc si vous introduisez les éléments orbitaux à partir de ces positions héliocentrique et vitesse baricentrique ensuite vous pouvez introduire un jeu canonique encore une fois de angle et d’action et qui est

Celui-ci donc on retrouve bien notre longitude du nœud qui devient un angle canonique change de signe la longitude du péril notre angle canonique cet angle là qui est la longitude moyenne donc c’est la Somme entre l’anomalie moyenne et la longitude du pérell et ça c’est les actions associées donc conjugué à

Ces anglesl donc la première action en gros est le moment cinétique de la planète si avait une excentricité nulle euh donc ça s’écrit comme ça MU est toujours ces rapports là la la constante la la les moment gamma conjugué petit gamma et les les déficit du moment angulaire si on néglige la l’inclinaison

Et donc c’est quelque chose que pour des petites excentricités proportionnell à l’excentricité au carré fois lambda et la trisème la composante Z enfin la différence entre la composante Z entre les la composante verticale du moment cinétique et celle que l’objet aurait si l’inclinaison était nul et donc elle est

Proportionnelle à l’inclinaison au carré fois lambda donc étant donné que MU est proportionnelle à la masse de la planète voilà tous ces ces actions là sont proportionnelles à la masse de la planète dans leur définition ok donc c’est en utilisant ces moments et ces angles ces actions et ces angles

Qu’on peut écrire euh l’amtonen alors commençons par écrire la perturbation c’est-à-dire cette truc bâtard qui est là he dans ces variables de action et angles ici alors je vais pas vous l’écrire explicitement mais comme toute fonction euh elle peut vu que les angles les multoniens sera périodique sur les angles on peut faire

Une expansion en série de fourriier donc là je prends juste la perturbation entre deux planètes disons la planète une et la planète 2 et une forme tout à fait générale générique je peux l’écrire de de cette manière j’aurai un coefficient qui dépendra des demig grand d’axe des deux planètes je peux l’écrire comme

Série de puissance de l’excentricité de la planète une et de la planète 2 de l’inclinaison de la planète une la planète 2 et un série de fourriers des angles la planète 1 à la planète 2 les longitudes moyennes les les longitudes du péril les longitudes d’une euh une une propriété très importante de

Cette fonction est la caractéristiqu les les règles de dalamber les règles de Dalber sont très très précieuses pour simplifier les calculs et sont absolument fascinante et facile à comprendre donc la première règle est que la somme de tous ces coefficients entier là de la série de Fourier N1 + N2

+ M1 + m2 + J1 + J2 ben lors somme doit faire zéro bon miraculeux pourquoi mais c’est tout simple parce que une l’amiltonien doit être inv variant par rotation votre système de rères absolument arbitraire vous pouvez le prendre le tourner autour de l’axe Z d’un angle que vous voulez et si vous

Faites ça chacun de ces angles augmente d’un facteur de d’une même quantité c’est c’est la rotation du repère évidemment l’amiltonien ne peut pas dépendre de de l’orientation de votre repère donc c’est cette fonction doit être inv variante par rotation la seule manière de le faire à que la somme de

Tous ces coefficients soit nul notre propriété intéressante que la somme de ces deux exposantes là L1 et L2 doit être un nombre pair pourquoi parce que je peux aussi décider de façon arbitraire au lieu d’avoir un axe avec l’axe de Z orienté vers le haut prendre un système des repère avec l’axe Z

Orienté vers le bas donc toutes les inclinaisons changent de signes mais évidemment c’est la même chose et donc ma fonction ne peut pas changer donc pour ne pas changer il faut que si i1 change les signes et I2 change de signes leur produit ne change pas de signe et

La seule façon de le faire est que L1 place L2 soit un nombre pair une autre règle importante est celle-ci donc vous prenez l’exposant de l’excentricité K1 vous soustraez la valeur absolue de M1 donc le coefficient que dans la série de Fourier se trouve devant la longitude du

Pell et cette différence doit être nul ou alors un nombre pair positif et pareillement pour les inclinaisons si vous prenez les l et les j alors d’où vient cette bizarrerie vient du fait que votre hiltonien ne peut pas avoir des singularité quand l’excentricité l’inclinaison sont Nules parce que Ben

Les seules singularités qui est vot votre équation de mouvement 11 c’est lors des collisions physiques des corps pas quand les orbites deviennent circulaires au clanaires or euh si vous vous souvenez de la dépendance des actions sur l’excentricité l’inquinaison l’excentricité la racine carrée de 2 gamma sur lambdaquinaison RAC carrée de Z sur

Lambda donc en gamma au Z devient 0 ben sont sous la racine carrée donc les dérivées premières devienent singulière donc en fait ne pas avoir de singularités en E à i veut dire que si vous utilisez d’autres variables canoniques qui sont celles-là donc vous le prenez comme la s de 2

Gamma cosinus de Var PI et sine de 2 gamma sinus de Var pi pareil pour les nœud l’inclinaison c’est une transformation canonique donc tout à fait légitime si jecée mon ma ma ma perturbation dans ces variables là plutôt que ces variables là ben dans les

PQ X X et Y la laamtonien doit avoir une expression polynomiale pour ne pas avoir de singularités et la seule façon d’avoir une une expression polynomiale et avoir que les coefficients et cette relation là alors ces règles sont très importantes parce que permet selon les les casad de figures simplifié de de la

Miltoniaen enfin de comprendre que la miltonien est beaucoup plus simple que que la forme générale que que qu’on écrit ici donc par exemple euh voilà commençons à dire que on utilise le problème on veut étudier le problème plan donc la planète 1 la planète 2

Seront sur le même plan ça veut dire que i1 égal à I2 est égal à é0 donc tous ces termes là disparaissent quand IL1 ég à 0 ou I2 ég ég à 0 sauf les termes où L1 est 0 et L2 sont 0 parce que c’est le

Seul terme où il y a pas I1 et I2 donc ça meffce L1 à être 0 et L2 être 0 pour ne pas avoir ces deux choses là mais vu que l1- J1 doit être égal à 0 ou un nombre pair mais mais L1 est 0 donc J1

Doit être zé donc ça veut dire que ces terme là aussi disparaissent donc pour les problèmes plans la forme générale des monomultonien sera plus simple sera formule puis bon ici aujourd’hui on s’occupe des résonances donc disons qu’on intéressait à la ressonance K sur K-1 donc ça veut dire que

Euh voilà donc je peux réécrire cette expression là comme celle-ci c’est juste une réécriture donc je mets un exerg cet angle k Lamb 2 – k- 1 lamb1 et bon voilà donc j’ai introduis des nouveaux coefficients n et m la M j’ai oublié rien à voir avec les masses ici c’est

Des nombres entiers c’est juste coefficiant de Cell Fourier voilà ça c’est juste une récriture de ça mais pour mettre en exerg ce terme mais maintenant je peux me dire ah si je suis près de la ressonance mon angle k lambda 2 – K – 1 lambda1 va être un angle long

La limite bouge pas si je suis en ressonance exacte parce que la dérivée des lambda 2 la dérivée des lambda 1 sont en rapport 4 cas-1 donc ça c’est c’est très proche de zé alors que la dérivée de lambda1- lλda 2 qui est l’angle qui est là elle est rapide c’est

2 pi la fois la différence de l’inverse des périodes donc c’est un angle rapide donc on peut dire bon c’est c’est un angle rapide je peux le moyenner et si j’ai le moyen moyenise ben en gros de tous mes termes ben tous ceux qui dépend explicitement de lambda a Mo lambda 2

Tombe dans le processus de moyénisation parce que l’intégrale de d’un C d’un angle est nul donc en moyenne est nul donc les seuls termes qui reste sont ceux qui ont n é= à 0 et qui donc ont seulement cette partielà dans la expansion en série de fourer et toujours

Il y a ces caractéristique des d’ l’envers que la somme de tous les coefficients doit être nul parce que la mytonien doit être en variant par rotation et donc du coup je peux la réécrire comme ça pour mettre en exerg que voilà ici c’est une combinaison d’angles qui a un Variant par rotation

Là c’est une combinaison d’angles qui est inv variant par rotation et donc je peux avoir n’importe quelle valeur de M et n’importe quelle valeur de n mais aucune autre combinaison des angles parce que sinon je vi je viole laariance par rotation et donc ça c’est ça sera les

Termes qu’on doit garder si on veut util étudier une résonance de type K K-1 pour un problème plan entre deux planètes donc voilà je travailler avec ce type de de Milon alors maintenant je rentre dans ce jeu de variables canonique pour essayer de de le rendre fonction dans sol angle donc d’abord

Voilà qu’est-ce que je j’essaie de faire donc il y a cette combinaison là résonnante que je veux mettre isolé donc j’ai défini un angle thêta qui est cette combinaison kλamb 2- K-1 lamb1 et euh je je veux une autre angle qui soit lambda 1 Mo Lamb 2 qui est l’ disparu par

Moyennisation donc j’ai une combinaison donc linéaire une transformation linéaire des angles donc je peux trouver une transformation linéaire des action qui est d à la matrice inverse transposée et donc voilà je combine mes actions comme ça pour être sûr que ce soit une transformation canonique et les

Autres actions les autres angles je les touche pas pour le moment donc si je fais ça évidemment donc les moin Var pi 1 et moin Var pi2 deviennent de+ gamma et et moin gamma 2 euh voilà parce que gamma 1 est moin ver pi1 gamma 2 et moin

V pi2 et euh cet angle là est juste mon thêta et donc voilà j’ai ris mon éultonien comme ça très bien donc je fais maintenant là j’ai une somme de deux angles et là j’ai une différence de deux angles je voudrais faire disparaître je v identifier un seul

Angle euh dans chaque terme donc je fais une nouvelle transformation donc là les deux premières action angle je les touche pas mais j’ai fais une combinaison linéaire des angles de façons de définir un angle psi1 qui est la somme de ces deux et un angle Delta

Gamma en 2 qui est la différence de ce deuxl enand une fois c’est une transformation linéaire donc je peux la transformer dans les actions en prendant la matrice inverse transposée et donc ça c’est aussi une une transformation canonique et le dernier grand l en fait n rien d’autre que le moment cinétique

Du système donc avec cette transformation voilà donc ce terme c’est angle là c’est Delta gamma 2 et cet angle là c’est PS1 donc vous voyez qu’on a réduit notre amytonien qui dépendait beaucoup d’angle en fait il y a plus que deux angles alors qu’il y a 4 degrés de

Liberté donc ça veut dire que j’ai trouvé déjà deux constantes de mouvement son les actions Delta grand Delta lambda et grand l elles sont constantes de mouvement parce que l’angle conjugué a disparu les miltonien vous voyez il y a plus de Delta lambda 1 2 il y en a pas

Donc la dérivée de la miltonienne par rapport cet angle zéro donc ça c’est une constante de mouvement pour les équations é miltoniennes et l’angle gamma 2 prime aussi a disparu les miltoniens donc ça aussi c’est une constante de mouvement parce que la dérivée par celle des miltonienne par

Rapport à cet angle est nulle donc on s’est réduit à 2 degr de liberté on av quatre plus que deux avec deux constantes de mouvement alors bon voilà les termes que j’ai à disposition voà il y en a encore un petit paquet mais on peut les classer un ordre d’excentricité donc par exemple

À l’ordre 1 en excentricité je je peux avoir que ces deux termes là à l’ordre 2 en excentricité j’ai quatre termes de plus et cetera si je monte à l’excentricité voilà maintenant comme je disais il faut essayer de trouver une approximation intégrable tout le jeu pour commencer

Aller plus loin dans l’étude et donc là il faut faire des compromis selon le type de problème qu’on ve étudier pour isoler quelque chose d’intégrable et et garder le reste dans une perturbation qui doit être petite de deè ordre par rapport à mon approximation intégrable donc quand vous avez C terme là vous

Avez deux choix en gros hein donc vous pouvez euh vous mettre dans l’approximation des petites excentricités donc vous dites ce termes là sont première approximation négligeable par rapport à ce terme-l alors ce termelà implique deux angles mais en fait il existe une transformation canonique un peu compliqué un peu bâarde mais pas

Linéaire et mais qui permet de introduire un angle PS impre et toutes les miltoniennes devient un seul cosinus dans cet angle là un peu miraculeux mais c’est c’est le cas l’autre approximation dire NON NON mes excentricités ben non je veux pas faire ça parce que les excentricités sont pas si petites que ça

Donc l’autre approximation intégrable est celle du problème restreint donc ça veut dire qu’on dit que une planète beaucoup plus grand que l’autre donc en gros on est intéressé au mouvement de M1 et en supp on suppose que les mouvements de m2 de la planète 2 ne soit pas trop

Perturbé et en plus que l’excenticité de la planète 2 est nulle donc c’est l’excenricité de la planète 2 est nulle tous ces termes qui en font apparaître du E2 sont disparaissent et donc vous avez que des termes qui euh restent qui sont ceux qui font apparaître E1 et les

Termes qui font apparaître seulement E1 forcément font apparaître seulement psi1 encore une fois pour le jeu de car des règles d’État lambè donc c’est encore une approximation intégrale voilà donc voilà vous devez choisir quelle est l’approximation intégrave qui vous convient et l’étudier alors en fait les les les miltoniens qu’on fait en faisant

Ça en faisant ça sont très semblable et donc voilà par exemple ce qu’on peut faire donc ici donc on fixe une valeur d’une constante Delta lambda 2 et on fixe une valeur de l’autre constante le moment cinétique total du système et on fait des diagrammes des phases ce qu’on

Appelle des diagrammes de phases donc des courbes des niveaux des mon miltoniens pour quatre valeurs de cinétique total pour des valeurs petit plus en plus grand donc si je passe d’ici à là à là là j’augmente mon moment cinétique total et donc voilà vousz vous avez ces fameus courbe de niveau qui

Vous décrivent la dynamique du système dans les variables qui restent PS grand PS l’action et petit PS l’angle après vous pouvez faire toutes les transformations en arrière pour revenir au demig grand d’xcentricité je vais revenir tout à l’heure et donc là vous avez une une vision globale des caractéristiques de votre

Problème par exemple ici vous voyez que votre problème a trois points d’équilibre il y a un point d’équilibre ici un point d’équilibre là et un point d’équilibre là il y a deux points d’équilibre qui sont stables ici et là parce que les courbes autour tournent autour donc ça veut dire qu’ils sont

Stables parce que la définition stabilité que si vous vous vous placez à côté du point d’équilibre vous vous en éloignez pas et vous vous en éloignez pas parce que l’orbite à côté tourne autour donc com satellite don vous en éloignez pas par contre ce point-là est instable parce que il se trouve au

Croisement à X d’une orbite plus complexe qui elle va loin donc si vous êtes juste à côté ben vous partez l ce trajectoire vous allez loin donc ça c’est un pointéquilibre instable donc ça c’est la caractéristique topologique de ce diagramme pour ces valeurs du moment cinétique si vous avez des valeurs des

Moments cinétiques plus petits B c’est le même type de diagramme simplement cette partie-là devient plus grande mais vous voyez aussi point d’équilibre stable équilibre stable point d’équilibre instable cette courbe en X qu’on appellera séparatrice et voilà qui se déplace un peu ce point d’équilibre va des valeurs plus extrêmes et cette

Région devient plus grande si vous augmentez suffisamment les moments cinétiques total ah là vous changez de structur et là vous avez un seul point d’équilibre vous avez plus que trois vous avez un seul point d’équilibre ce point d’équilibre est stable alors dans la transformation des diagrammes si je

Change à petit à petit les moments cinétiques ces point d’équilibre là là devient cet point d’équilibre ici et pas celui-là on dirait ben pourquoi en celuià le plus proche donc celui-ci peut-être pourrait devenir celui-là il faut étudier la transformation de ce diagrammes à petit pas et exactement celle-ci donc oups voilà ce point

D’équilibre devient celui-là et après ben ce sera celui-là et celui-là donc pourquoi parce qu’en fait si je change un peu mon moment cinétique donc je le diminue un tout petit peu ce diagramme commence à se tordre comme celui-ci donc le point d’équilibre qui était là au centre va migrer vers vers la gauche

Mais c’est le même diagramme comme celui-ci simplement tordu avec un seul point d’équilibre et puis je passe pour un valeur critique du moment cinétique où apparaît un point anguleux donc ça c’est un point d’équilibre instable qui né par bifurcation dans ce diagramme et donc né aussi cette courbe asymptotique

Qui qui tombe dessus qui est la séparatrice et et après si je change encore un tout petit peu mon moment cinétique je le di nu euh voilà donc c’est ces point anguleux fait une boucle et après si je change encore cette boucle commence à à devenir plus grande

Devenir cette boucle là ou cette boucle là ou cette boucle là donc vous avez vu là maintenant que la transformation continue amène ce point d’équilibre dans celui-là et pas ce point d’équilibre dans celui-ci ce point d’équilibre là n’est de rien du rien à partir de cette bifurcation euh avec la naissance d’un

Point instable et la naissance de deuxème point stable ensuite voilà donc maintenant je peux revenir à mes coordonnées initiales par exemple des migr d’axe excentricité évidemment je dois faire toutes les transformations en arrière mais c’est faisable c’est juste l’algèbre et donc vous découvrez que dans un diagramme par

Exemple on met E1 l’excentricité ici l’axe des ordonnées et les rapports de demig grand d’axe à 2 sur 1 sur l’axe des x les surfaces l égal constantes sont de cou comme celle-ci voilà et en fait elles sont ordonné par l croissant donc ici l sera plus petit que là que là

Donc mouvant bougeant comme ça c’est croissant et si vous prenez tous les points d’équilibre que vous calculez les point noir et vous les remettez dans ce diagramm ben vous avez cette courbe voilà fait comme ça avec l’augmentation du moment cinétique donc en partant du petit moment cinétique au grand moment

Cinétique ça vous donne cette courbe de point d’équilibre et euh sur les diagrames précédent on peut aussi définir où la séparatrice donc cette courbe qui croise en X les points d’équilibre instable croise l’axe des x donc ici il y en a pas donc il y a

Pas de point mais là voilà ça croise l’axe des X en deux points qui sont ici ici pour notre moment cinétique croise l’axe des x là et là et là et là et cetera donc je prends tous ces crois et je les mets sur mon diagramme ici et ça

Donne des lignes comme ça ça donc cette fameuse ligne en V que tout à l’heure je décrivais un peu avec les mains et vous voyez qu’en fait il y a un trou parce que un moment donné la séparatrice disparaî dans rien pour une ressonance k

K-1 et donc il y a plus courbe critique de de qui qui qui définit les vraiment les bords de la résonance mais les points d’équilibre la courbe des points d’équilibre elle rentre par ce trou et donc voilà elle suit elle a cette forme courbée en excentricité s’éloigne en

Fait de la résonance keplérienne qui est ici identifiée par cette ligne orange et ça néloigne avec l’excentricité qui diminue c’est d justement au terme de l’amtonien qui qui joue sur la préession du péril euh maintenant bon voilà ça c’est ce que vous obtenez avec votre approximation intégrable mais la votre hamiltonien

Générale total n’est pas intégrable et donc il faut se souvenir qu’il y a ces petites ces pert à tenir compte donc sur les points d’équilibre stable les termes non intégrables modifient un peu la famille des points d’équilibre et cetera mais c’est plutôt une modification quantitative que vous pouvez suivre bien

Sûr mais pas qualitative là où c’est qualitatif c’est sur ces séparatrices que oups euh je revenir voilà sur si je prendre juste les termes intégrabl les séparatrices sont des lignes bien nettes parce que correspond à à à l’intersection de ces points donc donc une ligne qui intersecte un axe mais si

Vous avez la tenez contre la perturbation les orbites osilent et ossil en traversant cette séparatrice et ça crée donc une une bande qu’on appelle une bande chaotique qui entoure la résonance et qui peut affecter d’ailleurs les processus de capture processus de captures sont très bien définis si on a

Juste à séparatrice mais on a des bandes chaotiques on rentre dans des arguments beaucoup plus probabiliste et cetera maintenant la capture en résonance surtout pour des planètes qui migrent à très faible excentricité alors mê tempants c’est plus facile à comprendre que tout à l’heure parce que vous voyez

Bon quand on est à petite excentricité on est sous le point d’équilibre parce que le point d’équilibre loin de la résonance est très proche de l’excenticité nulle et en suivant ce point d’équilibre on rentre par la porte de la résonance sans devoir même traverser une séparatrice sa région chaotique donc on peut utiliser

À nouveau ce diagramme et euh et donc en absence des migration vous êtes vous avez une certaine un certain moment cinétique donc vous êtes sur un de ces diagrammes bon selon vos conditions initiales en présence des migration convergante votre moment cinétique total va décroître donc votre objet bouge et

Va visiter d’abord ce diagramme là puis ce diagramme là puis ce diagramme là puis ce diagramme là alors il y a un mécanisme hamiltonien un principe queon appelle les principes adiabatique ça veut dire que si un paramètre ici par exemple les moment cinétique total change lentement par rapport à l’échelle dynamique d’un

Système du système à au paramètres constants donc par rapport par exemple à la période de de libration ici ou des libration là ou là-dedans alors la trajectoire bon évidemment en changeant les paramètres change d’un diagramme à l’autre mais elle change pas la trajectoire change pas n’importe comment

Change d’une manière que l’air qui est comprise par la trajectoire reste un invariant donc ça veut dire que au départ quand vous êtes loin la résonance vous êtes sur une excentricité très faible et donc vous êtes donc là les points 00 en fait PS 1 0 c’est l’excentricité nulle donc vous êtes avec

Très proche du point d’origine de ce diagramme mais les points d’origine de ce diagramme un point d’équilibre donc forcément quand vous êtes loin la résonance vous êtes sur une trajectoire qui a une toute petite a alors avec la migration le moment cinétique va changer donc vous passez de ce diagramme là le

Diagramme intermédiaire pour arriver ce diagramme-ci mais quel sera l’orbite que vous aurez sur ce diagramme-ci les théorèm de l’invariant iabatique vous dit que vous devez être sur une trajectoire autour de la transformation de ce point d’équilibre qui est devenu celui-là on l’a compris on l’ vu tout à

L’heure et doit être sur une traject troire dont l’air est la même que l’air que vous aviez au départ donc vous devez être sur quelque chose comme ça une trajectoire un peu banane allongé mais d’une air petite égale à celle-là bon je vais tracer un peu avec les main ça do

Pas être exactement la même mais vous avez l’idée et après si votre moment cinétique continue à diminuer ben vous passez au de tour de ce point d’équilibre là ce point d’équilibre là vous voyez que les trajectoire deviennent de plus en plus fine et de plus en plus allé allongé et vous SZ sur

Une trajectoire donc il a toujours la même air donc plus fine sur l’axe des X et plus allongé sur l’axe des Y et ainsi de suite et ainsi de suite donc si vous revenez sur ce diagramme là comprenez que vous êtes toujours très proche du point d’équilibre donc si au départ vous

Êtes sur le point d’équilibre par définition parce que vous avez une faible excentricité grâce à l’amortissement du gaz et la famille des points d’équilibre passent par les faibles excentricités et donc quand votre migration vous fait décroître le mement cinétique total vous êtes condamné par les principes adiabétiques

À rester très près du point d’équilibre et donc si la famille des points d’équilibre et se courbe comme ça ben votre planète doit évoluer comme ça et c’est exactement ce qu’on a vu dans les animations la première dans la première heure n’est-ce pas très bien donc là euh voilà on

Rentre dans la résonance les séparatrices sont à côté voilà donc on dirait mais on est tout de suite capturé dans la première résonance pourquoi on n’est pas toujours dans la résonance 21 qui est la première résonance qu’on rencontre quand on vient de Louin du type K K-1 bien sûr donc 2 1

La raison est que comme j’ai dis euh ben il tout tout ça marche si on peut invoquer les principes adiabatiques les principes adiabatiques dit répète que les Mouv les les changements du paramètre doit être lent par rapport au mouvement oscillatoire qu’on a sur un diagramme à l constante alors donc voyons quand ceci

Est vrai alors la fréquence des libration autour de la résonance à typique ce type d’allure donc elle est très élevée quand l’excentricité est très petite puis y a un descend un minimum pour un certain valeur l’excentricité et après réaugmente à nouveau pour les excentricités très grandes et bon vous avez un certain

Mouvement d’migration donc vous avez un certain vitesse des changement des l et disons voilà votre la vitesse de changement de votre paramètres celle-là donc vous voyez que quand vous êtes approché la résonance à petite excentricité vous êtes bien dans la le régime adiabatique parce que la fréquence de libration est beaucoup plus

Élevée que la vitesse des migration mais à fur à mesure que vous montez vers l’excentricité ben vous descendez la vous diminuez la fréquence des des libration et vous arrivez à croiser à au moment où les deux vitesse de migration et fréquence de libration se croisent là les principes adiabatiques tombe à l’eau

Vous pouvez plus l’appliquer parce que il y a plus une ségrégation d’échelle des temps donc votre objet commence à suivre la courbe ressonnante commence à monter une excentricité et puis il a dit B ça va pas du tout euh je peux plus suivre le principe adiabatique et donc

Qu’est-ce qu’il fait l’objet il sort de la résonance et l’excentricité répond à chuter grâce à l’action du gaz et l’objet reprend à migrer vers la planète et va essayer une autre résonance donc disons comme ça elle est passé à travers la résonance 21 la prochaine résonance

Sera la 32 là si on change de résonan donc au lieu d’avoir un certain cas on a un cas augmenté des 1 donc au lieu d’avoir la résonance 2 1 k é= à 2 on a résonance 32 k é= à 3 ben on a exactement le même type de courbees mais

Évid on peut shififter vers le haut parce que étant plus prèt à la planète perturbatrice ben les forces les perturbations sont plus fortes et donc toutes les fréquences sont plus des librations sont plus rapides donc vous avez toujours cette allure euh comme celle-ci et donc ben voilà votre vitesse

De migration peut devenir comparable la vitesse la fréquence des libration à une excentricité un peu plus grande mais mais mais c’est toujours vous tombez toujours dans l’invalidité du du principe adiabatique et donc vous sortez de la résonance 32 aussi et donc vous reprenez un migrer pour rencontrer la

Résonance 43 mais la résonance 43 donc K+ é= à 4 + 2 = 4 aura la même allure pour la fréquence de libration mais encore plus rapide et donc là maintenant pour toute excentricité vous avez une vitesse de migration qui est inférieure à la fréquence de des libration donc les principes adiabétiques s’appliquent

Toujours et donc là vous avez une capture définitive hein donc un objet qui approche notre objet par migration convergente va passer toute une série de résonances de type kk-1 jusqu’à trouver la première dans laquelle les principes adiabétiques est valable pour toute valeur d’excentricité et la trouvera toujours parce qu’en s’approchant avec

La planète perturbatrice donc K qui augmente K + 2 K + 3 K + 4 cette courbe continue à monter la vitesse d’immigration est toujours la même et donc à la fin tôt ou tard vous arrivez dans un cas où la le principe diabatique est toujours satisfait bien euh donc quand vous êtes

Capturé en permanence donc vous pouvez monter en excentricité sans cesse votre exancité va augmenter va augmenter selon cette équation donc la les changements du moment cinétique qui est dû au processus d’migration imposé par les disques euh divisé par ce terme la racine du dem grand axe et l’excentricité en même temps comme je

Disais la première heure les disques exercent aussi un amortissement sur l’excentricité la formule de l’amortissement de l’excentricité est celle-ci donc il y a la même dépendance sur les moments cinétiques donc c’est d LDT et il y a une dépendance différente en excentricité ça dépend pas du déigrandxe mais ça dépend de l’inverse

Du rapport d’aspect du disque au carré plus votre disque est fin donc froid plus les dampings de l’excentricité est fort OK et donc cette montée en excentricité va continuer jusqu’à quand quand ce terme- làà qui est positif est égal à ce terme làà qui est négatif

Parce que DL DT est négatif donc avec un moins ça c’est positif et ça ça devienent négatif donc j’impose que ça soit égal à ça donc d l DT d l DT c’est simplifie e- 1 multiplie avec e ça donne un eœ au carré et donc on trouve que l’excentricité d’équilibre est est

Proportionnelle au rapport d’aspect du disque donc plus le disque est P plus l’excentricité est grande plus les disques fins plus l’excentricité petite et l’auteur du disque les rapports d’aspect et la température du disque donc dans un disque physiquement froid les planètes tendent à rester plutôt à faible excentricité dans un dis qui est

Très chauffé parce que par exemple très visqueux très irradié et cetera les planètes peuvent devenir plus excentriques donc là la la croissance arrive à un point d’équilibre quisson s’arrête en équilibre euh mais l’amortissement de l’excentricité pour un certain valeur de l constant eu induit aussi un changement

De démig grandandaxe et c’est ce que je vous avais dit tout à l’heure donc le changement de démigrandax est proportionnel à l’amortissement de l’excentricité et à l’excentricité elle-même ça s’applique aussi bien au déig grandandaxe à la planète 2 Queau déig grandandax la planète 1 et là malheureusement vous pouvez pas

Faire des considérations diabétiqu parce que considération diabétique s’appelle s’applique au paramètres au changement des paramètres du système pas au changement des variables donc là vous avez un vrai changement topologique des trajectoires quand vous êtes en dynamique hamiltonienne donc conservative toutes les courbes sont fermées parce que la dynamique est

Conservative donc la dynamique doit être cyclique mais si vous P à mettre des forces non Conservatives sur les variables les points d’équilibre qui qui est un centre dans dans dans les cas htoniens on en point de selle si si il est instable peut devenir un foyer donc un foyer qui peut

Être stable si voilà les courbes spirales sur les points d’équilibre donc l’amplitude de libration diminue ou pour être ou peut être instable si la la la dynamique spirale en séloignant du point d’équilibre et et donc l’amplitude de libration augmente et là ben il faut faire les calculs et on trouve que dans

Certains cas ben c’est un changement de du démig grandaxe induit par par l’amortissement en excentricité permet de de de transformer la D soit transform la dynamique comme ça soit transform la dynamique comme ça vous pouvez calculer dans quelles conditions la dynamique est transformée comme celle-ci et donc les points

D’équilibre devient instable et ça c’est le travail que goldri et schlisting ont fait en 2014 et ont appelé ces phénomènes la ressonance overstabilité et c’est exactement ce qu’on avait vu dans cette animation donc mainant peut-être on peut la comprendre un peu mieux donc il y a cette capture

En résonance là une planète mineure et là vous voyez qu’au départ on dirait que l’équilibre Ava été atteint mais là ça commence à osciller de plus en plus et voilà vous avezz cette oscillation transverse dans àex et finalement ben donc là on est en train de faire la

Spirale qui sort du point d’équilibre et qui grandit grandit grandit jusqu’à nous amener en dehors de la résonance alors quels sont les planètes qui sont quelles sont les configurations qui sont instable dû à Cees processus et là il y a un magnifique travail par Deck et batigin en 2015 qui fait vraiment le

Tour de la question donc si vous êtes intéressé c’est l’article avoir donc ces deux auteurs ont fait des diagam résonance par résonance qui sont les idées sur la 32 mais on peut faire aussi la 2 1 donc ça c’est un diagramme qui montre sur l’axe des Y les

Logarithmes des rapports des masses M1 étant la masse de la planète interne m2 étant la masse de la planète externe et sur l’axe des x on a la l’échelle de temps de l’amortissement de l’excentricité de la planète interne sur la temps d’amortissement de l’exé de l’excentricité la planète

Externe donc vous les auteurs ont calculé les caractéristiques de de ces foyer quand le foyer est stable et quand le foyer est instable ils ont trouvé que le foyer est instable si vous êtes à droite d’une de ces courbes et donc la la couleur de la courbe dépend de ces valeur Epsilon et

Cette valeur Epsilon est la somme des masses de deux planètes par rapport à l’étoile donc si les planètes sont très petites 10- 6 c’est la plutôt la courbe verte qu’il faut regarder ce sont des planètes géantes comme Jupiter 10-3 c’est plutôt la la courbe mauve qu’il

Faut regarder quoi que ce soit la courbe donc il dépend des masses des planètes dans la partie droite de la courbe donc dans cette région ici pour 10- 3 le système est instable donc vous avez ce spirale qui grandit qui grandit et finalement vous sortez la ressonance tout ailleurs tout part ailleurs le

Système est stable vous sortirez pas de la résonance or pour un disque donné si le disque est uniforme il y a une relation des temps d’amortissement des l’excentricité à partir sur les masses des planètes elles sont inversement proportionnel les temps d’amortissement de l’excentricité qui est la dérivée de l’excentricité divisé par l’excentricité

En sur eu la dérivée de l’excentricité à l’invers lui est inversement proportionnel à la masse de la planète et dépend de la masse de l’étoile de le l’échelle d’auteur du dis l’épaisseur du disque et cetera d’autres paramètres mais est linéaire inversément proportionnelle à la masse de la planète

Donc si votre disque est uniforme donc les mêm hauteurs partout tout et cetera euh mais forcément les les les rapports entre les deux temps d’amortissement est fonction des rapport de deux masses donc vous êtes sur cette ligne diagonale vous êtes pas ailleurs dans les diagrammes pour être ailleurs dans les diagrammes

Vous devez avoir un disque non uniforme pour pouvoir découpler les rapports des temps d’amortissement de l’excentricité des rapports de masse mais normalement vous êtes sur cette ligne et donc voilà vous voyez que disons vous fixez la masse totale de vos planètes disons 4 donc la courbe bleue et donc si vous

Prenez la courbe bleue comme référence vous êtes instable à chaque fois que la planète interne M1 est à plus petite que la planète externe m2 ça veut dire logarithme de M1 sur m2 négatif ça ve dire M1 plus petit que m2 et vous êtes stable si M1 est plus grand que m2 donc

Ce que je vous disais au départ mais si vos planètes par exemple sont des planètes géantes les système devientent instable seulement si la planète interne est un diè de celle externe si la planète interne seulement la moitié entière le système est stable par exemple si vous aviez un système Saturne

Jupiter Saturne à l’intérieur jupitaire à l’extérieur ça serait stable parce que le rapport de masse est un tiers et donc vous serez au-dessus de cette courbe mauve voilà donc on peut étudier toutes les résonancesment chaque résonance un peu différente et avoir ces ces ces types de diagramme et bon

Donc décider qu résonan sont stables qu résonan sont instables selon le types de résonance les rapports de masse dernière chose que je voulais montrer un peu qualitativement mais je pense c’est important c’est d’où comment interviennent les effets tro à trois planètes et donc on a vu il y a des effets trois

Planètes n’est-ce pas parce que tout à l’heure on a vu par exemple que une chaîne de résonance la chaîne de résonance 76 76 est stable si on a deux planètes est stable si on a trois planètes est stable si on a qure planètes mais est plus stable a 5 ou

Plus donc là clairement c’est pas l’interaction seulement entre planète de planètes voisine parce que sinon il y aurait aucune différence qu’il ait de 3 4 ou 6 planètes donc il doit y avoir des effets en multiples entre toutes les planètes en même temps qui rentrent en jeu pareillement si vous prenez un

Système des planètes qui ne sont pas ressonance entre elles sont juste mis à des distances relatives en unité de rayon des île voilà si vous avez seulement deux planètes vous avez c’est très simple critère d’ stabilité c’est instable si les planètes sont plus proches entre elles que deux fois la

Racine3 leur rayon des miles mutuels mais si la distance est plus grand que de fois √3 rayon des hîle mutuelle c’est stable pour tous les temps donc ça c’est le diagramme de stabilité pour deux planètes mais vous prenez trois planètes vous faites différentes simulations numériques en prenant les planètes vous

Les mettez à des distances régulières que vous mesurez en terme de nombre des rayons des îles mutuelles et vous voyez que vous avez pas un tout au rien noir ou blanc instable ou stable vous avez que les temps de stabilité grandissent en séparant les planètes de façon continue uniforme mais voilà c’est très

Différent que les cas deux planètes donc clairement il y a des effets à trois planètes ou plusieurs planètes qui rentre en jeu donc il y a des effets que la dynamique ne peut pas se résoudre que à des sommes des des d’inaction à deux planètes comme dans les cas ressonants

Que j’ai montré jusqu’à présent mais la question he mais pourquoi parce que ça c’est les éudant me demande toujours ça d’où vient la reléation les relations à trois corps vu que les miltonienne s’écrit comme somme des interactions de planètes à de par de ok donc on peut

Avoir un terme qui dépend des trois planète en même temps et la l’explication est tout simple et je vais vous la donner qualitative son faire trop de calcul mais vous montrons donc ça vient du fait de la moyenisation don tout à l’heure j’avais été plutôt rapide j’avais dit

Bon voilà j’ai mon mon amultonien mon s Fourier si je suis près d’une ressonance un angle long un angle rapide je peux moyenner mon mon hmilonien sur l’angle rapide B elle disparaît la moyennisation n’est pas une opération rigoureuse et c’est les maths qu’il faut suivre pour comprendre quand est-ce qu’on fait les

Choses justes quand est-ce qu’on fait les choses approximé ou mal approximé donc si on veut moyennner il faut le faire rigoureusement du point de vue mathématique qu’est-ce que ça veut dire moyenné du point de vue vue mathématique h miltonien ça veut dire que euh pour moyenner je dois trouver un

Changement canonique des variables qui fait tomber les angles de la série de Fourier qui m’intéresse pas je m’explique sur cet exemple donc prénons déjà le problème plan parce que sinon les formues deviennent longuees et sort du tableau donc les miltonien complet c’est traduit euh comme ça donc il y a

Les deux parties donc on a ici je prends pour le moment que deux planètes encore donc la planète les termes l’interaction entre l’étoile et la planète une l’étoile la planète 2 la perturbation mutuelle entre les deux planètes les variables d’action angle je vous rappelle sont celles-ci il y en a une

Qui a disparu parce qu’on a pas l’inclinaison donc vu que MU est proportionnel à M et vu les définitions et vu là comment il rentre les chos donc ces variables là sont d’ordre m dans les masses des planètes ces termesl sont d’ordre m parce qu’on a un m au cube au

Numérateur mais on a un lambda au carré au dénominateur donc globalement sont d’ordre m ça c’est les termes qui décrit l’interaction entre les deux planètes donc les coefficients là sont forcément d’ordre m au Carr VO donc euh je peux pour vu que ça c’est une perturbation d’ordre m au carré ça c’est

D’ terme d’ordre m il est clair que les lambda les variables lambda euh vont osciller avec une amplitude d’oscillation proportionnelle au masse donc pour simplifier je peux faire une expansion ser tayor local des l’action lambda autour du valeur initial parce que je sais que mes lambda dev avoir des

Oscillations de nordre de grandeur proportionnelle à la masse donc je vais introduire cette Delta lambda qui est la la différence entre les les valeur de lambda par rapport aux valeurs initiales ça sera donc une quantité d’ordre m au carré parce que les lambda sont ordre m mais leur variation est d’ordre m donc

Varation d’ordre m sur une quantité d’ordre m donc Delta lambda est d’ordre m carré je peux réécrire cette partie là comme celle-ci donc en faisant un développement à l’ordre 2 en delta lambda donc j’ai un terme linéaire qui lui sera maintenant d’ordre m au carré en terme quadratique qui sera d’ordre m

À la puissance 4 pareillement là aussi j’évalue mes coefficients sur les valeurs de lambda et gamma je fais la même chose euh voilà et je l’ai fait une expansion en série de Taylor au premier ordre donc ça ce terme restera d’ordre m au carré ce terme-là deviendra d’ordre

M4 donc maintenant je veux moyenner certains harmoniques de ici et euh d’ordre m au carré donc je cherche une transformation des variables qui me font tomber ces term et en utilisant ce terme linéaair donc euh voilà donc je je réécris juste la pare partie ben la partie linéaire plus la partie

Quadratique donc je cherche une transformation canonique qui me font fasse tomber tous ces harmoniques là sauf celle pour dans toutes les harmoniques pour lesquelles K1 ω1 + K2 ω2 différent des Z0 parce que si c’est égal à é0 j’ai une ressonance et donc je dois garder mon terme je dois moyenner

Les autres termes on l’a vu tout à l’heure donc mais comment je peux faire cette transformation des variables mais c’est tout simple parce que ce terme là linéaire donc je vous donne directement la solution c’est une transformation canonique faut vérifier et euh voilà quand vous l’insérez donc vous transformez les

Delta lambda 1 Delta lambda 2 en utilisant dans les les Delta lambda prime Delta lambda 2 prime et cetera et les angles pareils les angles n’ont pas changé donc vous lincerez vous avez que ce terme-l même terme linéaire dans les Delta lambda pre et tous ces termes là

On été éliminés parce que les termes qu’on rajoute avec les signes moins effaceent termes qu’on a là avec les signes plus évidemment je peux le faire seulement pour tous les termes pour lesquels K1 ω1 + K2 ωé2 différent des Z0 sinon j’en infini un zéro dénominateur singularité donc les termes ressonnants

Je peux pas les moyenner mais ça c’est la manière rigoureuse par une transformation canonique de moyenner les termes et maintenant que vous avez cette manière rigoureuse vous pouvez continuer parce que si vous faites des choses rigoureuse vous faites jamais des erreurs donc maintenant vous introduisez cette transformation des variables dans

Dans les termes d’ordre supérieur et en intr maintenant cette transformation des variables liit les variables de la planète E1 avec les variables de la planète 2 et donc par exemple quand vous les injectez dans les termes de la perturbation qui elle décrit l’interaction à deux corps entre la

Planète 2 et la planète 3 du fait que vous injectez une transformation des variables qui lit les les les éléments les les angles des les actions aussi de la planète 1 avec la planète 2 vous vous retrouvez avec quelque chose qui lie les angles et les actions de la planète 1 de

La planète 2 de la planète 3 et qui se trouve à l’ordre M4 donc quadratique dans les masses par rapport au terme principal qui lui est d’ordre 2 et ça c’est la manière dans laquelle on voit apparaître alord quadratique dans les masses les termes qui correspond à trois planètes l’interaction directe entre

Trois planètes et à l’ordre 3 dans les masses vous verrez la paraaraître les interactions entre quatre planètes et ainsi de suite et et et et si vous suivez pas cette approche rigoureux mais simplement vous moyennez comme souvent on fait mais vous perdez tous ces relations en trois corps qui peuvent

Être capital et justement c’est relation trois corps je vais terminer là-dessus encore 5 minutes des patience sont capitales pour expliquer pourquoi les chaînes de résonance deviennent instable par exemple ou pour expliquer cette stabilité en fonction de la séparation dep planètes non résonantes alors pourquoi les chaînes ressonnantes deviennent instables benah je vais vous

Juste vous donner les résultats donc elles deviennent instablebl quand la fréquence des librations d’un angle résonnant entre deux planètes devient la même que une combinaison des périodes synoniques donc je va explique un peu mieux donc qu’est-ce qu’on fait ici donc ici on a trois planètes en résonnance 54

Donc 54 résonnance 54 planète 1 la planète 2 résonnance 54 en planète de la planète 3 ok donc et on fait dans cet exercice c’est augmenter les masses des planètes donc on parle des planètes tout petite on les fait tout doucement augmenter et on monitore on mesure la

Fréquence de libration les fréquences de libration des l’angle résonant entre la planète 1 et la planète 2 et donc VO C fréquence de libration augmente avec l’augmentation des masses bien sûr et on compare avec les périodes synodiques qui sont les différences des fréquences orbital entre la planète 2 la planète 3

Planète 1 la planète 2 ça c’est des angles rapides mais après vous avez une combinaison à trois planètes donc la fréquence de la planète 1 2 fois la planète 2 plus 3 fois la planète 3 et cette fréquence rentre dans un angle alors quadratique dans les masses dans

Ce terme que vous avez généré par moyénisation rigoureuse et vous voyez que un moment donné les fréquences sont les mêmes la fréquence de libration de langue résonnant est la même que cette fréquence à trois corps et c’est ça qui déclenche l’instabilité et donc vous pouvez calculer à quelle masse l’instabilité

Est déclenchée et vous pouvez essayer de voir si si c’est bien ça ou pas donc ça c’est les résultats en comparaison de ces modèles avec les les simulations numériquees donc on prend par exemple un système à trois planètes on fixe différents résonances donc K est l’index de la chaîne de résonances don par

Exemple 6 ça veut dire qu’on a trois planètes en résonance 6 5 65 4 en ronance 43 43 et cetera vous faites une simulation numérique pour déterminer à jusqu’à quelle masse les planètes sont stables et vous trouvez ce point noirs voilà donc les planètes sont autant plus

Peut être autant plus massives que la résonance d’ordre bas et l’estimation analytique en cherchant ce point de croisement entre les fréquences de libration et les fréquences des des combinaison de à tro cords de période synonique vous donne les croix donc l’accord assz bon et c’est très bon pour

Des chaînes à trois planètes pour des chaînes à quatre planètes à 5 planètes à 6 planètes on a toujours un très bon accord entre les estimation analytique et les résultats des simulations numériquees brut pour des chaînes de plus en plus complexes donc par exemple c’est une chaîne 32 32 32 32 donc c’est

Vraiment les mécanismes qui à l’origine de l’instabilité et euh pour l’autre problème donc les temps d’instabilité pour un système à trois planètes qui n’est pas un un ressonnant dans une chaîne de résonance qui on a vu au lieu d’avoir cette marche d’escalier grandit tout doucement mais là c’est la la

Raison c’est l’existence d’une forêt des résonances à trois corps donc les résonances à trois corps c’est des résonances où vous trouvez des nombres entiers K1 K2 K3 tel que les produits K1 ω1 + K2 ω2 + K3 ω3 é= à 0 donc c’est bien une résonance sans avoir aucune

Résonance individuelle entre Oméga ωéga 2 ou omωéga 2 oméga3 donc ça c’est ce qu’on appelle une ressonance TR corps dans ce travail fantastique d’Antoine petit donc il montre voilà là ces trois planètes donc on regarde la le rapport de période P1 P2 les rapport de période P2 P3 si on considérait juste les

Limites de stabilité entre planèt voisines on aurait que le système est instable au-dessus de cette ligne verte et à droite de cette ligne verte mais en réalité la la réalité beaucoup plus complexe et c’est par parce qu’il y a toutes ces forê de résonance à trois corps qui apparaît comme des lignes

Diagonales et qui se recouvrent et qui donneent comme effective limite de stabilité cet arc bleu donc si vous êtes là votre système est stable si vous êtes là votre système est instable et les auteurs la vont encore plus loin sont capablebles de transformer les recouvrements de résonan en tant de

Diffusion et tant d’instabilité et donc il trouve cette estimation analytique qui la courbe rouge qui interpole très bien les données numériques qui sont les points bleus que vous voyez en background et donc vous voyz voyez qu’avec la mécanique céleste traité rigoureusement on peut faire des choses franchement très très

Fines donc à retenir pour rester dans les traditions donc qu’est-ce qu’on a vu aujourd’hui on a vu que les résonances se comportent comme des pendules donc des planètes ressonnantes aussi l’entour d’un point d’équilibre démigrant d’axe excentricité la migration si elle est convergente amène tôt ou tard les planètes en résonance et ainsi on

Construit des chaînes résonantes chaque planète en ressonnance à deux corps avec sa voisine donc la chaîne ressonnante est la seule configuration les distances relatives des planètes nchangeent plus même s’il y a une migration euh la chaîne migre ensemble rigidement et si une planète est bloquée parce que il y a

Un couple de corrotation qui piège la planète ben toute la chaîne s’arrête mais la distance reléative des planètes en terme reléatif ne peut plus changer sauf si la planète interne est significativement moins massive que la planète externe alors là on a ce problème de overstability hein c’est dû au fait que l’amortissement de

L’excentricité agit aussi sur les dé grand d’axe et ça peut permettre à la ressonance de se déstabilisé mais une fois que les gaz disparaî les chaînes résonnantes peuvent devenir instables en particulier celles sont trop de planètes par rapport à leur masse par exemple l’instabilité détruit la chaîne à jamais donc vous aurez plus

Jamais des relations ressonnant euh après des des planètes fusionnent le nombre diminue les planètes se stabilis is mais ils sont plus ressonnantes à la ressonance à la fin à la fin et en fait la plupart des systèmes planétaires ne sont pas en ressonnance aujourd’hui sans doute à cause de ces instabilités post

Disque après si on veut vraiment étudier les ressonances il y a qu’une manière de le faire c’est la dynamique hamiltonienne et c’est vraiment l’approche plus adaptée pour étudier mathématiquement les ressonances et les comprendre même s on faire les calculs simplement comprend pourquoi il y a certains effets comprend ce qui est

Rigoureux ce qui n pas rigoureux un peu comme j’ai essayé de faire cette deè heure et en particulier par exemple on découvre d’où viennent ces relations entre trois planètes donc elle viennent l’ordre m carré l’ordre relatif m carré et et vous découvrez ces terme seulement si vous fait une moyénisation rigoureuse

Par transformation des variables au lieu de simplement tirer un trait au-dessus d’une partie de l’É miltonienne en disant moyené elle a disparu euh donc ces ressonnan ces interactions en multicorps jouent un rôle sont pas anecdotiques et on pense que les chaînes résonnantes justement sont déstabilisées par des effets secondaires

Entre les résonances secondaires entre les fréquences de libration les fréquences synodiques et aussi les les résonances trois corps sont très importantes parce que sont très fines mais sont partout sont très très nombreuses et la vraie limite de stabilité d’un système à trois planètes non résonnants est dû à à au

Recouvrement des des ces chaînes des des des C ressonnance à trant donc voilà ceci termine ces cours termine la série de cours c’est termine pas tout à fait l’enseignement si vous voulez il y a un collocque qui aura lieu ici les 26 et 27 juin les titres sur la formation des

Disques protosolaires et ces premiers planètes esimau donc en principe il recouvre en gros au moins les premiers quatre cours donc vous devriez avoir les bases pour suivre mais bien sûr c’est un c’est un coloc professionnel il y a des invités étrangers ce sera en anglais mais en principe voilà je pense de vous

Avoir donné toutes les bases pour comprendre au moins ce que chaque intervention euh signifiera et sinon ben voilà on se retrouvera j’espère si vous voulez bien l’année prochaine alors chaque année les cours changent évidemment tradition Collège de France je pense que l’année prochaine je vais m’attaquer àzvou l’histoire du système solaire euh c’est

Le 2025 ce sera 20 ans du modèle des Nice sera l’occasion d’en parler donc oncera peut-être par là et puis voilà dans les années suivant on va tout doucement construire toute base sur la planétologie donc merci beaucoup et à une [Applaudissements] [Musique] prochaine