“La symétrie dans tous ses états : les travaux révolutionnaires de Sophus Lie” par Martin Andler

Chacun sait ce qu’est la symétrie pour un objet, un monument, ou une figure… Les mathématiciens ont progressivement étendu la notion de symétrie d’une figure pour désigner toute transformation au terme de laquelle on obtient la même figure. Par exemple, on peut faire tourner un triangle équilatéral de 120°, et on obtient le même triangle. A la fin du XIXème siècle, le mathématicien norvégien Sophus Lie étendait la notion de symétrie à des situations où il existe une infinité continue de symétries d’une figure, et inscrivait cette nouvelle notion dans le contexte de la théorie des groupes qu’avait fondée Évariste Galois un demi-siècle auparavant. Bientôt baptisés « groupes de Lie », les nouveaux objets sont devenus centraux dans bien des domaines des mathématiques, et ont de multiples applications, notamment en physique. C’est cette aventure qui sera présentée dans la conférence.

Conférence du cycle “Un texte un mathématicien” de la Société Mathématique de France à la Bibliothèque Nationale de France le 17 janvier 2024.

Bonsoir et bienvenue à tout le monde bienvenue à toutes celles et ceux qui ont braver les intempéries pour venir écouter des maths ici à la BNF en particulier on a le grand plaisir d’accueillir quatre lycées aujourd’hui le lycée des frambourgeois le le lycée Germain le lycée Jul ferry de Paris et

Le dernier arrivé le lycée épin de viter on pense également au lycées qui nous suivent à distance en particulier le le lycée Louis Armand et le pauvre lycée bless Pascal qui n’a pas pu venir à cause des intempéries cet exposé inaugure la saison 2024 du cycle un texte un

Mathématicien pour celles et ceux qui ne connaît pr pas déjà ce cycle de conférence elles sont organisées en collaboration par la BnF donc vous connaissez c’est les lie le lieu où vous êtes merci en particulier à Richard DAO et à Line harartman qui organise ce cycle animat l’association une

Association qui gère les mathématiques en dehors de l’école représenté ici par Guillaume SAES et la société mathématique de France qui est une des sociétés savantes pour les mathématiques en France représenté ici entre autres par marieclaude Arnaud et Claire rart ce qui doit être quelque part euh ce cycle a des partenaires en

Particulier merci et la Fondation bless Pascal et au merci au magazine tangente alors malheureusement le le magazine tangente est endeuillé par la perte de Gill Cohen qui est décédé subitement en fin d’année dernière il a œuvré à la tête du magazine qu’il a créé d’ailleurs euh pendant de

Nombreuses années et c’était un acteur majeur de la diffusion des maths en France alors cette nouvelle saison commence avec un invité très particulier Martin andleur Martin est mathématicien et professeur émérite à l’université de versailles- Saint-Quentin si le nom a pas changé ça ch Paris il faut rajouter Paris saint-clay Paris Versailles

Saint-Quentin Paris saint-cl d’acc euh ses recherches il il a soutenu sa thèse d’État en 1983 qui avait pour titre la formule de Plancherel pour les groupes algébriques complexes donc si vous voulez plus de détails demander à Martin à la fin de la conférence ces recherches en mathématiques porte sur les groupes

De lit et leur représentation avec des points de vue variables analytique algébrique et cetera et il a aussi effectué des recherches en histoire des mathématiques sur la période de 1870 à nos jours Martin a également eu une vie académique très remplie il a été vice-président de la Société

Mathématique de France de 97 à 99 et surtout il est très connu comme étant le président de l’association de l’association animat qu’il a créé entre 1998 et 2017 puis vice-président de 2017 à 2022 et il a également créé le cycle un texte un mathématicien donc ce que vous regardez aujourd’hui en 2005

Donc il y a exactement 19 ans il en était responsable jusqu’en 2015 donc 10 ans donc ça fait une belle longévité je sais pas si je durerai aussi longtemps Martin à toi la parole merci merci au au comité de de m’avoir invité bonjour à à à toutes et tous donc je vais vous

Parler de la symétrie dans dans tous ces états et je vais commencer par vous montrer euh de de l’épidopterère c’est comme ça qu’il faut dire papillon c’est une gravure qui est extraite d’un livre d’un certain Lucas du 19e siècle qui fait partie qui est disponible sur Galica à la Bibliothèque nationale de

France je vous recommande beaucoup [Musique] Galica donc pour pour enfoncer le clou je montre l’axe de symétrie de ces deux papillons je montre aussi oups les le fait je soulligne la la symétrie je vais vous montrer maintenant un autre un autre euh objet enfin une autre photo où on

Voit la symétrie donc c’est le château de Versailles donc le château lui-même n’est pas entièrement symétrique le jardin de Le Nôtre lui l’ complètement et euh et j’ai fait j’ai mis l’axe de symétrie et je soulligne aussi la symétrie qui est là donc ce qu’on voit c’est que la

La symétrie c’est quelque chose qui existe dans la nature et qui existe aussi dans la culture beaucoup beaucoup de d’objets euh construits par les hommes ont présente une une symétrie Notre Dame euh et puis euh euh il y a un autre type de de symétrie la symétrie par rapport à

Un plan alors là j’ai préféré vous vraiment pas donc ça c’est le bébé qui découvre son image dans le miroir hein c’est un une un stade très important du développement psychique d’un d’un bébé ou alors euh c’est une gravure de Daumier représentant Narcisse s’admirant dans le le reflet dans son

Reflet son reflet dans l’eau c’est aussi une gravure qui est disponible sur sur galiga donc la symétrie c’est quelque chose de très simple d’ailleurs j’ai fait une vérification c’est au programme du cycle 1 dans l’enseignement primaire donc vous devez tous connaître ça très très bien alors je précise avant de

Parce que ça va devenir un peu plus compliqué ceci c’est pas un cours c’est une conférence euh dans une conférence on on comprend pas forcément tout mon mon but c’est de faire passer quelques idées quelques idées donc c’est il faut pas comprendre ça comme un cours et

C’est une conférence qui va se couvrir beaucoup beaucoup de concept mathématique assez compliqué et donc les spécialistes il y en a quelques-uns ici vont être absolument horrifié par les simplifications que que je vais faire et il apprend aussi quelques historiens qui sont ici et qui vont être tout aussi

Horrifiés par les simplifications que je vais faire parce que si je faisais pas des simplifications je ferais pas une conférence de 55 minutes mais une conférence de 55 he et je pense pas que vous auriez très envie bon donc la symétrie c’est simple non c’était simple puisque les

Mathématiciens vont s’en mêler et tout va devenir signific reltivement plus compliqué alors je vais commencer je vous montre un triangle pas très compliqué c’est un triangle équilatéral et dans un triangle équilatéral on peut montrer il faut pas que je m’éloigne trop de donc vous avez vu on a échangé les

Deux sommets l’orange et le et le jaune enfin il est jaune plus ou moins jaune le ver le vert en haut est resté fixe si on échange les deux sommet on échange aussi les deux côtés mais pour qu’on puisse voir il est plus facile de représenter juste l’échange l’échange

Des somms donc ça c’est clairement une symétrie une symétrie axiale et puis il y a une autre symétrie parce que si on prend ici non je pense c’est ce sommet là vous voyez il y a la même symétrie mais cette fois-ci par rapport au sommet orange et puis il y en a une

Troisième qui est la symétrie par rapport à l’ qui est ici qui échange la verte et l’orange donc en fait il y a pas une symétrie il y a trois symétries et puis si on fait une symétrie et puis ensuite une autre symétrie à votre avis qu’est-ce qu’on va trouver une

Symétrie non mais je pose des questions c’est pour que vous répondiez là c’est pas alors une symétrie ou bon vous voulez pas répondre tant pis bon on va regarder donc vous voyez je fais une première symétrie une deuxième symétrie je compare avec ce qui est à

Droite mais en fait ce que ça a fait c’est une rotation la composée de ces deux symétries ça fait une rotation et puis en fait si je fais une symétrie je compose les deux mêmes symétries mais en changeant l’ordre oups ben ça fait une rotation mais dans l’autre sens

Donc l’ordre dans lequel on compose est important en l’occurrence on dit que il y a il y a un phénomène de non commutativité alors c’est une question de définition on pourrait dire c’est une rotation on va en fait choisir comme on va le voir de dire que c’est aussi une symétrie mais

Dans un sens légèrement nouveau une une symétrie d’une figure c’est une transformation géométrique qui garde la figure elle-même complètement invariante donc elle peut échanger les sommet leséchange les côtés mais à la fin on a quelque chose qui est indistingable de la des finition initiale donc récapitulons le triangle équilatéral est

Conservé par trois symétries axiales il est conservé par deux rotations donc en tout il est conservé par 5 symétries alors non il faut ajouter la transformation identité celle qui ne bouge rien parce que c’est aussi une transformation qui conserve le évidemment qui conserve le triangle donc

En tout nous avons six symétries et elle forme ce qui s’appelle un groupe c’est le un des concepts fondamentaux de de cette conférence donc si on fait une transformation puis une autre comme on dit si on les compose on obtient encore une transformation encore une symétrie et toute chacune de ces

Symétries a une symétrie réciproque par exemple on fait une trans si on fait une rotation dans un sens mais c’est la rotation avec l’angle dans l’autre sens et puis comme on l’a vu l’ordre dans lequel on fait les symétries est important je vais donner plus rapidement

Un autre exemple le Do le Do descagone donc il y a une première symétrie par rapport à l’axe 61 je vais PCER à ça comme étant une horloge il y a une deuxème type de symétrie en faisant ici l’axe 6 30 12 30 bon donc je peux répéter cette chose

Là en prenant tous les toutes les droites qui passent par deux sommet opposés ou alors toutes les droites qui passent par deux qui qui passent par des médiatrices de deux sommets voisins en tout et si je compose et et il y a une un autre autre type de de symétrie qui est une

Rotation d’angle 30° en l’occurrence on a fait deux rotations ici d’angle 30° maintenant si on compose de symétries et bien ça a fait exactement la même chose donc ça c’est ce que vous avez vu ici ça fait la même chose que de faire une rotation puis là on fait les

Deux symétries dans le sens inverse et on fait la rotation inverse donc de la même comme pour le triangle on a une composée de deux symétries qui donne une rotation en tout le groupe de symétrie de dodecagone a 24 éléments 12 symétries et 12 rotations parmi les rotations il y a une

Rotation d’angle zéro comme et c’est donc la même situation que pour le triangle éculatéral maintenant on va donner des exemples en en dimension 3 donc je fais un peu de chimie pas beaucoup he enfin pour ceux qui aiment la chimie dommage pour ceux qui n’aiment pas la chimie rassurez-vous donc ça

C’est c’est la molécule de méthane on va pas parler du fait que c’est un gaz à effet de serre on va regarder juste sa structure géométrique donc là on l’a fait bouger dans toutes les directions donc au centre le le la boule verte c’est le carbone et les boules

Oranges et l’hydrogène si on fait tout bouger le centre reste si on permute les sommets le centre reste invariant donc du point de vue géométrique en fait on peut oublier le carbone qui est peut-être la chimiquement le plus important et juste regarder les sommets la la forme des sommets ça c’est c’est un

Tétraèdre donc comme on avait vu pour en dimension 2 il y a différentes rotation qui qui qui conserve ce ce tétraè là c’est on prend un sommet on prend la perpendiculaire vers le plan opposé et on fait tourner de de 120° on peut aussi prendre la droite qui passe par les

Milieux de de de deux côtés opposés on fait tourner de de 180° puis on peut aussi faire une symétrie par rapport à un plan donc on garde le ce ce ce côté est fixe et ces ces ces deux côtés sont sont échangés en tout et je vais pas toutes

Les détailler il y en a certaines qui sont un peu difficiles à comprendre géométriquement il y a aussi 24 transformations qui préservent le tétraère donc le groupe de symétrie du tétraèdre à 24 éléments comme le groupe de tétraèdre du dodcon avait 24 éléments mais en fait ces deux groupes on va pas

L’approfondir mais sont extrêmement différents donc la symétrie on l’a revisité on était parti de la symétrie habituelle symétrie par rapport à un droite symétrie par rapport à un plan on est arrivé à une vision très différente c’est que les symétries d’une figure sont les transformations qui la conservent et ces

Transformations forment un groupe donc on a complètement changé le le point de vue on a peut-être plus un point de vue dynamique c’estd on pense que une symétrie c’est une opération qui transforme une figure et à la fin la figure la figure est unchangé première moment de de question

Est-ce qu’il y a un moyen de déterminer le nombre de symmétries qui compos un groupe pour une figure donnée alors dans certains cas par exemple pour le triangle c’est 6 pour le thétraè c’est 24 et si on faisait l’équivalent d’un tétraère en dimension supérieure ça ferait par exemple on

Arriverait à 120 bon représenter un l’équivalent d’un tétra en dimension supplur c’est un challenge si sinon ça peut être une question compliquée par exemple si on prend un cube c’est un un exercice qui n’est pas absolument évident c’est de trouver toutes les isométries toutes les symétries d’un

Cube il y en a certaines que on peut trouver assez facilement d’autres qui sont d’autres qui sont plus compliqué donc c’est c’est c’est une question intéressante déterminer quand on a un objet déterminer l’ensemble de toutes ces symétries c’est c’est une question c’est une question intéressante mais pas

Pas évidente et qui à chaque fois il faut il faut bosser existerait-il une infinité de symétrie par rapport à en tro dimensions alors il y a des figures où il y a une infinitémétrie en fait c’est une très bonne question parce que c’est c’est de ça que je vais parler

Tout tout le reste tout le reste de la conférence avait de passer de un nombre fini de symétrie à un nombre infini de symétrie il y a plusieurs manières de le faire moi ce dont je vais parler c’est une certaine manière de une certaine manière de le

Faire bon on va passer à la suite donc l’inventeur des des groupes même qui a donné ce ce nom au concept qu’il avait inventé c’est évarist Gallois Evarist Gallois est né en 1811 il est mort en 1832 il n’avait pas encore 21 ans quand quand il est

Mort c’était un mathématicien on va y revenir c’était aussi un révolutionnaire il a participé pas à la révolution de juillet mais c’est de juillet 1830 mais s’est engagé euh juste juste après la Révolution juste après la révolution de Juillet du côté républicain euh il avait euh il a en janvier

1831 il a été expulsé de l’École normale supérieure où il était étudiant parce que à cause de ses activités révolutionnaires quelques mois plus tard il a participer à un banquet républicain il a fait un discours qui fait qu’il a été arrêté et condamné et emprisonné en juillet

1832 pour atteinte à la sécurité de à à la sécurité de l’État il est resté en prison jusqu’en avril 1832 il est avant de passer à aux mathématiques il est aussi au printemps 1832 il est tombé amoureux d’une femme il a une brève liaison avec cette cette

Femme cette femme il y a quelqu’un qui dans un discours a insulté la femme en question il a Galois l’a provoqué en duel et il est mort à la suite de ce duel donc c’est une triste terrible triste histoire il y a eu une des premières conférences du titleint texte

Mathématicien a été sur Gallois il pourrait y en avoir d’autres c’est un si j’ose dire c’est un bon sujet loi était aussi un mathématicien révolutionnaire par ses idées ces idées ont été peu comprises essentiellement incomprise de son temps pas totalement c’est-à-dire que les grands mathématiciens de son époque

Avaient compris que ce jeune homme avait avait des idées mais essentiellement elles ont été rejetées et de manière étonnante en fait il a soumis en 183 le 17 janvier 1831 donc jour pour jour il y a je vais me tromper dans la soustraction donc un peu

Moins de 200 ans il a soumis un manuscrit à à l’Académie des sciences qui n’a pas été qui n’a jamais été véritablement euh examiné donc alors il a eu une reconnaissance Postume vers 1845 en 1843 pour une partie en 1846 pour une autre il a été redécouvert par

L’Académie des Sciences et par des académiciens des sciences et notamment par Louville qui était un grand mathématicien de l’époque et qui a publié dans le journal de mathématique P et appliqué qui était le journal dont il était rédacteur en chef il a publié les les les quelques articles de les

Quelques articles que Gallois avait écrit dans ces avant de avant de mourir ces idées ont été Progressiv ement donc reconnu accepté étudié développé et en vers 1870 qui est le moment où ce dont je veux parler centralement commence elle commençait à être connue par un certain nombre de mathématiciens en

Europe donc qu’est-ce que c’est que la théorie de Gallois alors vous connaissez je pense tous ENF les les lycéens doivent connaître euh pour les autres peut-être vous avez vous avez oublié vous avez des souvenirs de vagues souvenir hein que les racine de l’équation AX2 + BX + C =

0 c’est donné par la formule qui est qui est là récemment j’ai deux fois écrit des formules fausses pour pour ça mais j’ai j’ai corrigé donc ça c’est la bonne formule alors évidemment la formule n’a de sens si que si le discriminant est positif et puis euh il y a des racines

Similaires pour la l’équation x³ + px + Q qui sont donné par ces formules-ci elles sont un peu plus difficiles à interpréter je vais pas marquer mais il y a aussi des formules du même type pour le degré 4 donc les formules qui sont ici les formules pour le degré 2 sont connues

Depuis très longtemps elles étaient certainement connu au 9e siècle euh à à l’endroit qui était la capitale mondiale des mathématique à l’époque qui était Bagdad euh les racines de x³ + px + Q ont été déterminées au 16e siècle par des algébristes italiens tartalia et

Cardon ils ont aussi fait le le le degré 4 euh et ensuite à partir du 16e siècle on s’est demandé mais est-ce que on peut avoir des formule du même type en degré 5 et on a essayé essayé essayé et sans succès vers la fin du 18e siècle des

Mathématiens qui ont soupçonné que il on on trouvait pas tout simplement parce que il pouvait pas y en avoir et en effet Galois démontre qu’il n’y en a pas en général en degré supérieur ou égal à 5 bon évidemment il y a des équations particulières pour lequel on a des des

Équations qui sont données par des formules de ce type là mais il s’agit de le faire en général en fait Gallois n’était pas le premier le faire il y avait eu Abel qui l’avait fait un petit peu avant mais Galois a développé une théorie beaucoup plus élaborée

Qui donne un critère qui permet de savoir dans quelles équations particulières de degrés supérieur ou égal à 5 il y a des solutions qui sont données par par des radicaux en fait le problème de savoir si des équations sont données ou pas par des radicaux n’est pas forcément nant en

Lui-même même s’il occupe beaucoup les les élèves de de première pour l’équation du du second degré en revanche cette comparaison entre est-ce que une se un problème à une équation à des racines et la la la théorie les groupes que Gallois a mise en évidence ce qui l’intéressait

C’est que il garder le groupe qui échange les racines d’une équation donc il y a un nombre fini de racines hein si une équation de degré n il y a n RAC et bien il y a euh un certain nombre de manières d’échanger les racines factoriel N et donc on peut

Échanger les racines il y a peut-être pas toutes les racines peuvent être échangées de la même manière mais il y a un groupe qui échange les racines et la théorie de Galois établit un lien entre la possibilité de résoudre une équation et euh et les propriétés de de ce groupe

Donc la théorie de Galois c’est quelque chose qu’on apprend en général en disons dans un cursus de math au niveau de de la première année de Master dans dans d’autres pays on fait ça plutôt mais enfin c’est clairement des mathématiques très avancées et il y a des gens qui

Travaille aujourd’hui encore sur la théorie de Galois alors qu’est-ce que nous retenons que les groupes ont été introduits par Galois pour la résolution des équations algébriques comme groupe de symétrie des équations et quand il voulait dire groupe de symétrie des équations c’est groupe de symétrie des solutions de de de

L’équation ces groupes comme on l’a vu au début sont aussi très utiles pour représenter pour étudier les symétries de certains objets géométriques mais l’intention initiale de Gallois c’était pas tellement ça c’était vraiment la résolution des équations et donc les symétries d’une d’une équation donc je rappelle juste les les exemples qu’on a

Donné de ces différentes de ces différentes symétries pourquoi les équations de Gallois es ont j’ai pas il faut mettre le micro près de la parler dans le micro c’est là ah c’est là pardon ok pourquoi Galois pourquoi ces travaux ils ont pas été compris dès le début pourquoi ils ont pas été

Compris probablement parce que ses idées étaient enfin c’est banal de dire en gros ses idées étaient en avant sur son temps c’est-à-dire que il a il avait des idées il a eu des intuitions absolument incroyables il était très jeune donc il il avait pas forcément les usages sur la

Manière de la manière de les présenter il allait très vite et donc les mathématiciens n’ont pas compris tout simplement n’ont pas compris ces idées donc ce point de vue làà c’est en simplifiant ses idées étaient en avant sur son t évidemment s’il avait vcu plus longtemps peut-être que les gens

Auraient compris plus vite mais bon il il n’a pas vécu je crois qu’il y a une question là-bas oui bonsoir est-ce que est-ce que Galois quand il travaillait sur la question de la résolution des équations il avait en tête des questions de symétrie de géométrie ou c’est vous

Qui faites le lien non je pense je pense pas qu’il avait en tête c’est c’est venu c’est vraiment venu plus tard cette vision géométrique est venue plus tard et d’ailleurs quand j’ai discuté avec des historiens certains m’ont dit oui oui c’est clair qu’en 1870 cette vision géométrique existait et d’autres m’ont

Dit non en 1870 la vision cette vision n’était pas encore vraiment comprise donc en tout cas autant de Galois certainement certainement pas bien donc vous savez dans enfin c’est pas du tout ça mais dans C’est quoi dans tartuf le tartuf arrive à l’acte 3 donc le héros principal de de

La conférence il n’arrive que que maintenant donc j’ai présenté je présente Sofus le donc Sofus le est un mathématicien norvégien c’est une photo de lui relativement jeune il est né en 1842 il est mort en 1899 euh il est né dans un village qui s’appelle nor F fake j’espère qu’il y a

Pas de de gens qui peuent contrôler ma ma prononciation ici en Norvège c’est un village qui est assez éloigné de la capitale c’est pas dans le Grand Nord mais c’est quand même à laattitude de 61°grés de au nord donc il doit faire très froid pour eux là-bas c’est il fait

Chaud en ce moment ici son père est le son père est le vicaire du du village il a cinq frères et sœurs en 1851 la famille déménage à Mos qui est un bourg un peu plus gros qui est à 60 km d’Oslo et donc Oslo à l’époque s’appelle

Christiania par ça ça s’est appelé Oslo au départ ensuite ça a changé de nom parce qu’ils ont eu un roi qui s’appelait Christian Christian et puis c’est redevenu os SL plus tard à dans ce bourg de Mos il y a une école secondaire mais qui ne va pas jusqu’au baccalauréat

Ou l’équivalent du baccalauréat norvégien donc il devient interne au Lycée Nissen de Christiania pour pouvoir préparer le baccalauréat il obtient son son diplôme et il devient étudiant en sciences à l’université de Christiania bon la Norvège à l’époque est un petit pays ça reste un petit pays c’est plus gros

C’est devenu un pays très riche à cause du pétrole à l’époque c’était pas du tout un pays riche il se trouve que la Norvège au 19e siècle a donné aux mathématiques deux mathématicien de premier plan il y a eu Abel au début du siècle et puis il y a

Sofusli dont on va parler maintenant à la fin du siècle donc c’est un peu un hasard de l’histoire ce petit pays a eu une productivité mathématique absolument extraordinaire donc il obtient son diplôme en décembre 1865 l’homme se fusel c’est un il a on dit qu’il a le

Physique nordique il est très grand il est très fort il a les yeux bleus il a les cheveux blonds enfin le l’archétype l’archétype du nordique il est aussi il est chahuteur et tapageur il est aussi très sportif il est plus connu parmi ses camarades comme étant un grand

Sportif que comme étant un un génie un Génie Mathématique exemple il habite il est à chistiania il habite ses parents habitent à 60 km de là donc il rentre quand il rentre dans sa famille certains weekends et bien il fait ça à pied et il y a eu même une anecdote suivant

Laquelle un jour il avait oublié un bouquin chez dans sa famille et il a fait l’aller-retour dans la dans la journée donc 120 km 120 km à pied donc c’est vraiment un un sportif euh c’est un bon étudiant mais il est pas exceptionnel euh une fois son diplôme obtenu il a 24

Ans il n’a pas vraiment de projet il est déprimé et au au point Queau printemps 1866 donc peu après avoir obtenu son diplôme il écrit mon intention était de me suicider mais je n’en avais pas la force en conséquence j’ai une deuxième chance d’essayer de

Vivre et en fait ce qu’on sait c’est que il a été il a il a eu des périodes plutôt dans sa vie plutôt euphorique et il a eu des périodes plutôt plutôt dépressive dans sa vie ça l’a accompagné un petit peu toute sa vie entre 1866 et 1869 il y a une

Métamorphose le début 66-67 c’est les années creuses il il a décidé de pas devenir professeur de lycée il aurait pu parce qu’avec son diplôme de l’université il aurait pu devenir professeur de lycée il décide de pas le faire donc il vit de petits cours il est assistant de laboratoire laboratoire

D’astronomie il n’a pas perdu son style un petit peu grande gueule donc un jour il pour se réchauffer dans le laboratoire d’astronomie il il sautaaiit par-dessus les instruments à à saute mouton ce que le professeur n’a guerre apprécié donc il l’a enfermé dans dans une pièce lit a sauté par la fenêtre

Enfin bon c’était plutôt un plutôt un farceur que un étudiant sérieux conséquence il convoitait un poste d’assistant à l’université il n’a pas obtenu il euh il en janvier 68 il se met sérieusement au travail alors on sait pas trop exactement s’il y a eu un événement

Particulier mais en tout cas en 68 1868 il se met sérieusement au travail donc il lit d’abord euclid donc c’est pas des mathématiques franchement nouvelle de lire eclid mais il lit eucline puis ensuite il lit Abel qui est le le héros national qui est mort depuis depuis longtemps et puis il lit d’autres

Mathématiciens donc il lit euh euh il lit il lit Poncelet il lit pluer il lit différents mathématiciens contemporains euh et il se trouve que en 1868 un coloque une espèce de congrès est organisée à Christiania il y va et il entend parler de mathématiciens comme pler de mathématiciens contemporain et il se met

À les lire et ça l’intéresse beaucoup et euh voilà les les les mathématiciens qui qu’il a lu et il publie un court article dans le prestigieux journal pour les mathématiques pures et avancé le journal dit journal de crê donc c’est euh sur euh euh les quantités le rôle des quantités

Imaginaires en en en géométrie donc tout à coup il est devenu mathématicien il n’a pas encore sa thèse il est devenu mathématicien et sur la base de de cet article il obtient une bourse qui lui permet d’aller à l’étranger parce que il est clair que

Pour se former à plus haut niveau il n’y a pas les ressources disponibles à Christiania et donc il faut aller à l’étranger donc il par et la première étape c’est Berlin à cette époque là Berlin est certainement une des capitales mathématiques du monde l’Allemagne est certainement dans cette époque là à partir de

1860 c’est vraiment le le premier pays en mathématique dans le monde Berlin l’université de Berlin est un de ces endroits où on fait des mathématiques de de très haut niveau euh il y a des mathématicien qui s’appelle wer strass par exemple qui est un petit peu le le

La tête de le le chef de fil des des mathématiques berlinoises et là euh il arrive il arrive à cette université en 1869 et il fait une rencontre décisive c’est un mathématicien qui s’appelle Félix Klein donc voici voici la photo Félix Klein est assez très différent de de l l a

Déjà donc on est en 69 donc lit a à 27 ans euh il n’a pas encore de doctorat Klein a 20 ans il a 7 ans de moins il a déjà son doctorat puisquil a soutenu sa thèse à 19 ans Klein c’est l’exemple même du du petit génie très précoce qui

A une curiosité insatiable il sait tout ou il apprend tout euh il est très à l’aise socialement alors que euh lie est euh quand même vient d’une d’une petite ville de province il est bourru il est pas très sociable et cetera malgré tout les deux deviennent très amis et ils

Entament une collaboration intense collaboration mathématique intense Klein et Lee décide d’aller à Paris Paris est à mon avis n’est pas n’est pas au même niveau mathématique que les grandes que les grandes universités cité allemande à cette époque là mais c’est quand même une très un très bon centre

Donc li par pour Paris début 70 Klein va le rejoindre un peu après quand le semestre parce que Klein doit enseigner donc quand le semestre se se termine et là il rencontre Gaston d’arbou et Michel chal Gaston d’arbou qui est jeune hein puisque il est né en

1842 donc en 1870 il a 28 ans il est à peine plus vieux que que lie Michel chal est beaucoup plus âgé c’est le c’est un peu le grand le le comment dire la une personnalité dominante et mathématiques en France vers cette époque-là c’est lui aussi en 1872

Puisque ce cycle est organisé par la SMF il a été le premier président de la Société Mathé la société mathématique de France alors vous remarquez la différence de style hein le T tous les hommes qu’on va voir sont de de la fin du 19e siècle sont ont des grandes barbes chal vient d’une

Période plus plus reculé où la barbe était beaucoup moins à la mode bon donc Lee et Klein rencontte char et Jordan c’était un peu pour ça qu’ils étaient venus à Paris et il rencontre enfin Jordan et Darbou et Jordan don voici la photo vient de publier ce qui est l’ouvrage de

Référence sur les groupes donc tout à l’heure j’ai expliqué que les idées de gallois qui n’avaient pas été comprises ont commencé à être comprises vers dans les années 1840 et en 1869 là il commence à y avoir une très bonne compréhension de l’importance des groupes et jornan écrit un immense

Traité de de plus je sais plus 1000 ou 2000 pages ou quoi de sur sur les groupes le séjour à Paris il pour l’un et l’autre il est extrêmement productif sur le plan mathématique ils font donc il est interrompu le 19 juillet 18 1870 par la déclaration de guerre de

Napoléon à la Prusse la Prusse a fait toutes sortes de provocations napoléon y a répondu de manière arrogante en disant on va leur mettre la pâtée ça a été une catastrophe Napoléon a a dû abdiquer peu après enfin bon ça a été une une grande un grand

Désastre pour la France c’est pas le sujet donc euh Klein qui est prussien qui est allemand doit ne peut pas rester à Paris donc il s’en va Lee est neutre donc il peut rester à Paris mais quelques semaines après le départ de Klein il décide qu’il a

Eu enfin que ses contacts ont été très productifs et qu’ peut euh qui peut rentrer en norvange mais avant il voyage et il décide de visiter l’Italie euh donc il part en Italie mais comme euh comme il aime bien marcher il part à pied en route euh en route il s’arrête quelques jours

À Fontaineblau à Fontaineblau il est arrêté parce que le fouille et on trouve dans ses papiers dans ces sacs des trucs écrits en allemand des avec des symbole cabalistique donc il est considéré comme étant un espion heureusement euh Darbou apprend euh cette histoire et intervient pour faire libérer lit qui

Peut reprendre son voyage qui a d’autres mesaventure parce qu’au moment de franchir les Alpes euh il a fait ce qu’il avait un peu l’abit habitude de faire quand il pleuvait et qu’il marchait c’était de se mettre nu entièrement nu et il se fait arrêter parce que il est tout nu dans tout nu

Dans la montagne bon mais ça ne dure pas très longtemps donc il il peut rentrer il peut rentrer en Norvège alors qu’est-ce qui liait lit liait lit Leit et et Klein euh lit vous petite parenthèse lit il faut prononcer lit mais si on sait pas et qu’on on on

Le lit en anglais ça se prononcerait l’ ce qui veut dire mensonge en anglais donc mais bon c’est c’est donc une fois un sénateur américain s’est indigné du fait que on faisait des recherches sur les groupes de mensonges et euh Eton donc ça a beaucoup fait rire les

Spécialistes de groupe de lit euh aux États-Unis donc les intérêts de de Klein et lit c’est la géométrie des Courmes des surfaces et d’objet du même type mais de dimension supplé une courbe c’est un objet de dimension 1 parce qu’il suffit de un paramètre pour décrire tous les points de la courbe une

Surface on a besoin de deux paramètres par exemple pour la sphère on a besoin de la longitude la latitude et ben si on prend des objets de dimension 3 on a besoin de trois paramètres et et cetera et cetera alors on voilà quelques objets du genre de ceux auquel on s’intéresse

Alors ça c’est une boule mais en fait ce qui nous intéresse c’est pas la boule c’est vraiment la la surface donc la sphère ça c’est un paraboloïde hyperbolique c’est comme la forme c’est comme une selle de cheval ou ah non pardon je me suis trompé euh c’était un peu méchant par je pense

Que vous avez faim mais euh bon c’est la forme c’est ce qui s’appelle un Tor euh c’est une très très jolie forme et très intéressante et puis ici c’est une surface de cumer qui était un un un objet géométrique qui a beaucoup intéresser les géomètres justement à à cette à cette époque làà

Alors des surfaces de ce type sont donnés par des équations cartésiennes qui sont plus ou moins compliquées donc voilà l’équation de la sphère voilà l’équation du paraboloïde hyperbolique voilà l’équation du Tor et puis ça c’est l’équation de la surface la surface de kumer donc c’est donné par des équations

Certaines sont simples d’autres sont compliquées et ce à quoi on s’intéresse c’est des propriétés de ces surfaces dans lesquelles on va pas rentrer dans les détails et de courbes tracé sur ces surfaces alors exemple comment mesurer quelle est la bonne manière de mesurer la courbure d’une

Surface ben c’est c’est pas ça n’a rien d’évident c’est des choses sur lesquels les mathématiciens au 19e siècle ont beaucoup ont beaucoup avancé notamment Gaos est-ce qu’on peut déformer une surface par exemple est-ce qu’on peut déformer un plan pour envelopper une sphère alors on sait tous que non on

Peut pas mais ça peut se démontrer mathématiquement pour envelopper une sphère il faut friper donc il faut faire des plis pour pour envelopper une sphère avec avec un plomb et puis voici un problème plus un peu plus sophistiqué comment sont les géodésiques tracés sur une surface les géodésiques c’est les chemins de plus

Courte distance sur la surface exemple bon ben dans le plan c’est simple c’est la ligne droite si vous allez deux points le le chemin le plus court pour aller d’un point A a un point B c’est la ligne droite c’est pas du tout facile à démontrer sur une sphère c’est encore

Plus compliqué à démontrer c’est des ce qu’on appelle des grands cercles c’est des cercles qui séparent la sphère en deux parties en deux parties égales bon en général donc ça il y a des réponses géométriques simples pour répondre à ces questions sur une surface en général ou sur faire c’est de

L’analyse difficile par exemple l’équation pour calculer les géodésiques sur une surface de révolution c’est une équation de ce type donc c’est une équation très compliquée il y a pour les lycéens qui sont ici il y a absolument pas moyen de comprendre en détails de quoi il s’agit mais ce que vous repérez

Ici c’est qu’il y a des symboles qui ressemblent à des symboles de dérivation hein il y a un D sur D de sur DV le D est un petit peu tordu parce que c’est fonctions sont des fonctions de plusieurs variables et on fait une dérivation par rapport à une seule des

Variables à chaque fois autre exemple pour calculer des surfaces minimales voici c’est les deux choses que je vous ai montré c’est des extraits de texte de de l’époque du 19e siècle c’est il faut résoudre les équations qui sont les équations qui sont ici bref et on va pas rentrer dans plus

De de détails les équations qu’on rencontre sont des équations différentielles en fait aujourd’hui on dirait que c’est des équations au dérivée partielle mais ça généralise les équations différentielles et au 19e siècle ils utilisaient alternativement équation différentielle ou équation aux dérivé partielle alors le point essentiel c’est que dans

Des équations de ce type l’inconnu c’est une fonction une fonction d’une ou plusieurs variables mais l’inconnu c’est une fonction alors au programme de Première il y a un exemple un unique exemple c’est la fonction exponentielle e^iss X est solution de l’équation différentielle y prime = y et on peut

Démontrer que toutes les solutions sont proportionnelles à celle-ci voilà un exemple d’équation différentielle on peut pas au 19e siècle et encore aujourd’hui d’ailleurs on étudie beaucoup les les équations différentielles au 19e siècle ils avaient atteint un degré de sophistication absolument énorme et en l’occurrence les problèmes auquels s’intéressaient Klein et

Lee étaient des problèmes de géométrie qui pour les résoudre prenait appui sur des équations de ce typelà on a une question du chat qui est j’ai entendu dire que Sofus Lee avait inventé les groupes de lit lors de son séjour en prison est-ce que c’est une légende euh

Bah c’est le le enfin oui c’est une légende sofusli lui en fait à ma connaissance n’a jamais été en prison ou de manière très brève peut-être quand à fontainebau il a été arrêté je crois pas qu’il a fait quoi que ce soit de important en prison bon le séjour en

Prison est parfois très productif pour les mathématiciens il y a plusieurs exemples mais en l’occurrence pas on va voir exactement comment et quand ce fusli a inventé les les groupes de lit c’est c’est la suite c’est la suite de la conférence mais à ma connaissance c’est pas en prison qu’il a

Particulièrement avancé sur ce sur ce sujet il y a peut-être une autre question là-bas bonsoir je voudrais savoir est-ce que les les surfaces et objets de dimension supérieure qui intéressaient l clin c’est plutôt des exemples concrets du type généralisation du tort de l’hyperbolide à des dimensions supérieures définis par des équation

Explicite ou est-ce qu’ils essayaient de construire une théorie générale plus à la riman et cetera enfin très souvent beaucoup de ces problèmes c’était des problèmes concrets sur des des sur des surfaces sur des surfaces concrètes mais évidemment de derrière il y avait aussi des questions qui étaient des questions qui étaient absolument

Général mais enfin les problèmes en tout cas auquels ils sont intéressés à ce moment-là c’était plutôt des des en fait des surfaces des constructions qui étent extrêmement concrète bien donc on arrive maintenant au cœur du du sujet lit vers 187071 comme commence à avoir une idée fixe c’est c’est le terme qu’il a

Utilisé c’était une idée fixe qu’est-ce qu’il voulait faire il voulait il avait une ambition qui était de faire ce que Gallois avait fait pour les équations algébriques c’est-à-dire de comprendre comment les symétries de l’équation permettaient de résoudre l’équation algébrique il a voulu le faire pour oups pour les équations différentielles

Donc symétrie on va on va voir ce que sontin pour des équations différentielles l’obstacle c’est que la notion de groupe dont on avait besoin pour jouer ce rôle de symétrie n’était pas n’était pas encore inventé il y avait elle était légèrement balbuciante mais essentiellement elle n’existait pas

Parce que contrairement au groupe de Gal lois qui sont finis c’est la question qui a été posée tout à l’heure les groupes de symétrie dont liit à l’intuition sont infinis et même continu donc le mot continu en l’occurrence c’est le mot que qu’il faut que j’explique maintenant qu’est-ce que c’est qu’un groupe continu

Déjà si on regarde ici vous voyez on se déplace sur le plan et on peut se déplacer dans n’importe quelle direction et avec n’importe quelle distance les bouger sur le plan ça dépend de deux paramètres qui est un paramètre de distance et un paramètre d’angle et chacun de ces deux paramètres

Peut prendre n’importe quelle valeur n’importe quel nombre n’importe quelle valeur réelle si on prend se déplacer sur un cercle là on a un seul paramètre c’est l’angle mais cet angle peut prendre là aussi n’importe quelle valeur entre 0 et 360° maintenant si on regarde ce qui se passe

Sur une sphère donc pour pour ce qui m’intéresse c’est la sphère mais pour rendre ça plus joli c’est une c’est un un globe terrestre qu’on a choisi donc le point jaune qu’on a choisi c’est la capitale de l’Ouganda c’est campala qui est à l’avantage d’être sur l’équateur donc

Qui est ici et ce qu’on a vu c’est un mouvement dans tous les sens donc un peu le genre de mouvement qu’on verrait si on jouait au foot avec cette sphère maintenant on va organiser voir un peu plus systématiquement le genre de des transformations donc les premières transformations qu’on peut voir c’est des

Rotations par rapport à un axe qui est un axe horizontal qui fait qui va vers vers moi il y a un deuxème type de rotation c’est une rotation par rapport à l’axe qui est horizontal qui est ici et pu 3è type de rotation c’est rotation par rapport ici

Par rapport à l’axe qui passe par les deux pôles maintenant je vais faire une rotation de degr 60° par rapport à l’axe X qui est par ici et une rotation par rapport à l’axey on va regarder ce qui se passe donc rotation par rapport à l’axe X

Rotation par rapport à l’axe Y et on arrive ici quelque part ça doit être à peu près en Sibérie maintenant on va faire les deux mêmes rotations mais dans l’ordre différent donc là on a mis le point d’arrivée est en jaune on a mis le en ver le point de départ et bon

Excusez-moi donc là on fait les rotations dans l’ordre différent et comme on le voit onarrive vraiment pas du tout au même endroit une autre manière de voir la même chose c’est de faire la la même rotation d’axo X de 60° puis la rotation Ry et puisite ite de revenir en arrière en changeant

De sens donc faire la rotation Ox d’ de d’angle – 60° puis Ry d’angle – 60° donc regardons ce qui se passe alors ce qu’on voit c’est qu’on revient pas au point de on revient pas au point de départ et puis si on fait alors que si on fait

Euh la même chose mais avec des translations dans le plan je fais deux translations et puis je fais les translations inverses je reviens au point de départ donc on voit que c’est un peu lié au fait enfin c’est tout à fait lié au fait que la la sphère

Est courbe et le plan est plan c’est que les translations l’ordre dans laquelle on les fait n’est pas important les rotations là l’ordre dans lequel on les fait est important donc on a vu un peu cet exemple de euh euh de transformation continue donc qu’est-ce que fait liit entre 1871 et

1888 ça c’est les années décisives mais entre 1871 et 1874 les idées principales de la future théorie des groupes continu se cristallisent dans dans sa tête en 1872 il obtient une chair de professeur à chistiania donc il peut s’installer à Christiania il a d’excellentes conditions de travail donc il peut

Travailler il peut poursuivre son idée fixe il ne travaille pas du tout seul on va voir d’ailleurs qu’il sera accompagné à partir d’un certain mais il a d’abord il publie régulièrement il a de très nombreux échanges avec les mathématiciens français et avec des mathématiciens Alemand principalement il

Poursuit son idée fixe et à partir d’un certain moment un jeune mathématicien allemand le rejoint en en Norvège parce que les amis de lit pensent que son projet est tellement ambitieux qu’il n’arrivera pas à le mener à bien sans être aidé par par quelqu’un la cette collaboration se

Pourtuit à leipic parce que Lee obtient un poste à Leipsic en fait il va succéder à Klein dont on a déjà parler comme professeur à laptique et donc Lee est devenu professeur à laptique en 1886 et Engel le suit et le résultat c’est qu’il publie en

1888 TR volumes 1 2 3 en tout 2000 pages donc c’est la théorie d’ transformation groupen théorie des groupes de transformation donc ou dans lequelle est exposé de manière très systématique cette théorie de Ben de quoi de ce qu’on appelle aujourd’hui des groupe de lit un jeune mathématicien français dans sa

Thèse en 1893 propose dans l’introduction de sa thèse d’appeler groupe de lit les groupes continu de transformation et le le mot a c’est imposé c’est imposé très très rapidement alors l’idée clé il manquait on avait cette intuition de gROUPE CONTINU mais il fallait une idée clé pour pouvoir traiter ces choseslà de

Manière un peu systématique et l’idée clé c’est le calcul différentiel le calcul des dérivées donc vous savez je pense que si vous prenez la valeur d’une fonction en F de en X plus un petit accroissement Delta X x alors c’est égal à FX plus quelque chose qui

Est proportionnel à Delta X qui est mesuré par la ce qu’on appelle la dérivée de F en X ça c’est ça marche pour Delta x petit et donc c’est un symbole d’approximation au 19e siècle et d’ailleurs aussi au 20e siècle et au 21e siècle les beaucoup de mathématiciens et

Certainement tous les physiciens et tous les ingénieurs pensent à des accroissements infiniment petit ce qui n’a pas un sens mathématique très précis mais ce qui a une nuristique extrêmement efficace et à ce moment-là FX + DX est égal à FX + F Prim x DX étant donné que

DX est infiniment petit donc le terme d’erreur en quelque sorte peut peut on ne l’écrit on ne l’écrit pas donc ça c’est une idée extrêmement forte le calcul différentiel a été inventé au au 17e siècle par Newton et par Li ça complètement révolutionné les mat et l’idée de l c’est d’appliquer ces idées

À à ces groupes de transformation alors on va essayer d’en voir un tout petit peu une manifestation ou là là euh on va faire les mêmes quatre rotations que tout à l’heure mais au lieu de prendre un angle de 60° on va prendre un très petit angle alors 1 degr

C’est pas infiniment petit c’est petit mais moi je sais pas des iner des angles infiniment petits donc on va faire les mêmes donc si vous avez fait très attention vous avez vu que le point jaune a un petit peu bougé évidemment il a pas beaucoup bougé alors pour y voir quelque

Chose on doit beaucoup beaucoup agrandir et quand on agrandit beaucoup en fait quand on agrandit une sphère beaucoup elle devient plate elle elle s’identifie à son plan donc regardons un peu ce qui se passe sur ces quatre petites rotations donc voilà un schéma de ce qui

Se passe donc on a fait une des rotations d’axe Ox et auy et à la fin on arrive à à quelque chose le point d’arrivée c’est un point qui est sur sur qui est sur l’équateur donc on a fait des rotations par rapport au au x comme

Ça auy et à la fin on obtient une rotation une rotation d’axe verticale donc une rotation horizontale ça c’est une illustration de cette chose décisive on a défini une nouvelle opération on a pris deux du éléments du groupe infinitésimal donc des rotations infinitésimales et r y de un un accroissement infinitésal Ry d

Alpha on a calculé cette on a fait ce produit là et on a trouvé une rotation de par rapport à au Z ceci en langage moderne c’est le langage qui est ici c’était vraiment celui qui est utilisé par Li il utilisait cette notion de groupe infinitésimal en langage moderne

C’est le groupe infinitésimal s’appelle l’algèbre de lit et la nouvelle opération sur le groupe infinitésimal s’appelle le crochet de lit et la notation on prend X et Y deux éléments de l’algebre de lit et Z é= crochet XY c’est c’est le le crochet de lit donc c’est vraiment ça l’idée absolument

Central de la théorie de lit c’est que on peut considérer ce que lui appelait le groupe infinitésimal ce que nous on appelle algèbre de lit et que on a une opération sur le crochet appelé donc on a une correspondance entre groupe de lit et algèbre de lit et

Le ou les théorèmes centraux du gros gros bouquin que dont j’ai parlé là du bouquin de lit de 88 c’est on a ce qu’il on a trois théorèmes fondamentaux que dont je peux pas donner du tout le la la le détail mais en substance c’est que la correspondance

Entre groupe de la lit et algébre de lit est une bonne correspondance c’est tout groupe a une algebre de lit et tout algebre de lit a un groupe de lit et on peut transférer des démonstrations à faire sur les groupes de lit à des démonstrations à faire sur l’algebre de

Lit et réciproquement et donc c’est une simplification pour beaucoup de démonstration parce qu’on peut faire des démonstrations sur l’algebre de lit qui sont des démonstrations qui sont souvent plus faciles à faire donc voilà le théorème 21 du volume 1 de de lit qui explique ceci donc il y a les ce qu’on appelle

Les les constantes de structure de qui doivent être quelque part enfin pe peu importe c’est ça le l’énoncé qui dont qui exprime ce fait que cette cette correspondance est une bonne correspondance alors où en sommes-nous nous avons commencé par élargir la notion de symétrie en l’identifie à l’invariance d’une figure d’une équation

D’une situation par un groupe ensuite on a élargi la notion de groupe au départ on avait des groupes finis et maintenant on a des groupes continu qu’on appelle groupe de lit et on a vu qu’ un groupe de lit était associé une algèbre de lit et sur

Lequel il y a une opération qu’on appelle le crochet de lit il a aussi une question il me semble que que riman ensuite avait élargi cette notion de géométrie dans un cercle dans une sphère plutôt non ah ben enfin je riman est un très grand géomètre un petit peu antérieur un peu

Antérieur à liit qui a en effet défini ses ses notion de de courbe de surface c’est c’est des choses sur lequel beaucoup de géomètres ont travaillé au 19e siècle et en particulier en particulier riman donc probablement je suis pas absolument sûr mais sus le devait connaître les travaux de de Ran

Là ce que ce qui introduit li et qui est complètement nouveau c’est l’idée d’e d’un groupe de transformation sur ces objets géométriques et ça c’est une idée complètement nouvelle qui n’est pas du tout présente dans riman d’accord question question également est-ce qu’il y a une correspondance

Entre les travaux de lit et les travaux de Point Carré alors Point Carré a compris tout de suite ou très très vite que les travaux de lit étaient importants et je vais le je vais le dire dans une il a il a tout de suite compris que c’était important

Et d’ailleurs je vais je vais en parler un tout petit peu parce que il y il y a un aspect très spécifique où Point Carré a utiliser cette notion de groupe de transformation pour lancer un domaine qui est complètement complètement nouveau s’il vous plaît s’il vous plaît

Oui je voudrais vous poser la question faut parler plus fort j’entends rien oui vous m’entendez oui euh donc je voulais vous poser la question suivante sur le groupe de lit celui qui agit sur la surface de la la sphère quelle est la signification du crochet de lit est-ce

Que vous avez que vous avez exposé et comment on peut euh additionner euh parce qu’on dit toujours que c’est une algebre donc c’est un espace vectoriel comment on peut additionner le résultat du crochet de lit avec par exemple le un des les éléments x c’est pas évident du

Tout parce qu’ils paraissent pas être dans le même espace c’està-dire ils sont dans des espaces isomorphes mais pas identique alors comment on définit en fait bon c’est la manière dont j’ai expliqué le cette algèbre de l’Î le groupe infinitésémal en fait ça consiste à assimiler le groupe qui est lui-même

Comme une espèce de grande surface enfin un objet de plus grande dimension mais comme une surface on va assimiler le groupe euh infinitésimal à l’espace tangent à cette surface à cette hypurface et à ce point-là l’espace tangent lui c’est un bon espace vectoriel sur lequel on peut faire des

Additions donc ça j’ai j’ai pas enfin j’ai j’ai pas pu détailler mais il faut j’ai j’ai des ordres là des de continuer donc les dernières années déjà les dernières années de de lit donc après l’apparuition du bouquin d’abord il est il a une grande reconnaissance institutionnelle et scientifique c’est

Clair pour tout le monde que c’est un grand mathématicien il va être élu membre correspondant de l’Académie des Sciences à Paris membre correspondant du de la Royal Society à Londres membre correspondant membre étranger de l’Académie des Sciences américaines en France il a des liens particuliers avec la France et l’École normale supérieure

Envoie des étudiants à l’pticque pour travailler avec l’ j’ai mentionné Arthur tress tout à l’heure celui qui a donné son nom au groupe de lit Arthur tress a été envoyé par les professeurs de l’École normale supérieure pour travailler auprès de lit et li est invité en 1894 comme unique conférencier

Mathématicien à l’occasion du centenaire de l’École normale supérieure donc il a une reconnaissance exceptionnelle sur le plan institutionnel et sur le plan scientifique ces dernières années sont mitigées il est professeur en Allemagne mais en fait il n’aime pas être en Allemagne il n’aime pas les collègues il trouvent que l’ambiance à l’université

Est compliqué en fait il est rester norvégien dans dans l’âme il hésite entre rentrer en Norvège rester le rentrer en Norvège ça veut dire en gros s’enterrer sur le plan scientifique parce que même si le courrier marchait très bien à l’époque quand même il n’a pas les contacts qu’il

Peut avoir quand il est en Allemagne mais il est chez lui rester à l’psque c’est être dans un droit qui n’aime pas beaucoup mais avoir des bons contacts scientifiques il va rentrer quand même à Christiania et mourir en 99 d’une anémie pernicieuse qui est aujourd’hui je crois un déficit en vitamine

B alors trois grandes directions prises par la théorie de L après ces travaux de lit la première c’est une étude détaillée des groupes et algebre de lit pour eux-mêm c’est ces groupes de lit qu’il a inventé sont des objets qui sont très intéressants mathématiquement et qu’on étudie et qui

Ont de très nombreuses applications à la géométrie un des noms qu’il faut auquel il faut penser c’est celui du nom du du mathématicien français Ellie Cartan qui travaille à la fin du 19e et au 20e et qui a été un des grand continuateur de de lit il y a un deuxième une deuxième

Direction c’est un rôle important en physique et une troisième c’est un rôle important des groupes de lit en théorie des noms donc je vais dire quelques mots pour chacune de ces directions donc dès les années 60 on s’intéresse aux propriétés des groupes et algebre de lit en tant que

Tel et on les classifie par exemple Cartan avec en complétant des travaux d’un mathétiicien Allemand qui s’appelait killing démon montre une fait une classification des algeèbres de lit simple complexe c’est un truc de mathématicien comment est-ce qu’on a un objet peut être simple et complexe mais les deux

Bon donc il y a des travaux extrêmement profonds là-dessus il y a des applications inattendues à la géométrie en l’occurrence aussi notamment par carton en physique là j’ai trouvé ça récemment he un truc que j’ai trouvé sur internet when le groups physics quand les groupes

De l sont devenus la physique à à quel point les groupes de l jouent un rôle important en physique alors en 1894 pr de manière indépendante de lit pierre curry avait donc voici la photo c’est le mari de Marie curry qui a eu le prix Nobel de physique avec elle lorsque

Certaines causes produisent certains effets les les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets de produits donc il il énonce un principe c’est que la symétrie des causes donne une symétrie des des effets et ce principe est complètement centrale dans la compréhension de la physique et

D’ailleurs on va en voir un exemple avec le théorème de Neu obtenu en 1918 si l’action d’un système physique conservatif est invariable en dessous l’action d’un groupe de lit il lui correspond alors une loi de conversation de pardon pas conversation mais conservation alors notaire en l’occurrence ça mérite d’être dit c’est

Mi notaire une femme une très très grand un très grand mathématicien qui se trouve être une femme euh donc c’est une photo d’elle prise en 1900 le théorème de notaire est quelque chose qui est enseigné dans les cursus à avancé de physique de manière absolument systématique et aussi évidemment pour

Les spécialistes des équations aux dérivé partiell en mathématique il y a des prolongements en mécanique quantique donc la mécanique quantique c’est la mécanique des phénomène à très très petite échelle le passage entre mécanique classique et mécanique quantique est un passage compliqué que je veux pas développer d’ailleurs euh

C’est ce serait très serait évidemment infaisable mais la question c’est de savoir qu’est-ce qui que devient le groupe de symétrie du système classique une fois qu’on est passé dans le modèle quantique dans lequel les objets qu’on considère sont des objets extrêmement abstraits des espaces de Hilbert des

Opérateurs et cetera et en fait le passage c’est la théorie des représentation des groupes de lit qui a émergé notamment particulièrement avec Herman we et qui sa’est singulièrement développé quand on a étendu la mécanique quantique à la mécanique quantique relativiste al j’étais un peu obligé d’en parler parce que c’est c’est mon

Domaine ça a été mon domaine de recherche il y a des gens qui ont fait des trucs géniaux pas moi mais bon ça a été mon mon domaine de de recherche en théorie des nombres la théorie des nombres c’est la c’est bizarre comme nom mais c’est la théorie des mathématiques on s’intéresse aux

Priorités des nomes premiers et de divisibilité en 1881 Henry Point Carré donc très grand mathématicien français qui est encore très jeune il met en évidence un lien entre certaines fonctions qui sont définies à partir de certaines équations différentielle et le groupe continu un groupe oups le groupe continu PSL de 2 R peu

Importe ce qui est important c’est qu’on a des équations différentielles ça on peut associer à ces équations différentielles des fonctions c’est des choses qui étaient très très étudié au 19e siècle et lui a une intuition une intuition incroyable il y a même une anecdote il était en voyage en Normandie

Il a mis le pied sur le pied d’un du tramoou ou d’un d’un coche et tout à coup il s’est rendu compte que le groupe psl2 de r jouit un rôle très important dans cette affaire là c’est le point de par de la théorie des fonctions automorphes qui sont définies à partir

De choses qui généralisent essentiellement les groupes de lit alors en fait la théorie de lit ça a des application dans des directions extrêmement différentes par exemple ici un un petit colloque théorie de lit pour le roboticien donc en robotique on a des on utilise la théorie de lit donc les

Groupes et algebre de lit la théorie de lit vous aide à faire des créneaux parallèle parc en anglais ça veut dire faire un créneau garer sa voiture en un domaine qui est super à la mode en ce moment c’est ce qu’on appelle le machine learning l’apprentissage par les

Machines et voici un bouquin qui est paru récemment qui utilise les groupes de lit pour le machine learning et quand on veut comprendre la perception visuelle et bien les groupes de lit interviennent et je vais vous donner un exemple tournez votre tête comme ça est-ce que moi j’ai

Tourné non hein vous me voyez toujours vertical et bien dans vos neurones il y a quelque chose qui redresse l’image parce que ce qui est arrivé sur votre Ren c’est votre rétine c’est pas la même image c’est une image tournée votre votre rétine votre cerveau c’est pas la rétine c’est le cerveau a

Le moyen de redresser l’image donc il y a un groupe de lit vous avez un groupe de lit dans la tête j’ai interrogé là il y a quelques jours un moteur de recherche dont je ne citerai pas le nom et j’ai tapé le groups on trouve plus de réponses en anglais

La réponse c’est 1illard 230 millions de réponses je vais pas pouvoir tout dire donc je préfère m’arrêter là il nous reste un tout petit peu de temps pour une une question rapide euh moi je me demander par rapport à au plan tangent à la sphère

Qu’on a vu tout à l’heure oui est-ce que euh le crochet de lit c’est une façon alors excusez-moi si je suis mal àoite de parler de d’une dérivée d’un d’un d’un groupe de symétrie qui se rapprocher au maximum c’est c’est enfin c’est c’est enfin il faudrait être

Beaucoup plus précis mais oui la réponse est oui c’est c’est ça le groupe l’algebre de lit c’est quelque chose qui qu’on obtient en dérivant quelque chose qui est sur le groupe de lit c’est exactement ça c’est exactement ça merci merci à tous avant de se quitter l’annonce de la prochaine

Conférence la prochaine conférence ce sera Élise Goujard le 7 février mercredi qui nous parlera de la mathématicienne Mariam mirsarani merci encore Martin et à la prochaine