Enseignement 2023-2024 : Mathématiques appliquées
Séminaire du 24 novembre 2023 : Modélisation mathématique de techniques de contrôle d’arboviroses
Intervenant : Nicolas Vauchelet, LAGA, Institut Galilée, Université Sorbonne-Paris-Nord
Dans la lutte contre les maladies transmises par les moustiques, plusieurs stratégies innovantes ont été mises au point pour réduire les populations de moustiques ou bloquer leur capacité vectorielle. La modélisation mathématique joue un rôle important dans la prévision de la dynamique des populations de moustiques et dans le test, l’amélioration et la mise au point de stratégies de contrôle plus fiables. Dans cette présentation, nous passerons brièvement en revue deux stratégies de contrôle importantes : une stratégie de remplacement utilisant la bactérie Wolbachia et la technique de l’insecte stérile (TIS). Pour ces stratégies, nous présenterons quelques résultats concernant leur propagation spatiale et leur optimisation, ces résultats sont obtenus à partir d’une modélisation avec des systèmes de réaction-diffusion et une analyse mathématique de ces modèles.
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Chaire Équations aux dérivées partielles et applications
Professeur : Pierre-Louis Lions
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[Musique] [Musique] donc effectivement donc c’est un travail qui que j’ai commencé depuis pas mal de temps he qui me passionne depuis plusieurs années donc j’ai travaillé pas mal de gens alors je pas parler de tout ce que j’ai fait sur le sujet j’ai juste sélectionné quelques points que je vais
Vous présenter donc le sujet effectivement il s’agit de d’analyse mathématique de méthode de contrôle de de maladies transmises par les moustiqu euh voilà donc ah oui pour université surban parisnord en fait c’est Université Paris démition officielle c’est Université Paris 1 dénommée Université sbonne Paris Nord voilà donc
C’est un peu long donc j’ai voilà bon alors euh donc je vais commencer mon exposé donc par une introduction hein mon exposé va recosé en trois parties d’abord je vais introduire deux méthodes de contrôle qui vont m’intéresser dans cet exposé une méthode qu’on appelle une stratégie de remplacement et une
Stratégie de suppression et pour chacune de ces méthodes j’ai présenté quelques résultats alors tout d’abord j’ai parlé de la méthode dite de remplacement et ensuite je parlerai de la méthode de suppression qu’on appelle la technique de l’insect stérile alors commençons par décrire ces deux méthodes alors avant un bref
Introduction générale hein donc les maladies transmises par des vecteurs ça correspond à pe près 17 % des des infections donc ça c’est les chiffres que qu’on trouve sur l’OMS à peu près 700 morts par an euh donc ça peut être causé par plein de transmission de plusieurs trucs hein
Donc des parasites des virus des bactéries euh pour ce qui concerne les moustiques donc les moustiques essentiellement donc transmettent plusieurs maladies donc essentiellement il y a la Ding chikungunia le zica la fièvre jaune il y en a aussi d’autres bien sûr j’ai pas cité la malaria puisque la malaria c’est plus un
Parasite plutôt que qu’un virus euh pour ce qui concerne la dingue la dingue on estime qu’à peu près enfin donc les chiffres de l’OMS donne 96 millions de personnes impactées par an et donc environ 40000 morts chaque année la dingue est essentiellement transmise par deux types de moustiques alors il y en a
Plein mais bon les deux principaux vecteurs c’est des vecteurs de la de la famille des aides qui sont aides egypti et albopictus donc dans la carte que j’ai représenté ici vous trouvez les zones dans lesquelles le vecteur aides egypti est présent donc vous voyez c’est essentiellement des régions tropicales
Et si vous regardez l’autre vecteur que j’ai cité àes albopictus ben vous voyez vous allez sur le site du du ministère et vous voyez la propagation la présence de cette moustique dans dans la France c’est c’est une carte que j’ai sorti récemment c’est une carte donc de
Présence au 1er janvier 2023 donc dans un mois je pense qu’il vont la mettre à jour et donner une nouvelle carte pour pour cette année pour pour l’année prochaine vous voyez qu’il est bien implanté alors les gens qui habitent dans le 13e le savent très bien puisque
Ils ont eu subi une une opération de démostication cet été suite à des transmissions de cas de dingue euh voilà c’est excuse-moi le le fameux tigre dont on parle ah c’est Adas albopictus oui j’ai oublié de le dire en fait son petit nom Adas albopictus c’est le Mousti tigre voilà enfin disons que
Son nom scientifique c’est albo piictus et son nom moins scientifique c’est le moustique tigre donc c’est lui qui que vous pouvez vous allevez sur le site du ministère vous avez cette carte là qui est mise à jour tous les ans et vous avez l’évolution aussi depuis je crois
Que c’est 2004 la première année vous voyez que au départ il était il arrivait par il est arrivé essentiellement par par l’Italie par le sud par sud-ouest et puis maintenant il est implanté bah dans comm une gros grosse partie de la France alors pour pour lutter contre ces
Les maladies qui sont transmises par par les moustiques hein donc vu que pour l’instant on n pas de vaccin et on a pas vraiment de traitement curatif euh alors pas de vaccin donc au mois de novembre il y a un vaccin pour le pour le chikun
Gunia qui a été qui a été réalisé par un laboratoire européen qui est en train d’être étudié donc il a été validé par les États-Unis j’ai découvert ça récemment il est en cours de validation par l’Union européenne je sais pas après son efficacité je sais pas trop mais en
Tout cas ce qui est sûr c’est pour pour que la dingue et pour Zika ils ont il y a pas de vaccin en tout cas et donc la meilleure action qu’on peut avoir enfin les actions qu’on utilise actuellement pour lutter contre la transmission de cette maladies c’est d’agir sur la
Population de moustique donc euh plusieurs moyens alors la première méthode à laquelle on pense bien sûr c’est d’essayer mécaniquement d’enlever les sites de reproduction hein les sites de reproduction d’AV typiquement c’est les sites d’eau si vous savez qu’ils ont besoin d’eau pour se reproduire donc on enlève ça alors ça peut être très
Efficace à condition de d’être très efficace quand on fait la quand on fait la méthode et donc parfois c’est assez compliqué notamment d’aller dans dans des zones qui sont assez difficiles d’accès euh l’autre méthode qui é utilisée beaucoup dans les années 70 80 c’est l’application des insecticides euh
Vous savez tous que ça a des des aspects très négatifs donc j’en ai cité deux hein d’abord ça ça augmente la résistance des moustiques et ensuite vous savez que au point de vue de de l’environnement ça a un impact qui est assez assez assez important et bon qu’on
Peut pas négliger euh donc on essaie de limiter au maximum et il y a deux nouvelles alors il y en a plusieurs mais les deux qui vont m’intéresser aujourd’hui c’est une technique qu’on appelle la technique de laass stérile et l’autre donc que je vais présenter maintenant qui est la technique de
Remplacement que qui s’appelle donc par volbakia alors tout d’abord des petits fait he j’ai dit que on sait tous que les moustique se reproduisent ont besoin d’eau alors pourquoi parce que essentiellement la le cycle de vie d’un moustique est divisé en deux phases une phase aquatique et une phase aérienne
Dans la phase aquatique vous avez les œufs les larves ensuite la pupe et après émergence les les pupes deviennent des adultes la durée de vie d’un adulte peu près un mois euh ce qui est assez intéressant c’est que le moustique en fait il a une phase sa phase enfin les œufs il peut
Produire des œufs lorsque l’hiver approche qui sont capables de survivre tout l’hiver donc rester pendant 6 à 9 mois euh même dans des périodes très sèches pendant des hivers très froids ils ont des œufs qui sont très bien protégés et ce qui fait que hop à l’été
Suivant dès que les températures sont un peu favorables on va avoir une nouvelle émergence émergence d’une nouvelle population euh donc après question de chiffre hein donc par par chaque oviposition on a entre 40 et 80 œufs et une femelle fait entre deux ou trois position dans sa vie
Euh vous savez tous que normalement c’est que les femelles qui piquent alors la raison c’est que elles ont besoin du des protéines contenues dans le sang humain pour faire maturer leurs œufs et euh alors les moustiques se déplacent mais en fait on peut estimer que la la
Dispersion est très très faible elle est de quelques centaines de mètres donc c’est moins d’un km durant sa vie euh alors pour ce qui me concerne donc maintenant je vais parler de la bactérie volbacia alors qu’est-ce que c’est que bactérie volbacia en fait c’est une bactérie qui était découverte
Naturellement présente dans les dans l’environnement dans de nombreuses espèces arthropodes elle est naturellement là et elle est caractérisée par plusieurs fait d’abord elle est il y a une transmission maternelle c’està-dire que quand la mer av volbakia tous les descendants vont la porter alors j’ai représenté ici un petit un petit tableau donc dansquel
Vous avez les croissements entre les les femelles et les mâles qui donc infecté c’estàd qui pte volbakia ou qui ne porte pas volbakia donc quand vous avez la femelle qui est infectée donc qui porte volbakia vous avez ici donc tous les descendants vont être infectés il y a ce
Qu’on appelle une une incompatibilité cytoplasmique qui fait que lorsque un mâle porte vol bacia mais que la femelle ne le porte pas ben le la descendance va donner ABSOLUMENT enin les ufs vont pas viable donc il y aura pas de descendance bon bien évidemment si vous avez deux
Espèces qui ne portent pas V Baca les descendant ne va pas le porter donc vous voyez donc sur ces quatre croisements il y en a trois qui vont être fiables et sur les trois il y en a deux qui vont donner volbaca qui vont donner que qui
Vont faire que la descendance va porter volbacia donc a une transmission maternelle qui a l’air assez favorable pour le développement de cette bactérie d’une part bon après il y a quelques effets secondaires qui font que que ben il y a un peu moins de descendants pour ceux
Qui portent quand est quand quand la mer est infectée par volbakia que quand elle ne l’est pas euh et la durée de vie un peu plus faible bon mais le point qui est aussi très important sur cette bactérie c’est qu’en fait on s’est aperçu que lorsque les moustiques
Portaient la bactérie il ne pouvaient plus transmettre les virus hein il y avait à l’intérieur de leur corps en fait les glandes salivaires volbaca bloquait la transmission du virus chez l’humain donc il y a une méthode qui est tout naturellement qui ané dans les esprits des entomologues hein c’est de
Se dire voilà on sait que quand cette bactérie-là est dans la population la population qu’on aura sera une population qui ne transmettra pas de virus et en plus c cette bactérie se transmet de mère en fils hein donc elle se transmett de génération en génération donc l’idée c’est la suivante c’est de
Dire on va essayer de relâcher plein de moustiques qui portent volbakia en espérant Queen s’accouplant avec les population sauvage en fait ils vont créer des générations qui vont porter la la bactérie et donc avir une population finale qui sera uniquement porteur de cette bactérie et cette bactéries et donc qui soit
Assez inoffensif pour l’humain donc ça c’est l’idée donc voici le le petit schéma qui qui résume un peu tout ce que j’ai dit donc vous avez une population sauvage vous injectez pendant quelques temps des moustiques qui portent vol Baca et vous espérez que vous en avez ajeté suffisamment pour que finalement
La population s’installe complètement et remplace la population sauvage voilà ça c’est c’est c’est pris de d’un grand programme qui s’appelle le World mosquito programme euh donc il est un grand programme qui regroupe une bonne douzaine de pays donc qui est financé essentiellement par Bill Gates la fondation Bill
Gates et euh donc ce programme a été lancé notamment suite à un premier résultat donc qui a fait date hein donc ça date de 2011 question oui c’est des vitesses de déplacement donc tu as tu as parlé de dispersion ou euh qui est très limité or on a l’impression que globalement ça se
Propage beaucoup plus donc c’est ce qu’on dit pas avec AC les transports exactement donc il y a il y a plusieurs phénomène de transport ou bon ça c’est c’est c’est anecotique mais quand on introduit une espèce une autre espèce pour a une chance que ça marche il faut qu’elle se déplace au moins
Aussi vite alors c’est pas une autre espèce c’est la même espèce en fait c’est ça qui est intéressant c’est que c’est la même espèce mais qui porte quelque chose voilà c’est ça qui est très intéressant c’est pour ça qu’ils sont vraiment dépl exctement c’est exactement c’est les mêmes en fait c’est
Les mêmes qui prennent ils vont juste injecter et puis voilà il font se repruire beaucoup d’endro alors ça c’est toute la question c’est comment on fait pour injecter donc c’est une question sur lequelle on s’intéresse on va on va s’intéresser voilà je vais y venir dans quelques temps juste avant ça je vais
Donc parler de donc de des résultats qui ont été présentés pardon les premiier résultats qui ont fait que cette méthode a a eu du succès c’est les résultats qui ont été donc fait en 2011 par une équipe donc avec enfin Hoffman c’est le premier auteur de de ce travail euh donc ici ça
Représente deux euh deux endroits près dans Le Rest de l’Australie ils ont fait des relâchés une dizaine de relâchés pendant 2 3 mois ensuite ils ont arrêté et ils ont mesurer dans les pièges la proportion de de moustique portant volbakia après après la les relâcher et
Ils sont aperçu qu’en fait on avait une proportion qui était très proche de du remplacement total alors un peu moins ici que là mais en tout cas voilà ça ça leura suffi pour dire que voilà en fait ça marche ça peut marcher euh et donc ça a lancé tout un programme qui depuis
Plus de plus de 10 ans marche très bien euh voilà donc ça c’est la première technique donc je parler un peu des des problèmes mathématiques he qui effectivement ce dont on vient de parler mais je vais parler maintenant la seconde technique he dans mon introduction la seconde technique c’est
La technique de l’insecte stérile alors cette technique de l’insecte stérile d’abord elle a été réalisée dans les années 50 donc les noms célèbres c’est Bouland et kn qui ont réussi à éradiquer notamment la lucili boucher en Amérique grâce à cette technique donc l’idée c’est très simple l’idée c’est vous
Prenez plein de mal qui sont stérilisés et vous les relâchez vous espérez que ils vont se reproduire avec les femelles les femelles étant ayant en fait pris du sperme de mal qui sont pas qui sont pas stériles en fait vont pas donner des ufs fiables et donc vous espérez comme ça
Diminuer la population c’est ça l’objectif c’est vraiment objectif de diminution de population voire éradication si c’est possible alors juste un petit mot pour dire qu’en fait par rapport à ce que j’ai présenté avant par rapport ce que je présenté avant stratégie volbakia on a une technique assez proche qui
S’appelle la technique de l’insecte incompatible donc ça ça revient au fait qu’il y a une un compéé cytoplasmique entre les mâles qui portent volbaca et les femelles sauvages c’est dire si on relâche des mâles qui portent volbaca en fait c’est comme si c’était une population stérile pour la population
Présente donc c’est une technique d’insecte stérile pardon technique qu’onppelle pas stérile mais incompatible bon ça pe prè la même chose euh et il y a un résultat qui est paru donc en 2019 alors ça fait date aussi un résultat assez important qui a fait date donc résultat pardon d’expérience qui a
Montré qu’effectivement donc là c’est quelque chose qui é ralisé en Chine euh qui a montré que donc que effectivement ils avaient une suppression qui était quasiment totale en faisant cette technique là alors eux ce qu’ils ont fait c’est qu’ils ont combiné les deux c’est-à-dire qu’ils ont pris des
Insectes qui portent plac et en plus ils ont stérilisé comme ça ils étaient sûr que ça marchait bien et effectivement donc il y a vous voyez en rouge en rouge c’est le taux de suppression que vous avez donc vous avez en bleu c’est une une zone une zone contrôle he une zone
Test et en vert c’est la zone dans lequelle ils ont fait les relâchers donc vous voyez que entre la la zone les relâcher commence à ce moment là entre la initialement où il y a peu pr prend entre la bleue et la verte à peu près les mêmes proportions de moustique à la
Fin vous avez toujours beaucoup de moustique en dans la zone bleue mais dans la zone verte vous en avez plus donc vous avez un taux de suppression qui est quasiment qui qui à plus de 90 %. voilà donc ça c’est un résultat qui a fait date alors qu’ a été un peu donc
C’est en 2019 et vous savez qu’après 2019 il y a eu un petit il y a eu pas mal de retards pour les entomologues ils ont notamment les épidémiologiesques ils sont dû s’arrêter un peu pendant quelques temps et ils ont repris après euh donc voilà ça c’est donc pour dire
Que cette technique la technique de la se la sex stérile hein donc elle a été utilisée pendant longtemps sur pas mal d’insectes et pour les mousiqu elle commence vraiment à à se mettre en place et à essayer de de se de de se de se péréniser euh voilà donc moi j’ai dit
Donc regarder ces deux problèmes je vais présenter juste quelques petits résultats quelques travaux mathématiques qu’on a fait sur ces problèmesl pour la première donc essentiellement moi je vais me placer sur l’aspect spatial donc l’idée c’est que les gens ils ont utilisé ces techniques très localement et donc la question qu’on se pose c’est
Comment est-ce qu’on fait si on fait des reches localement comment on fait pour essayer d’étendre à des grandes zones estce qu’ils arrivent à éliminer enfin à agir sur certains petites Carti et la question c’est comment ce qu’on va faire hein est-ce qu’on peut réussir à étendre
Sur de grandes zones euh il y a un petite question aussi d’optimisation donc je vais y venir alors tout d’abord donc la première technique euh alors donc on a présenté on a proposé pour ça un modèle donc un modèle assez simple hein vu qu’on va faire des oness étudier
Quelque chose on a besoin d’un modèle mathématique donc on a proposé un modèle assez simple qui en fait un modèle assez proche de plusieurs modèles qui existent déjà qui ex dans la littérature donc un papier de Fenton un papier de Shan and Kim en Australie et hug and Britton on
Est en Angleterre qui ont déjà fait des choses assez proches donc on a près un truc qui est à peu près euh qui étend pe un peu leur résultat l’idée c’est la suivante c’est de prendre juste un modèle très simple en qu on a que deux populations une population qui porte
Volbakia une population qui porte pas volbakia alors celle qui porte volbakia je vais l’appeler en I pour infecter et celle qui porte pas volbakia nu U pour un infectide donc ça diffuse et euh bon on a la mort on a la fécondité et bon capacité environnementale donc donc
Alors si vous regardez la première équation c’est très simple he c’est juste j’ai un taux de fécondité et j’ai une croissance logistique 1 moins la popation totale sur k avec ma capacité environnementale moins un tau de mort très simple c’est le modèle le plus simple qu’on peut imaginer pour ce genre
De population donc c’est juste c’est c’est juste une une équation de type ficher avec croissance logistique euh pour la seconde équation donc il y a un petit terme qui va changer c’est exactement la même chose s que j’ai un terme qui va changer qui est celui-là
Alors celui-là il vient de où il vient du fait que vous avez l’incompatibilité cytoplasmique qui fait que lorsqu’un moustique ne porte pas volbia s’accouple avec un moustique qui porte volbia ça pas être possible incompatible du coup on va rajouter la probabilité que la rencontre se fasse entre deux Mousti qui portent volb
Donc la probabilité de rencontrer quelqu’un qui porte volbia qui porte pas c’est nom de N porteur sur le nombre total de My donc nu sur ni + nu voilà donc on rajoute ce terme là et donc voilà c’est une très simple un système très simple d’équation de réaction
Diffusion et donc on va regarder alors donc donc comme j’ai dit il y a il y a des modèles assez similaires qui ont été présentés dans la littérature ce qu’ils ont comme caractéristique comme caractéristique c’est modèle c’est que les états d’équilibre sont les suivants il y a le premier état
D’équilibre deux états d’équilibre stablebl qui sont soit tout le monde porte soit personne ne porte volbakia donc personne ne parle volbakia c’est si on fait rien d’accord tout le monde porte volbakia c’est si on agit et que on arrive à remplacer la population il y a aussi deux autres équilibres qui sont
Instables donc bon 00 qui est instable al ça c’est normal si c’est on nurait pas de M donc ça serait la question se poserait pas et il y a aussi deséquipes de coexistance entre les deux qui est aussi instable alors vous avez portrait de phase un portrait de phase très
Classique qu’on trouve là je vous donn des valeurs normalisé donc voilà et donc face que l’on trouve ici il est il ressemble à ça donc instable instable stable et stable voilà donc nous notre premier première chose qu’on a fait c’est d’essayer de de se ramener à quelque
Chose un peu plus simple éviter un système ramener une poisson scalaire et pour ça l’idée qu’on a a eu c’est de se dire qu’en fait la fécondité est très forte hein vous savez que les les les Mousties vont prre énormément d’ux et donc on va toute fécondité on va
Supposer qu’il est de l’ordre 1/ Epsilon donc si on fait ça on suppose que c’est l’ 1/ Epsilon donc on fait ex je reprends les mêmes équations sa que j’inttroduis un Epsilon ici et ici je fais t Epsilon vers 0 donc sur la première équation sur sur chacune des
Équations vous voyez que vous avez un surepsilon en facteur de 1- en + N sur k donc naturellement on s’attend à ce que ni + nu soit égal à K plus quelque chose de l’ordre de Epsilon bon donc ce qu’on va faire c’est qu’on va introduire le petit le petit quelque
Chose de l’ordre de Epsilon je vais l’appeler Epsilon FO petit n donc voilà il est là EPSIL pour petit n enfin donc petit n éep 1- n + N sur K et je introduire une nouvelle variable qui est P donc qui a la fraction alors fraction des infectés hein donc c’est ni
Sur ni + nu c’est la fraction desésinfecté donc autrement dit manière de dire c’est si P é= 1 tout le monde porte VO Bak si P é= à 0 personne ne porteak voilà euh donc on fait un petit calcul he on reprend l’équation on a une nouvelles variables on fait un petit
Calcul tout simple et on obtient que je vous épargne et on obtient donc un nouveau système satisfait par petit N et petit P qui est le système suivant un système de réaction diffusion donc j’ai mis en rouge l’epsilon pour qu’on voit bien ce terme Epsilon et donc on voit
Ici 1 sur Epsilon devant la première équation ce qui fait que on s’attend à ce ou là pardon excusez-moi j’éta un peu vite j’étais très vite on s’attend à ce que quand Epsilon tend vers 0 ce terme là tende vers 0 ce qui veut dire que n
Tend vers enfin devrait être égal à la limite hein si on a à montré qu’on a une limite égale à ça divisé par ça donc c cette quantité là donc on s’attend à ce que N converge vers une certaine fraction de P euh et je euh oui voilà et dans l’autre
Équation pardon dans l’autre équation quand Epsilon tend vers 0 donc on a un Epsilon en terme en facteur du terme de de gradient là donc ce terme là il va disparaître on s’attend à ce qu’il disparaisse à la limite et donc on va se retrouver avec DTP moin la pass P est
Égal à quelque chose avec ici vous remplacez n par cette expression là et ça vous donne l’équation qui est ici juste un petit remplacement une un petit calcul algébrique tout simple et on obtient que à la limite normalement P devrait converger vers la solution de cette
Équation alors donc on a montré un ce résultat là on a montré rigoureusement que c’était vrai qu’on pouvait passer à la limite bon les techniques sont assez classiques he c’est ce qui est difficile c’est de trouver une estimation d’énergie une fois que vous avez l’estimation d’énergie vous faites des
Méthodes de compacité et ça marche vous pouvez passer à la limite donc je vous ai parlé calcul he je dis juste que voilà ce qui nous intéressait c’est qu’à la fin on pouvait dire qu’on pouvait réduire notre système de deux équations à juste une équation scalaire petite remarque C équation
Scalaire en fait avait été introduite quelques années pas mal d’années avant par Barton et turelli ils avaient juste introd cette équation là pour étudier c le premier à avoir étudié la prtion spatiale donc Bartol c’est Nil Barton et turelli c’est Michel turelli qui est vraiment un de ceux qui a l’origine de
La méthode volbakia trop de questions euh donc là la modéisation incorpore un la oui ce qui veut dire une propagation à vitesse infini oui euh est-ce que le D est petit pour compenser cela ou le D est de est assez petit il est de 0,01 euh j’ai pas j’ai
Pas mis ah j’ai pas mis ici parce qu’il y a pas oui c’est vraiment les les moustiles se déplacent très peu he ce que j’ai dit c’est c’est vraiment très très très faible donc c’est donc c’est l’ordre 10- 2 oui j’étais un peu choqué par un au
Contraire bien sûr mais si tu as un coefficient trètit c’est un coefficient très oui on a pris des coefficients qui sont lordre on a quandême cette dispersion là qume même si c’est pas enfin donc il y a plusieurs phénomènes de effectivement comm vous signé il y a plusieurs phénomènesénomè pourquoi ça
Arrive dans un pays c’est essentiellement dû à au transport mais dans un cas d’une ville ou dans dans un endroit où il y a beaucoup de la dispersion est très importante quand même dans un quartier lo non linéire pour pour avoir justement alors on peut
J’ai jamais vu de modèle sur mi pour ça euh mais j’en ai pas vu mais effectivement on peut donc c’est une première approximation l’autre question c’est que toutes les règles du jeu entre guillemets pour les MTI que tu a présenté sont totalement déterministes oui et et et c’est un peu surprenant
Dans le monde du vivant où il y a beaucoup plus d’aléa et d’incertit c’est vrai ça c’est vrai euh le problème c’est que si on rajoute plus on rajoute de choses plus ça devient compliqué à analyser et euh donc donc là il y a déjà pas mal de complexité et si
Après il y a un moment où c’est savoir quelle était la du point de vue biologique est-ce que c’était vraiment des lois 01 ou où il y a beaucoup de il y a beaucoup de variance non il y a de la variance mais effectivement dans une première approximation les biologistes se
Satisfont très trs beaucoup de de ce genre de modèle qu’ils ont voilà donc c’est B donc je disais donc donc on est on a réussi donc on a montré qu’on pouvait réduire le système à quelque chose de très simple et ce qui est intéressant c’est que ces question là
Connait très très bien depuis les années 80 les équations de réaction diffusion scalaire on les connaît bien on sait notamment que il y a des y a des ones de propagation hein donc euh donc vous savez que et en plus donc ici ce que je vouis dire le moins important c’est
Bistable ici vous êtes dans un cas bistable vous avez deux trois états d’équilibre 0 et 1 qui sont stables et thêta qui est instable donc vous êes dans le cadre bistable et dans le cadre bistable on sait que on a des zones de propagation et que ces zones de
Propagation se propagent avec une vitesse positive c’est-à-dire qu’on a invasion si seulement si l’intégrale de F est positive euh bon c’est un petit calcul très simple que je vous ai remis ici donc voilà ça c’est une nom de propagation ça se déplace à la vitesse c c est positif
Si seulement si alors vous vous prenez cette équation vous dites que je fais las que P c’est une fonction de X- CT dans mon équation ça donne CP prim- P ég F de P je multiplie par P prime et j’intègre donc vous avez C intégral de
P’e on change le signe aussi euh bon l’intégrale de P Prim P seconde c’est une dérivée exacte donc ça s’en va moins l’intégrale de f p x P qui est en fait l’intégrale de F donc en fait vous avez c le SIG de C c’est le même que le SIG
De l’intégrale de F ce qui est très intéressant là- dedans ça veut dire que on va avoir une propagation à vitesse positive si seulement si l’intégrale de F va être positive et l’intégrale de F c’est là où il y a toute la biologie he dans l’intégrale de F dans F la fonction
F vous avez la fécondité vous avez les taux de mort vous avez donc réduction de fécondité vous avez tous les paramètres biologiques qui vont rentrer dedans donc si par malchance votre inégrale de F est négative vous allez faire ce que vous voulez autant de relâcher que vous voulez vous aurez pas de propagation
Spatiale hein donc donc là c’est c’est foutu heureusement donc les les paramètres sont tels que ça marche et du coup on peut avoir la propagation spatiale donc la question qu’on se pose maintenant c’est comment fait pour donc on sait qu’on a on peut avoir propagation mais bien évidemment vous
Imaginez que si vous relâchez un moustique qui va porter V Baca vous aurez pas de propagation donc il faut la question qu’on va se poser c’est comment est-ce qu’on va faire pour réussir à initier cette propagation euh donc ça c’est des questions aussi que qui ont
Été bien étudié et donc on sait que en fait on peut trouver une famille de de solutions qui est telle que que si on est au-dessus de ces solutions initialement ou un certain temps après on va voir propagation hein donc il suffit juste de garantir qu’on est auudessus certaines solutions qu’on
Appelle des nous on appelit ça des bubble et si on est auudessus à ce momentl hop on va avoir invasion donc il faut juste réussir à faire ça euh donc là quelques élément de littérature he donc en fait on a des résultats sont plus précis que ça ce qu’on peut montrer
C’est que si on a une suite croissante de données initiales en fait il y a un seuil critique euh si je suis aessus de ce so critique là je vais avoir invasion si je suis en dessous je vais avoir extinction ça c’est des choses qu’on t’ montré depuis depuis les travaux de
Zlatos ça é étendu par pas mal de personnes euh donc Grégoire Nadin aussi fait pas mal fait récemment des choses sur ce genre de problème essayer de de trouver des de initial pour invasion pour garantir l’invasion dans le cabist stable euh donc là je juste présenter pour montrer un peu l’importance hein de
D’effectivement de bien répartir spatialement le problème c’est que si on prend la même quantité mais qu’on fait une répartition spatiale qui est différente donc ici on concentre tout sur une zone un peu petite alors que là on concentre met tout sur une zone un peu plus grande vous voyez que donc en
Bleu c’est de initiale vous voyez que très rapidement vous allez vers l’extinction dans le cas à gauche alors que dans le cas à droite vous allez vers la propagation même mieux que ça si je prends ce cas-là et que je suppose que je sépare un petit peu mes m en deux
Zones donc si ces deux zones là sont proches vous avez toujours invasion si elles sont éloignées vous avez extinction alors trouver le la distance optimale c’est une question qui est à ma connaissance toujours ouverte euh voilà donc par contre ce qu’on peut montrer aussi c’est que une fois qu’on
Sait que il suffit de garantir d’être audessus de certain certaine une certaine fonction une certaine voilà certain bubble pour garantir laavasion on peut montrer que on peut avoir grâce à un contrôle feedback on peut trouver une fonction de contrôle qui garantit que lorsqu’on agit pendant un certain
Temps sur un domaine assez grand on va avoir en on va avoir convergence vers la solution 1 c’estàd vers l’invasion totale de ma population qui doit remplacer la population existante voilà ensuite la question sur laquelle on s’est intéressé une fois qu’on a cette on sait qu’on a invasion on s’est
Intéressé à la question comment optimiser cette fonction de relâcher on sait qu’on a des moustiques on a à disposition une certaine quantité de moustique alors qu’on suppose on a des contraintes de production qui fait qu’en fait on a une quantité totale qui est qui est borné donc on a une contrainte
Et on va essayer de garantir de voir comment est-ce qu’on va faire comment on peut essayer de placer les les les les relâcher pour avoir le SU la plus rapide l’invasion donc on s’est donné donc quand on a ce genre de problème c’est un problème de contrôle optimal donc il
Faut se donner un coup une fonctionnelle de coup qu’on va essayer de minimiser et des contrainte alors la fonctionnelle de coup qu’on va minimiser on a choisi celle-là donc j’ai repris ça c’est le modèle que j’ai V initialement c’est le modèle initialement la seule chose que j’ai bon j’ai simplement écrit condition
Deain en plus parce que je pas écrit avant mais donc voilà ce modè qu’on avait initialement et ce que je dis c’est qu’initialement j’ai pas de moustique infecté qui porte volbaca donc du coup je suis à l’équilibre sans volbaca et ce que je vais faire c’est
Que je vais relâcher donc je relâche ici ici hein je relâche des ni et j’en vais en relâcher donc avec une fonction qu’on doit déterminer et je vais essayer d’en relâcher de telle sorte à ce que ben je minimise cette quantité là c’està-dire qu’au temps final au mont temps lequel
Je me suis fixé mon objectif au temps final je dois être enu doit être le plus proche possible alors au sens moindre carré moindre carré c’est des choses qu’on qu’on pr qu’on aime bien en optimisation donc au sens moindre carré nu plus proche possible de zé et ni do
Être le plus proche possible de son équilibre qu’on a appelé ni étoile ni W étoile donc on a des contraintes que est borné et bien sûr la quantité de production totale est limitée voilà donc si on essaie de résoudre ce problème là alors première chose qu’on a fait bien
Sûr c’est de se dire ben on va essayer de réduire donc d’essayer de passer du système à l’équation scalaire donc on peut montrer qu’on peut le faire hein donc encore une fois c’est juste une asymptotique passager à la limite euh donc c’est donc les calcul formelles
C’est les mêmes que je vous ai déjà fait hein donc la seule différence c’est que cette fois-ci vous avez un U en plus donc ça va faire intervenir une fonction G qui va qui va apparaître ici mais sinon les calcules sont exactement les mêmes euh et donc on a convergence et du coup
On peut s’intéresser uniquement à ce problème de relâcher enfin à ce problème sur cette sur cette population sur cette par équation scalaire ici euh et donc essentiellement on n pas réussi à montrer grand-chose on a un peu déçus c’est que nous ce qu’on a réussi à montrer pas vraiment caractérisation ce
Qu’on a réussi à montrer c’est que je crois que j’ai donné la référence oui c’est en bas là donc ce qu’on a réussi à montrer c’est que essentiellement bah il existe une solution ok enfin il existe un optimum bon très bien on sait même pas s’il est unique en tout cas il en
Existe un et ce qu’on peut montrer c’est que les solutions constantes c’est des optimas locaux alors bien évidemment c’est pas global tout le temps mais parfois ça l’est alors quand est-ce que ça l’est ça l’est pas alors on sait alors ce qu’on sait c’est qu’effectivement ce qui va être
Important c’est la taille du domaine si le domaine est petit bien évidemment euh c’est on va faire des on peut faire des relâchés homogènes partout ça marchera très très bien parce que le domaine est suffisamment petit si le domaine est très grand bien évidemment si vous faites des relâchés partout vu que vous
Avez une contrainte de de de production vous avez un nombre limité de moustique si vous faites relche homogène partout vous allez mettre très peu et donc si ça vous mettez très peu ça va pas marcher voilà et donc donc ça c’est le cas donc on calcule les optimaux hein ça c’est
Les optimos qui sont constants dans lequel alors quand bien sûr donc quand on a le domaine qui est suffisamment petit ou alors le nombre de Mousti qu’on a suffisamment grand c’est ce cadre là et euh dans le cas où euh on a pas assez de moustique ou leend domaine trop grand
Euh bah là vous voyez que donc soit on les met au centre soit on les met sur les côtés euh alors on narrive pas très bien à savoir pourquoi euh qu’est-ce qui fait différence entre les de on pas vraiment réussi à caractériser bon voil ce point de vue donc on ESS on va
Essayeraméliorer unes résultats en tout cas on auss on arrive à trouver on arrive à montrereffectivement dans ceadre c’est pas les constantes qui sont les solution donc ça cé les travaux sur volbia maintenant je m’intéresser donc dans maè partie dernière partie à tout ce qui concerne la deuxè technique que
Je vous ai présenté la technique de l’insect stérile alors pour faire un petit peu d’historique pour commencer donc j’ai dit que c av intr dans les années 50 donc par deux Américains euh à l’époque ce qui ce à quoi il s’intéressait c’était à lucili boucher entre autres
Mais surtout la lucili boucher donc il faisait des ravages dans dans dans les élevages de bétail aux États-Unis et en Amérique de manière générale et ce qui est intéressant c’est que la technique qu’ils ont fait pour essayer d’éliminer partout c’est de commencer par une région passer à la suivante la suivante
La suivante et cetera et destendes comme ça donc au fur et à mesure vous avez et bon pour éviter que ça revienne ils ont mis une barrière permanente ici à ce niveau-là pour essayer d’empêcher la réinvasion euh et voilà toujours c’est toujours implémenté dans certains endroits donc
Bien évidemment les pays les plus riches ont été épargnés en premier et les autres sera peut-être plus tard euh alors donc pour euh pour ce qui nous concerne pour le moustique donc on prend un modèle al cette fois-ci c’est un modèle un peu plus compliqué parce que
Dans la dans ce que je ai présenté avant euh bah là en fait on avait supp suppos que les m et les femelles est à peu près à peu près les mêmes on peu près population de Mle et de femelle donc on a juste une population infectée une
Population non infecté alors pour les MTIC stér c’est un peu plus compliqué de de pas distinguer mal et femell puisque essentiellement B on relâche des malles donc il faut faire un moment il faut avoir des des des modèles qui sont sexués voilà donc donc on a proposé un
Modèle suivant alors le modèle ici donc il vient d’un papier qui a été fait par donc strugare il est en thèse au laboratoire jacquouons donc par Ben et moi et HERV bossin c’est un entomologiste qui travaille à l’Institut Louis Malardé qui est situé en Polynésie française et Yv Dumont ilossirade actuellement à la
Réunion donc c’est c’est des personnes qui ont qui font vraiment des des choses sont vraiment qui utilisent vraiment ces modèles là ENF en tout cas qui font des des relâchés et qui utilisent vraiment ces techniques là au quotidien pour et limiter la population de moustique donc ici on a on a fait un
Modèle sorte de modèle structuré en en plusieurs compartiments donc tout d’abord on a un compartiment que j’ai appelé e e pour E mais en fait ça représente tout l’État aquatique donc c’est ce compartiment là un compartiment m et F donc m c’est mal F c’est femelle bien évidemment ms c’est les mostic
Stéril qui sont relâché avec une fonction que j’ai appelé u donc l’équation de relâché est toute simple pour l’instant je néglige l’aspect spatiale je rajouterai juste après euh donc pour les œufs vous avez les œufs qui sont produits par les femelles euh donc on a un terme pour limiter toujours
Pareil une croissance logistique donc il Meur et ils vont émerger pour donner soit des mâles soit des femelles avec un sexe ratio que j’ai noté r donc on a un terme de mort ici naturel un de dégradation naturelle pour les les mâles et les femelles alors pour les femelles
Donc ce que vous avez c’est donc d’une part on a ce terme là je expliqu un petit peu après mais d’abord ce terme là donc ce terme là il nous dit quoi il nous dit que les femelles vont être fécondées par un mâle donc qui n’est pas
Stérile si si bah la rencontre se fait avec un mal qui n’est pas stérile donc c’est m sur M + MS vous me demander pourquoi j’ai un gamma alors gamma il est là pour mesurer en quelque sorte la compétitivité des mals stériles parce que on s’aperçoit qu’en fait les mâles
Stériles parfois les femelles ont tendance à préférer les mâles qui sont pas stériles plutôt que les mâles stériles sont capabl de repérer et donc ils ont tendance à à préférer parfois les males stéril plutôt que les mal pas stéril donc on a un petit terme de de de
Préférence qui est ici alors si gamma ég à 1 il y a pas de préférence et bien sûr si gamma est plus grand que 1 vous avez une forte préférence pour les mal euh qui sont qui sont pas serrés voilà donc euh et donc le terme ici exponentiel en
Fait ce terme-là essentiellement euh il dès que la population est pas petite il est négligeable parce que exponentiel de moins quelque chose de grand donc ça devient tout de suite zéro quoi donc euh c’est c’est négligeable mais euh il va intervenir seulement pour les petites populations et comme on cherche à
Éliminer il y a un moment on va avoir des petites populations voilà donc le modèle c’est le suivant e MF et IMS euh donc juste pour dire hein donc euh là je donne les résultats qui viennent de ce cet article- là hein donc juste pour dire que donc on peut montrer que
Effectivement lorsqu’on fait pas de relâcher il y a deux équilibres positifs il y a zéro Z0 c’est toujours un équilibre mais voilà 0 c’est un équilibre et il y a deuxqu positifs un équilibre e moins un équilibre plus et E+ est localement stable donc c’est c’est l’équilibre dans lequel on est
Naturellement donc avec une population qui est bien établie et en plus suite ce qu’ ce qu’on peut montrer c’est que si on relâche donc si on prend une fonction donc on prend constante hein pour faire juste pour faire pour obtenir des résultats assez assez précis donc si on prend une fonction suffisamment grande
On peut montrer qu’il y a plus qu’un seul équilibre qui est stable c’est l’équilibre où on a extinction totale donc on a plus de on a plus de plus de plus de plus de malâle plus de femelle et bon juste les mal séril on en a parce
Que on les relâche mais voilà on a plus de moustique mais bien sûr il faut prendre u suffisamment grand mais à Constant relâcher de manière constante bon comme j’ai dit moi ce qui m’intéressait c’est la propagation spatiale donc ben je rajoute toujours pareil de la diffusion
La diffusion dans les Mâ les femelles et les Mâ stériles alors ce qui est intéressant pour système c’est qu’il est monotone donc PEP de comparaison il est monotone suivant l’ordre induit par donc coopératif pour les tris premières et puis compétitif pour la dernière bien évidemment puisque on va mettre de
Stérile moins il y aura de FEM de M puisque en fait sont là pour justement essayerim la population principe de comparaison et grâce à cette monotonie ce qu’on peut montrerj dans un premier temps c’est que si on met u é= à 0 donc on néglige on a
Pas de mal stérile et ben en fait on a des travelling web c’estàd qu’on a l’invasion c’està-d que la population va envahir naturellement tout l’environnement voilà donc la première question sur laquelle on on s’est intéressé c’est de savoir est-ce qu’on peut bloquer ces ondes on a propagation
Et en fait on va dire donc c’est un peu pour la question qui est qui est relié à ce petit truc qui en qu’on appelle barrière permanente donc est-ce qu’on peut réussir à empêcher les insectes qui sont ici à remonter et à revenir dans les endroits dans lequels on a on en a
Pas c’est première question donc c’est la question de mise en place d’une barrière est-ce qu’on peut montrer qu’on a existence d’une barrière donc là d’abord je vous montre des de simulation numérique pour vous donc l’idée c’est la suivante he c’est de dire je vais implémenter ma méthode sur une certaine
Zone tampon donc zone tampon tout simplement c’est une zone que j’ai appelé ici 0 l faut caractéristique d’un certain d’un certain domaine 0 l je vais implémenter ma méthode sur cette zone tampon je vais relâcher suffisamment de moustique stérile dans cette zone là est-ce que ça va bloquer la propagation
Euh donc voilà vous avez plusieurs simulations numériques qui vous dit que dans ce cas-là bah non ça marche pas ce CASL ça marche pas mais si on augmente si on prend donc UB suffisamment grand ben vous on a réussi à bloquer et empêcher que en fait les les les
Moustiques enfin les insecte puisse traverser la barrière donc ça c’est une simulation prise avec ces dolés donc comme donc voilà tout à l’heure la la la question av été posée he combien vaut le cent diffusion ici il est très petit he 0,01 bon ça n’empêche qu même un C
Diffusion très petit hein vous pouvez avoir quand même euh les mes qui vont franchir les zones barrières euh si jamais on nimplémente pas assez bien cette méthode donc on peut bloquer on peut bloquer alors mathématiquement comment on fait pour montrer ça hein l’idée du blocage c’est montrer l’existence d’une solution stationnaire
Je rappelle qu’on a de la comparaison donc si on arrive à montrer qu’on a une solution stationnaire une solution stationnaire qui bouge pas bah si on est en dessous on va rester en dessous donc forcément on va pas réussir à franchir la barrière donc on crée une solution stationnaire avec faut créer une
Barrière et donc bah tout le problème c’est de réussir à montrer l’existance d’une solution comme ça alors on peut le montrer hein donc on peut montrer que pour l suffisamment grand il existe un Ubar suffisamment grand pour lequel on a une barrière donc on peut montrer l’existance d’une barrière ça c’est le
Premier point le deuxème point c’est une fois qu’on a euh réussi à bloquer est-ce qu’on peut faire mieux que ça hein donc vous voyez là vous avez votre onde de mostique qui est là qui va grandir qui va arriver pouf et là donc vous avez la
Zone Z de relâcher ici ils sont bloqués ici vous avez pas ici ils sont bloqués et donc ce qu’on peut la question qu’on se pose c’est est-ce qu’on peut réussir à les repousser he en déplaçant ma zone en agissant en agissant est-ce que je peux réussir à les repousser donc ça c’est la
Deuxième question qui nous a intéressé l’idée c’est bien sûr d’étendre la méthode sur des sur des zones suffisamment grandes et euh ou là je excusez-moi et donc pour repousser cette cette pour faire ça donc ce qu’on va faire c’est qu’on va se prendre la fonction indicatrice où je fais mes
Relâcher je vais la bouger à une vitesse constante et on se pose la question est-ce qu’on peut avoir des ondes hein comme ça qu’on va alors c’est des ondes qu’on va initier hein c’est des ondes qui sont forcées donc qu’on peut forcer à l’existence d’ondes qui vont se
Déplacer donc ici donc pour l’instant ce qu’on a fait donc premier résultat mais qui on est en train d’étendre c’est dans un modèle très simple dans lequel j’ai uniquement regardé la population de femelles et j’ai mis tout le reste à l’équilibre donc on regarde juste la population des femelles et on a la
Population des males cériles qui sont relâchées euh donc et on ce qu’on fait c’est qu’on relâche mais on bouge l’endroit où on va relâcher avec une vitesse c et donc la question qu’on se posose c’estce qu’on a existance d’une solution d’une onde donc si j’ai j’utilise lzat que c’est une
Fonction qui dépend de X- CT ça me donne cette équation là donc que l’existance d’une solution pour ce genre d’équation alors on arrive à montrer que oui hein je vous montre le résultat le résultat c’est que alors bon il existe une certaine fonction qui dépend de C et de
L mais pour toute C pour n’importe quelle vitesse je peux me déplacer à n’importe quelle vitesse si euh si j’ai u enfin il existe une fonction pi he telle que si j’ai u barre plus grand que pi à ce moment-là j’ai invasion et si u est plus petit ben j’en
Ai pas j’ai pas de solution et en plus dans ce cas-là est-ce en plus qu’on peut montrer c’est que pi la fonction fameuse fonction pi ben bien évidemment plus elle va être petit plus il va falloir relâcher une mque ça va tendre vers l’infini quand on a prend une zone plus
Petite et si on prend une zone très grande on jusqu’à suffisamment grande en fait on a une bande inférieure qui est qui est celle-là puis infinie euh voilà donc ça c’est un résultat qui est paru cette année et donc comme je dis on est en train de
L’étendre donc pour illustrer h par pour illustrer simulation he donc voilà vous avez une zone vous déplacez votre zone donc vous avez les Mousti qui arrivent à la zone et après quand vous avez déplacé la zone ben ils vont suivre et ils vont se déplacer avec la zone et donc c’est
Ici c’est si vous si vous n’avez pas donc ici dans ce CASL pardon cas à droite c’est le cas où on a relâché suffisamment on a on a relâché suffisamment et dans le cas à gauche cas on n pas relâché suffisamment et donc en fait ça va resessurgir ça repart
Derrière donc voilà donc cétait pour illustrer le fait que donc cette stratégie là ça s’appelle le Rolling carpet donc tapis roulant en français c’est une stratégie qui à l’étude actuellement dans plusieurs endroits qui veulent essayer de de mettre en place effectivement pour réussir à essayer de d’éliminer les
Populations autre que dans une petite partie de d’une ville vraiment pour éliminer sur des grandes zones c’est la stratégie en fait parce que vraiment la question qui se pose les omologes actuellement c’est de savoir comment on peut étendre des domaines insuffisamment grand les techniques que l’on a euh
Alors voilà donc je termine juste par une petite conclusion donc je vous ai présenté deux stratégies sur lesquelles j’ai on a j’ai présenté quelques résultats mathématiques que l’on a que l’on a fait hein donc avec avec les avec les collègues donc certains sont ici euh donc bien évidemment il y a plein de
Questions qui restent ouvertes euh euh donc doncavant euh donc à chaque fois j’ai essayé de réduire mon système à une équation scalaire parce queon a plein de choses sur les équations scalaires qu’on a pas sur les système et bien évidemment on aimerait bien pouvoir faire les
Choses sur les systèmes qui sont un peu plus proches de de la réalité et puis bon c’est très intéressant aussi point de vue mathématique et étudiier euh pour l’instant on a pas beaucoup de résultats euh avec les hétérogénéités et on sait que c’est important notamment les hétérogénités de saison hein puisque
Mousque essentiellement dans nos pays c’est saisonnier euh et ensuite éogité spatiales he parce que la spatialisation va aussi très important lesjés dans l’espace vont être très importantes euh et euh donc pour les optimum comme je vous ai dit le résultat que j’ai présenté en contrôle optimal pour l’instant il est pas très
Satisfaisant on aimerait bien avoir une description un peu meilleure que ce qu’on a notamment prendre en compte les hétérogénéités comment faire où agir en fonction des hétérogénéités c’est ça la question c’est vous avez un milieu qui est très hétérogène où est-ce qu’il faut mieux agir he sachant qu’on a des
Hétogités spatiales à quel endroit c’est le mieux à quel endroit on doit faire la meilleure action euh voilà donc ça ça ça conclut alors voilà je remercie attention c’est c’est juste pour illustrer le fait que j’ai participé quand même une fois à un terrain un travail de terrain j’ai relâchéi quoi ça
Ressemble c’est une boîte comme ça vous ouvrez et vous êtes très habillé parce que sinon ben sinon on est piqué voilà merci [Applaudissements] beaucoup [Musique]