Enseignement 2023-2024 : Spectres de graphes et de surfaces
Cours du 08 décembre 2023 : Graphes réguliers : spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodesique (2)
Professeure : Nalini Anantharaman
Chaire Géométrie spectrale
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[Musique] [Musique] [Applaudissements] bonjour à tous donc on va continuer à ce qu’on avait commencé à faire la dernière fois qui consistait pour les graphes réguliers à essayer de faire un lien entre le spectre du laplacien discret et puis la décroissance des corrélation de ce qu’on avait appelé le flot géodésique alors peut-être
Éituler ce qu’on le lien qu’on avait vu entre d’une part les valeurs propres de la matrice de [Applaudissements] [Applaudissements] Hashimoto qu’on avait appelé qu’on avait appelé grand B qui une matrice indexée par les graphes par les arrêtes orientés et puis le spcre du laplacien enfin le spectre plutôt de la
Matrice d’adjacence mais qui est la même chose que le laplacien pour un graphe régulier al on va peut-être faire un [Applaudissements] dessin alors la matrice B euh ces entrées c’est des 1 ou des Z0 et puis il y a on avait appelé Q + 1 le la valence du
Graphe donc dans dans les dans la matrice B sur chaque ligne et sur chaque colonne il y a Q entre quiivent 1 et 0 et puis les autres valent 0 ce qui fait que déjà le rayon spectral de toute façon est plus petit que Q et puis on avait
Vu que si on a une valeur propre de la matrice d’adjacence on peut faire un changement paramètrre qui consiste à l’écrire comme lambda = 1/2 + IS q^ 1/2 + IS + q^iss 1/2- is et puis comme lambda doit être réel le paramètre s il est soit réel soit
Imaginaire pur et on avait vu que une valeur propre de a donne euh donne naissance en général à deux valeurs propres de B [Applaudissements] qu’on avait appelé Epsilon de plus ou moin s donc les valeurs propres de B c’est q^iss 1/2 plus ou moins is donc ça fait
Le dessin suivant donc la valeur alors il y a le cas particulier alors la valeur propre triviale lambda = Q + 1 elle donne lieu à une seule elle est un peu particulière elle donnele à une seule valeur propre de B qui est la valeur propre triviale de B qui vaut
Q il peut le le graphe G le départ il peut avoir comme valeur propre Q + 1 mais c’est le cas si seulement si les B parti et dans ce cas-là cette valeur cette seconde valeur propre triviale elle donne elle donne naissance à la valeur propre in Q pour la matrice de
Hasimoto après il y a un cercle qui est important c’est le cercle de rayon RAC Q qui correspond r√ Q ça correspond au cas où s est réel qui s’appelle le spectre tempéré donc ça correspond les valeurs propres lambda qui sont plus petites en valeur absolue que 2Q ça correspond au S
Réel et ça correspond ça donne ça va donner lieu à deux deux valeurs propres de B qui sont complexes conjugué euh et qui sont sur ce cercle donc ça c’est le cas un peu générique la plupart des valeurs propres de B sont sur ce cercle et puis il peut y
Avoir ce qui s’appelle il peut y avoir ou non ce qui s’appelle du spectre non tempéré qui correspond au lambda qui serait de module de valeur absolue plus grande que ac Q qui correspondrait donc au au S imaginaire pur et un tel lambda il donne ça va donner deux
Valeurs propres qui sont comme ça l’une est là et l’autre est là voilà ça donne ça donne naissence à ces deux valeurs [Applaudissements] propres donc on avait dit que si on comptait donc ça ce sont les valeurs propres de B qui viennent du specre du laplaen on avait dit que si on les
Comptait il y en avait pas le bon nombre et on avait vu que les valeurs propres manquantes c’est forcément plus ou moins un et on avait commencé à voir qu’elles avaient une interprétation topologique hein donc on aveit démontré que les seules valeurs propres qui ne viennent pas de valeurs propres du laplcien c’est
Forcément plus ou moins un et puis on avait énoncé mais sans le démontrer je vais le faire essayer de le faire rapidement la proposition suivante qui est vrai à condition que le rang cyclique B c’est le rang cyclique du graphe donc cette proposition on peut se
Convaincre que si le rang cyclique est 1 elle est pas vraie mais que le le sous-espace propre de la matrice de Himoto associé à la valeur propre 1 il coïncide exactement avec l’ensemble des fonctions définies sur les arrêtes orienté qui sont impaires c’estàdire imp par l’involution qui consiste à inverser
Le sens des arêtes et puis qui vérifie des Bar F = 0 je rappellerai dans un instant étoil pardon d étoil F é= 0 j’appellerai dans un instant la définition de d étoil ce qui est toujours vrai c’est qu’il y a toujours cette inclusion là et c’est
Pour l’inclusion dans l’autre sens où on a besoin de supposer que le r cyclique n’est pas égal à 1 et puis la valeur propre [Applaudissements] 1 ça correspond au fonctions sur les arrêtes orientés qui sont maintenant pair et qui vérifie toujours des étoil F é= 0 alors voilà l’inclusion de j’ai écrit
C’est celle qui est toujours vraie donc on peut se convaincre facilement et je vais juste dire un mot sur comment on démontre l’inclusion [Applaudissements] inverse donc preuve de l’inclusion qui n’est pas qui n’est pas complètement évidente et pour laquelle on a besoin de on va voir qu’on a besoin de l’hypothèse sur
Le rang cyclique soit je vais prendre je vais prendre F une valeur propre de B pour la valeur propre 1 donc BF = F et puis je vais poser si si c’est d éto F on va faut qu’on montre que PSI est forcément nul et je rappelle que d
Étoile le D étoile F c’est sa définition c’est la somme des f de e c’est la somme des des valeurs des de F sur toutes les arêtes d’origine x donc si maintenant F é une fonction sur les arêtes orientées et P est une fonction sur les sommets alors je vous laisse vérifier que
Si j’applique a à la si j’applique la matrice d’adjacence [Applaudissements] ABS je trouve que absc Q + 1 ça j’ai pas encore ça c’est ce qu’on appelle une fonction harmonique ça veut dire que vérifie la propriété de la moyenne et si le graphe est connexe je j’ai toujours supposé le
Graphhe Connex mais ça c’est une fonction harmonique donc si doit être [Applaudissements] constante les fonctions harmoni sont toujours constantes sur toutes les sur chaque composante il fauton que cette constante est nulle et on va la calculer on va calculer la moyenne de PS de deux manières donc si je fais la somme P
X sur tous les sommets ça fait c fois le nombre de sommé et par ailleurs pour l’instant j’ai oui il faut aussi dire que le fait que BF = F ça veut dire que donc ça veut dire que si je fais la [Applaudissements] somme des valeurs de F sur tris
Arrêtes sauf une qui partent d’un somm x ça fait la même chose que la valeur de F sur l’arrête manquante mais arrivant en X ça et ça ça va impliquer que pour toute arrête le fait que PSI soit égal à c ça ça implique que pour toute arrête F de E
+ F de E – 1 = C alors maintenant bah quand je une autre manière de calculer sommes d’ PSI de X c’est en appliquant euh en appliquant la définition de PSI donc ça va donner aussi la somme des valeurs de F sur toutes les arrêtes [Applaudissements]
Orienté qui est aussi la somme des valeurs de F surt les inverses des arrêtes orientés he puisque cette involution c’est une bijection donc Sommer sur toutes les arrêtes orienté au Sommer sur tous les inverses ça donne la même chose donc c’est 1/2i de somme des sur toutes les les arrêtes
Orientés de F de E+ F de E – 1 qui vaut du coup qui vaut euh 1 de ça c’est c’est constant égal à C c’est 1 demi de C fois le nombre d’arrêtes orienté qui vaut euh donc le nombre d’arrêtes orienté c’est de fois c’est de fois le nombre
D’arrêtes donc en fait à la fin je trouve que C x V c’est C X e et si on se souvient que le rang cyclique c’est nombre d’arrêtes moins nombre de sommet + 1 on voit que voilà à partir du moment où le rang cyclique est non nul c est forcément [Applaudissements] nul
Alors pour avoir tout à fait fini nous reste bon alors la preuve pour la valeur propre 1 c’est très similaire je la fais pas il nous reste à calculer la dimension de cet [Applaudissements] espace ce qu’on va voir c’est que la dimension de l’espace propre associé à identité A1 je veux dire c’est
[Applaudissements] B-1 et la dimension de l’espace propre associé à -1 alors c’est euh c’est B si le graphe n’est pas [Applaudissements] biparti et B-1 s’il est Barti [Applaudissements] je vais faire la preuve du premier cas et puis le le deuxième cas je vous laisserai vérifier que un argument
Similaire marche et c’est là que c’est pour démontrer ça qu’en fait on peut faire une version un petit peu simple de [Applaudissements] laomologie donc je vais introduire C0 alors euh je vais vérifier que je fais les choses dans le bon ordre je vais C0 c’est l’ensemble des
Fonctions sur les sommets donc il vont jouer le rôle de potentiel électrique et puis C1 c’est les fonctions euh c’est les fonctions sur les arrêtes [Applaudissements] orientés qui sont impaires et celles-ci vont jouer le rôle de d’intensité du courant électrique et il y a un opérateur D qui va de
C0 dans C1 et qui à partir d’un potentiel électrique le défi donc maintenant c’est à partir d’une fonction sur somm je récupère une fonction sur les arrêtes orientés et donc si cette arrête je l’écris X Y des Phi de XY c’est pH de Y- F X
Alors si on calcule l’adjoint de D pour alors c’est pour le produit scalaire qui vient de la le produit scalaire associé à la mettons à la le produit scalaire canonique quoi si on calcule des son adjoint étoile on trouve non pas exactement celui que j’avais écrit là parce que je
Me suis du compte qui manque un facteur 2 mais enfin c’est pas très grave on trouve en fait on trouve donc maintenant l’adjoint il doit prendre il doit prendre une fonction sur les arrêtes orientés il doit donner il doit donner une fonction sur les sommets et en fait c’est
Quasiment ce que j’avais dit mais c’est voilà y a un facteur 2 qui qui manque et nous grâce grâce à la propriété précédente ce qu’on veut [Applaudissements] calculer donc le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 pour la matrice de hasimoto c’est la même chose que le noyau de d étoile
Voilà et c’est là que je vais dire bah le alors le noyau d’étoile c’est l’orthogonal alors oui pardon je vais utiliser d’abord la la relation r noyau donc qui me dit [Applaudissements] que voilà la dimension de l’image de d étoil c’est la dimension de C1 moins la dimension du noyau de d
Étoil donc ça c’est c’est celle qui a calculer la dimension de C1 c’est le nombre [Applaudissements] d’arêtes et pardon du coup il faut que je calcule l’image de de d étoile mais en fait l’image de l’adjoint c’est l’orthog du noyau de de de Delta et le noyau de
Delta ça c’est c’est facile à identifier c’est les constante donc cette dimension [Applaudissements] 1 donc autrement dit ça alors que je fasse les choses dans le bon ordre ça c’est V c’est nombre nombre de nombre de sommet -1 et donc normalement si on met les choses ensemble euh on trouve
Bien alors est- j’ai toujours cette histoire oui alors est-ce que j’ai j’ai toujours un problème avec le mo-1 euh alors du coup c’est c’est B là-bas je pense si je dis pas de bêtises et c’est et là j’ai dû intervertir les deux cas euh parce que si on se je j’ai
Toujours un souci avec ce mo-1 mais je pense que ça dit ça ça dit que voilà c’est j’ai toujours un souci avec le mo-1 je pense que c’est peut-être seulement B euh bon bref oui ça a l’air d’être B oui c’est B et du coup là c’est je pense
Que c’est inversé aussi entre B et B-1 ici c’est bon vous êtes d’accord ouais c’était donc et je pense que dans le deuxème aussi c’est interverti entre entre B et B-1 alors là maintenant on a tout ce qu’il faut pour démontrer la formule des traces que j’avais énoncé lors du
Premier cours que je vais peut-être pas recopier mais on peut mettre ça comme un exercice c’est que si on se donne un entier positif en [Applaudissements] calculant en calculant la trace de Biss t de deux manières soit comme somme des v propre soit comme somme des éléments diagonaux
Vérifier que on trouve bien la formule des traces que j’avais que j’avais [Applaudissements] [Applaudissements] énoncé peut-être pour le déterminant c’est la même chose montrer que que le déterminant de l’identité Mo UB coïncide alors je fais un peu de mémoire donc il a peut-être c’est je crois que c’est u car
1 à la puissance b – 1 et fois déterminant alors je va voir ça que j’écrve les choses [Musique] correctement c’est 1- u car moins déterminant de identité Mo auu+ Q u² VO l’identité donc ça bah en fait on a maintenant on a identifié he les zéos de
Ces deux polynômes faut faut juste vérifier que les coefficients dominants sont les sont les bons [Musique] euh et en fait il se trouve que il se trouve que cette relation là je l’ai j’ai tout fait comme si Q était constant mais cette relation est vraie même si Q n’est pas constant
Donc Q c’est le nombre de voisins Mo- 1 donc ce qu’il faut vérifier pour le petit 3 c’est que tout déjà toute la partie comohomologie elle reste vraie pour un graphe qui est pas régulier ça les arguments que j’ai donné là les arguments que j’ai donné là il y a pas
Besoin que le graphe soit régulier pour que ça marche et puis puis évidemment là l’identification des valeurs propres ce dont il faut maintenant se rendre compte c’est que maintenant là c’est plus un multiple de l’identité he c’est une matrice diagonale donc simplement cette relation reste vraie mais elle ne
Dit plus que les valeurs propres de la matrice de Hashimoto sont lié aux valeurs propres de a puisque là on a on n pas a moin multiple de l’identité mais on a a moins une matrice diagonale donc on a toujours une relation comme ça mais ATT ça veut plus dire que les valeurs
Propres du flot géodésique sont lié aux valeurs propres du laplatien sont lié à des solutions d’une autre équation mais qui sont pas sont pas le laplacien et puis j’ai peut-être aussi laisser en exercice le le fait de vérifier que ce déterminant de la matrice de Hashimoto on peut l’écrire
Comme ce qu’on s’appelle une une fonction Z dynamique donc le déterminant donc ce ce polynôme caractéristique on peut l’écrire aussi comme un produit infini euh alors je vais essayer de donc c’est un produit sur toutes les géodésiques périodiques mais primitives donc faut les faut les parcourir
Uniquement le voilà une seule fois et là on a u puissance moins la période hein donc ça c’est quand j’ai une géodésieque périodique c’est c’est la période et voouà c’est comme ça donc l’idée he c’est de partir de c’est de partir de ça et de l’Éire le
Déterm le déterminant de identité Mo UB c’est la même chose que exponentielle de trace de logarime de identité ça c’est pour on peut l’écrire pour u assez [Applaudissements] petit et ensuite faut développer en série entière ce logarithme [Applaudissements] et c’est le la trace de b^iss 1 qui va
Faire sortir les alors la différence c’est que lui il est défini ce produit infini a priori converge que pour eu à petit alors que ça c’est un polynôme c’est défini partout donc ça cette identité a priori est vrai je me suis peut-être trompée là dans le
Signe je pense que là c’est un plus il y a un côté qui qui est défini pour ass petit alors que l’autre côté est défini partout oui ce genre d’identité on toujours si on mett des poids sur les arêtes oui oui ouion fait avant euh oui
En fait ce genre il y a on peut on peut mettre aussi des poids là sur les arêtes et on récupère enfin on peut il y a des versions à poids ouais ouis on perd probablement ce ce côté topologique quand quandon se met à mettre des poids sur les
Arêtes alors oui pour ceux qui sont un petit peu intrigué par j’avais dit hein que ça on peut voir comme des potentiels électriques et ça on peut voir comme des comme des intensités et que donc le fait en fait si on écrit les équations
Donc d’une part on a d étoili ég 0 ça c’est la loi quichauffe et puis i ég DF c’est la loi d’Ô à condition que chaque arête so une résistance égale à 1 et puis donc ça c’est quichaue ça c’est la loi d’Ô et puis si je mets les deux ensemble je récupère
L’équation de la place que d d é= [Applaudissements] 0 donc pour ceux qui sont un petit peu intrigués par ça et qui ont envie d’en savoir plus donc il y a le déjà j’avais mentionné le le livre de Michel odudin euh la formule de stocks qui est un livre plutôt historique et littéraire
C’est la formule de stocks et puis euh sur des textes un peu plus mathématiques [Applaudissements] lefchets a écrit un livre qu’on genre je je sais pas si on le trouve facilement dans les bibliothèques mais on le trouve en tout cas sur internet ça s’appelle quelque chose comme applications of
Algebra topology ou quelque chose comme [Applaudissements] ça qui sont en fait je crois basé sur un cours qu’il avait donné une introduction à la topologie algébrique pour les ingénieurs où il avait il commence par ça en fait [Applaudissements] ah oui alors maintenant on va pouvoir faire les écrire explicitement les
Décroissances des corrélations pour le flot géodésique en commençant par les fonctions qui sont on avait dit ça marche pour des fonctions suffisamment régulière et on va commencer par les fonctions qui sont juste des fonctions sur les arêtes donc si on écrit la décomposition spectrale de la matrice
B donc l’espace des fonctions sur les arrêtes orientés il y a d’une part il y a d’une part les espaces propres associés au valeurs propres plus ou moins un don on a vu l’interprétation topologique et puis après il y a tout ce qui vient des fonctions propres du [Applaudissements]
Laplacien donc a tous les les autres espaces [Applaudissements] [Applaudissements] propres donc il y a deux espaces propres par par fonction propre du laplacien et puis il y a on avait dit ça c’est pour les c’est c’est pour les valeurs propres il y a deux valeurs c’est pour les valeurs propres
Différentes de plus ou moins 2 R cu parce que pour celle-ci on avait vu qu’au lieu d’avoir deux valeurs propres distinctes on avait un bloc de [Applaudissements] Jordan donc le bloc de Jordan ça va se voir en disant qu’au lieu d’avoir un espace propre on a on a un espace caractéristique donc c’est
Le c’est le noyau de B- √q identité au carré ça c’est celui-là il apparaît si j’ai la valeur propre de r Q et puis j’ai la même chose avec 2 [Applaudissements] RQ qu’est-ce qu’on peut faire comme remarque importante à quelque chose que j’aurais pu dire avant c’est
Que le calcul qu’on a fait du noyau de B moin l’identité il montre que le noyau de B l’identité c’est la même chose que le noyau de son adjoint B éto MOS l’identité par qu’on aurait obtenu exactement la même réponse si on avait fait avec B étoile et ça ça implique
Que ça implique que toutes ces sommes là sont [Applaudissements] orthogonales à vérifier mais le ça implique d’une part ça s’applique d’une part ce que j’ai pas dit c’est que pour plus ou moins un on a vraiment un espace propre et pas seulement c’est pas seulement un espace caractéristique mais
Un sous-espace propre et ça implique exercice ça le fait queon est ça ça implique que toutes ces sommes là sont orthogonal la seule somme qui est pas orthogonale c’est ici donc cette matrice bien que n’étant pas autoadjointe elle a une décomposition spectrale pas trop horrible ce qui est
Assez comme j’ai dit c’est assez remarquable parce que assez vite quand on prend des matrices non autoadjointes il y a plein de problèmes qui qui apparaî et puis on avait écrit les on avait aussi vu que les fonctions les fonctions propres de la matrice de hasimoto Cell qui viennent du
Laplacien on a même une relation on n pas seulement une relation explicite entre les valeurs propres mais on a une relation explicite entre les vecteurs propres puisque on obtient à partir d’une apparti d’un fonction propre de A les deux fonctions propres que j’obtiens alors que je c’était comme ça je
Pense donc les deux fonctions prop que j’obtiens elles sont elles sont explicites elles sont explicites grâce au voilà on a une relation explicite entre les fonctions propres de a et et les fonctions propres de de B et puis pour B étoile la même chose parce que B
Étoile on avait dit que B étoil et B sont conjugués par l’involution qui consiste à qui consiste à changer le sens des arêtes donc ça c’est une fonction propre de B et puis si je change le sens de l’arête ce que je raconte si je change le sens de l’arrête ça
Revient juste à échanger le rôle de X et Y dans la ligne précédente donc si j’échange juste X et Y j’obtiens une fonction propre de B étoile et puis on peut calculer que le produit scalaire si j’apparis une fonction propre de B et une fonction propre de B étoile pour la
Même valeur propre j’obtiens une quantité non nulle qu’on pourrait calculer donc c’est une certaine fonction de s que je vais pas calculer mais qui est non nul et par contre si les fonctions propres de b b éto mais associé au au de valeurs propr différent j’obtiens j’obtiens forcément
0 il y a pas le choix même sans le calculer on peut dire que ça va faire 0 ça veut dire que ça veut dire que quit à renormaliser le F j’obtiens la base du j’obtiens la base du donc si si j’appelle F éto EPS S c’est simplement le f
S mais que je peux que je divise par cette constante C2S que j’ai pas calculé certaines fonction qu’on pourrait rendre explicite j’obtiens ça c’est la base du Hal de la base f s donc maintenant voilà je peux me servir ça de ça pour écrire la décroissance des corrélation si j’ai deux fonctions UV
Alors c’est à la fin je veux arriver à des fonctions sur le fibbr unitaire tangent mais pour l’instant partons de fonction cylindrique j’avais appelé l’espace L200 c’est l’espace des fonctions cylindrique mais qui dépendent que de la première arrête donc c’est ça s’identifie à l’espace des fonctions sur
Les arêtes comment on va faire sortir les les corrélations du flot géodésique je vais décomposer U et V je vais décomposer u selon la décomposition spectrale de B et je vais décomposer V selon la décomposition spectrale de B étoile [Applaudissements] donc j’ai U1 et u-1 ce sont les projections orthogonales sur les noyau
De sur les l’espace propre associé à plus ou moins un et puis après j’ai pris en fait toutes les projection sur tous ces espaces propres mais ce que je ce que je veux souligner c’est que ces projections sont explicites parce que je connais je connais je connais vraiment les bases de
Fonction propres dans les deux cas alors dans lequel faut pas je me trompe de sens u en fait je vais le décomposer u je vais le décomposer dans la dans la base F étoile et V je vais décomposer dans la base [Applaudissements] F [Applaudissements] alors et à chaque fois j’ai deux j’ai
Deux termes qui [Applaudissements] sortent ça c’est pour les ça c’est pour les valeur propre différente de plus ou moins 2Q et et puis bah pour ces deux valeurs propres particulières c’est toujours un petit peu embêtant parce qu’il faut la base qu’on regarde c’est plus une base qui diagonalise la matrice mais c’est c’est
Je vais peut-être faire comme si je vais peut-être faire comme s’il y avait pas cette cette valeur propre que du coup c’est c’est c’est une base dont la première on peut prendre une base de cet espace dont la la première composante c’est une fonction propre mais la deuxième n’est pas une fonction propre
Jeis comme si je vais faire le cas où Lamb j aucune des valeurs propr ne vaut plus ou moins RAC et puis V je vais faire la même chose [Applaudissements] mais mais pour mais je je décompose dans la décomposition spectrale de B étoile non de B j’ai utilisé B éto et là j’ai
Utilisé B [Applaudissements] donc ça va [Applaudissements] [Applaudissements] [Applaudissements] faire [Applaudissements] voilà c’est bon c’est lisible alors ce que je note entre entre parenthèses c’est vraiment le crochet de dualité et quand je note quand je note avec des crochets c’est le crochet L2 et c’est la même chose sauf qu’il y en a un
Qui est antilinéaire et l’autre qui l’ pas et c’est toujours embêtant parce que si on veut travailler avec l’un il faut mettre des barres et pas avec l’autre donc là j’ai décidé du coup là je vais écrire les corrélations entre U et et V r Sigma t je vais l’écrire avec le
Crochet de dualité si on voulait le crochet L2 il faudrait juste remplacer V par V bar c’est c’est c’est toujours embêtant parce que les le crochet entre les dist tion les fonctions ça étant pas exactement le crochet L2 et c’est pénible donc je vais prendre un temps positif entier on a vu
Que le les corrélations entre U et V SIG t c’est la même chose que l’opérateur de transfert St appliqué en U apparé avec V et c’est la même chose que sur q^iss T b é U V b u pardon B étoile U à la puissance t V et donc B ça va me
Donner si j’applique B étoile à ça ça va me donner 1 sur q^iss T FO le l’apparimement entre U1 et V1 après je avoir 1 sur Q puiss t sur Q à la puissance t FO l’AR entre v- et puis après je vais avoir somme alors
Je à chaque fois je vais avoir 1 sur Q puiss alors c’est dans quel sens ou EP s là ça je vais avoir deux termes à chaque fois plus ou moins SJ à la puissance T et puis je vais avoir alors je vais avoir les coefficients qui sortent c’est
La projection de U Surin la projection spectrale de U pour B et puis la projection spectrale de V pour B éto l’autre sens donc là à chaque fois c’est plus ou moins SJ j’ai à chaque fois deux termes qui [Applaudissements] sortent ça a l’air de ça a l’air d’être à peu près ça
Oui et ça alors quelqu’un m’avait demandé euh par que ça on avait ça c’est un cas un petit peu basique de développement en état résonnant euh là on voit que c’est vraiment une égalité ça c’est d’habitude dans un développement en état résonnant il y a c’est un développement asymptotique et
Un reste là c’est une égalité pour tout temps [Applaudissements] positif mais ça c’est le fait que ça soit une égalité c’est pour tout temps positif c’est spécifique au fait que j’ai choisi des fonction qui dépendent que d’un que d’une seule arrête et ce qu’on va voir tout de suite c’est que si
Prend maintenant des par exemple des fonctions cylindriques mais qui dépendent de plusieurs arrêtes l’égalité elle va être vraie mais seulement à partir d’un certain temps euh je vais l’écrire tout de suite et puis si après on voulait passer à des fonctions en fait plus là je suis en train de travailler
Des fonctions extrêmement régulières et moins les fonctions vont être régulières plus il va y avoir un terme d’erreur quoi dans ce développement asymptotique alors maintenant je vais définir vraiment ce qu’on appelle les états résonants au sens de rel alors ça c’est on voit on commence à les voir
Apparaître ici mais ça mais voilà les états résonant c’est vraiment des objets qui vivent sur le fibré sur le fibré unitaire tangent c’est des distributions si on veut alors c’est état raisonnant de alors ce qui se passe c’est qu’à chaque fois que j’ai une fonction finalement à chaque fois que que j’ai
Une fonction propre de la matrice de Himoto donc qui vérifie BF g MUF pour un une des valeurs propres qu’on a calculé précédemment on va pouvoir construire alors au départ je vais les définir comme un objet vraiment dégoûtant qui est une mesure finiment additive mais en fait c’est un petit peu mieux c’est
C’est on va voir c’est une enfin c’est une distribution mais donc donc ça va être une mesure sur sur ce qu’on avait appelé le fibré unitaire tangent elle va être définie sur sur les ensembles cylindriques donc je vais je vais définir cette mesure sur les ensembles cylindriques et
A priori elle est seulement c’est pas une mesure positive et elle est seulement finiment additive et il faut là dit comme ça ça a l’air d’être un objet assez sympathique mais en fait une mesure finiment inditive c’est le pire objet qui puisse exister on peut presque rien faire avec ça ça ressemble très
Vaguement à une mesure mais en fait on peut en gros c’est c’est dans le dual des ensembles cylindriques ça veut dire qu’on peut on peut intégrer très très très peu de fonction le long de cette mesure et en réalité la mesure finiment inditive qu’on va définir elle va être
Un petit peu mieux elle va être dans le dual ça je développerai pas trop mais je de dire un tout petit peu elle va être plutôt dans le dual de fonction er donc elle va être un petit peu mieux mais c’est c’est une distribution ça sera jamais une vraie
Mesure donc je vais la définir comme ça en disant que TF du cylindre donc supposons que j’ai un cylindre donné par une suite arrête [Applaudissements] entre les temps M et N he donc c’est toutes les géodésiques qui entre les temps Mo- m et et n empreintent une suite d’arrête
Fixé de taille finie et après après et avant elles peuvent faire ce qu’elles veulent alors si je me suis pas trompé dans l’ordre des choses le la définition la formule c’est la suivante et je vais plutôt au lieu de prendre des suites d’arrêtes ça va peut-être être légèrement mieux de prendre des suites
De sommet et c’est la même chose euh parce que j’ai fait quelques hypothèses restrictives sur mes graphes donc au lieu d’écrire une suite d’arrête j’écris une suite de sommet ça va être F de XN – 1 xn donc la la fonction f évaluée en la dernière arrête FO 1 sur Q puiss
M FO mu puiss n alors exercice vérifier que vérifier que c’est bien une mesure finiment additive c’est c’est pas c’est et puis la deuxième chose c’est que si je la pousse par le si je la transporte par le flot géodésique c’est en fait c’est cette mesure la
Transporte par le FL godés par par le shift Sigma elle se retrouve multiplié par elle-même par si je me suis pas trompé c’est Q divis par MU et puis j’ai fait avec les fonctions propres de B mais on peut faire aussi la même chose avec les fonctions propres de B et on
Obtient maintenant si je fais avec la fonction propre de BTO je va obtenir t é F éto et la définition va être dans l’autre sens c’est-à-dire je vais prendre F étoile de la première des arêtes donc de X- m X – M + 1 et la normalisation ça va
Être c’est tout est c’est c’est tout dans l’autre sens donc ça va être q^issance n mu puiss N et celle-ci maintenant elle vérifie que si je la pousse par le FL par Sigma c’est aussi une fonction propre mais pour l’inverse donc ça va être mu sur
Q et c’est elle qu’on appelle enfin dans ce Queel avait vu dans les années 80 c’est ça qui jouerait le rôle des ce qu’on appelle les états résonnants de relel [Applaudissements] [Applaudissements] et pour tout dire quand il y a un bloc de Jordan j’ai pas écrit ce qu’il faut
Ce qu’il faut prendre comme définition de l’État raisonnement pour la pour la deuxième enfin voilà j’ai la fonction propre voilà j’ai défini les états raisonnement pour les fonctions propres et quand il y a un bloc de Jordan donc pour la deuxème fonction la base à vérifier non il faut peut-être juste
Prendre la même formule mais simplement non c’est peut-être voilà à vérifier mais probablement ce qui change quand on a un bloc de Jordan c’est on garde probablement la même formule mais que la mesure qu’on a construite sur le fibbr unitaire tangent c’est plus quand je la transporte par le flot géodésique
J’obtiens plus une mesure elle est plus multiplié par elle-emême je récupère je récupère l’autre État résonnant en plus mais je l’ai pas j’ai pas vérifié que tout marcha bien donc après ce qui se passe maintenant si j’ai deux fonctions cylindriques mettons dans l0 m ça veut dire des fonctions qui dépendent
Que qui dépendent que [Applaudissements] de alors est-ce que j’ai une bon nombre c’est ça doit être ça qui dépend que des m premièr arêt c’était ça la définition que j’avais donné donc m + 1 prier sommet si je veux calculer maintenant si je me donne un T positif si je veux calculer les
Corrélations entre U et V SIG t ça reste vrai on avait ça reste vrai ça vient appliquer l’opérateur de transfert à et maintenant ce qui se passe c’est que si t plus grand que M si je prends une fonction qui dépend de M coordonné je applique l’opérateur
De transfert un temps plus grand que M cette nouvelle fonction là elle va appartenir elle dépend plus que de la première arrête donc je vais pouvoir appliquer ce que j’avais fait précédemment mais à cette fonction là donc je vais écrire ça comme s t-
M FO s m de U c’est je écrire comme ça voilà c’est u auquel j’appque j’applique l’opérateur de transfert m fois il dépend plus que de la première arrête et puis il me reste après je lui applique s puiss t m et puis V V dépend de M arrête
Mais comme maintenant je suis en train de la parier avec quelque chose qui dépend que de une arête je peux toujours considérer la projection orthogonale de V sur les fonctions qui dépendent que de une arrête et maintenant je suis ramené au cas précédent donc je peux je peux faire je peux écrire ça
Maintenant je je vais pas effacer ça maintenant au lieu de l’appliquer à U je je vais l’appliquer à u transporté m fois par l’opérateur de transfert et au lieu de l’appliquer à V je l’appliquer à V que je projette sur les fonctions ne dépendant que de la première arrête donc je peux
Écrire ce que j’avais écrit précédemment et puis t voilà maintenant t c’est devenu t maintenant c’est devenu t- M et là où tout se passe très joliment c’est que si je calcule je réapplique ce que j’avais fait précédemment et je calcule donc le le crochet de dualité entre F et
SMU en fait tout va seéexprimer uniquement en terme des états résonnan ça ça va faire ça va ça va faire TF apparier avec U et multiplié par je crois que c’est par mu sur Q à la puissance m et puis euh le crochet de dualité entre F étoile et la projection de
V sur l’espace dépendant des fonctions dépendant que de la première arête ça fait exactement t étoile F étoile appliqué en V voilà alors là je sais pas si c’est dans le bon sens est-ce que c’est h ouais si si si c’est bon donc en fait euh on tout toutes ces
Choses qui ont l’air un petit peu bizarres se expriment juste avec les états résonnants et donc et et ça euh c’est c’est vrai pour t- m donc on obtient je vais peut-être pas recopier le résultat euh on obtient un développement en état résonnant pour euh pour pour les
Corrélations et en supposant queon a des fonctions cylindriques et euh il est c’est en fait c’est une égalité dès que T est plus grand que M donc ça répond à la question que quelqu’un m’avait posé d’habitude les développements en état résonance c’est des développements asymptotiques avec
Rest mais là on est dans une situation euh suffisamment simple et avec des fonction on est avec des fonctions tellement régulières que que que en fait le ça devient une égalité à partir d’un certain en fait le en fait le flot géodésique il a une valeur propre supplémentaire mais qui
Est égale à zéro en fait il on est quand même en train de le faire agir sur un espace de dimension infinie donc il devrait quand même avoir euh il devait pas juste seulement avoir une un fini de valeur propre mais la valeur propre qui
Manque c’est Z0 donc on la voit pas dans les corrélations alors ben je vais parler un petit peu de la ce que R appeler la propriété GIPS en fait qu relel donc je vous ai cité son article qui s’appelleonance ch dynamic sy donc dans cet article il
Dit que d’une manière générale quand on a un système dynamique chaotique et comprend des corrélations d’observa assez régulières on doit avoir ce type de développement pour les corrélations c’est pas au départ c’est pas un résultat c’est quelque chose qu’on a observé sur un certain nombre d’exemples et on se dit que ça serait
Une description satisfaisante de ce qui se passe en général pour un système dynamique chaotique on sait pas le faire dans le dans dans dans le cadre le plus général possible mais maintenant on commence quand même à savoir le faire pour pas mal d’exemples de systèmes chaotiques et par contre
Dit mais sans vraiment préciser ce qu’il veut dire et je pense qu’en fait il y a pas une notion très précise en général de ce que ça doit vouloir dire il dit que c’est ces états résonnants doivent avoir une une propriété de GIPS il se trouve que là on la voit mais
Je pense qu’en général il y a il y a pas il y a pas de notion bien précise qui derrière ça c’est donc ça c’est un cas où on voit vraiment cette propriété GPS quand on fera le flot géodésique sur les surfaces hyperbolique on verra déjà que on verra
Déjà qu’en fait il y a un problème à énoncer la propriété de GPS c’est c’est vraiment un je pense je Seris curieuse de savoir s’il y a vraiment une bonne notion générale de ce que ça veut dire cette propriétéclipse des états résonnants j’ avais fait un petit peu
Allusion lors du premier cours j’avais dit que les États résonnants là qu’on a construit ils ont ils sont donc alors les TF ils vont être il va avoir une espèce de d’invariance par par le flot recyclique stable on va dire je vais je vais préciser ce que je veux
Dire je vais je je dire ça comme ça c’est inv variant par la relation d’équivalence orocyclique et ça va être dans la direction stable et puis les T étoil étoil F pour avoir une propriété du même style mais dans dans la direction instable alors je vais préciser ce que ça veut dire
Là ce qui rend un petit peu compliqué l’énoncer c’est qu’on n pas sur une variété donc on a on a un système dynamique chaotique mais on n pas une variété stable une variété instable qui sont des variétés et ça va c’est ça c’est c’est ce qui me force à utiliser
Cette terminologie un peu étrange mais cela dit je pense un peu je pense que d’une manière générale c’est difficile de démontrer une propriété de ce type et là si j’arrive à la démontrer c’est vraiment parce que je suis dans un cas où où le spectre est assez est assez simple à
Décrire je pense que si on faisait ça avec une chaîne de Markof plus générale ça serait pas complètement clair en fait comment s’énonce cette propriété alors comment juste je retrouve c’est pardon je je faire je veux juste éviter de de m’embrouiller entre stable et instable donc sur sur l’espace sur le fibr Unita
Tangent il y a une relation d’équivalence je vais donner nimpte enfin non même entier positif ou négatif je vais dire que de suites donc des éléments du fibré unitaire tangent c’est des suites [Applaudissements] d’arrête bon je la note pas la lettre H comme orocyclique c’est un petit peu en référence
À aux orocycles de voilà de la géométrie hyperbolique si j’ai deux suites d’arêtes donc deux géodésiques je vais dire qu’elles sont équivalentes pour cette relation d’équivalence HK si les deux suites coïncident à partir du temps [Applaudissements] k donc ça veut dire que c’est des géodésiques qui dans le
Passé F un petit peu ce qu’elles veulent indépendamment l’une de l’autre mais à partir du temps elle coïcide donc l’instant elle se coal et puis deviennent identi alors ce qu’on peut noter c’est que donc j’ai toute une famille en fait de relation d’équivalence pour chaque pour chaque
Cas alors la relation hk- a elle est inclue dans HK autrement dit les classes d’équivalence si deux suites sont équivalent pour K-1 elles sont aussi équivalentes pour k donc c’est ça que j’appelle la relation d’équivalence orocyclique stable en fait j’ai même une infinité de relation d’équivalence j’en ai une pour tout
Entier quoi ressemble en donc bah à quoi ressemble une une classe d’équivalence pour HK ça les classes d’équivalence pour HK elles s’identifient naturellement à l’arbre chaque classe d’équivalence peut s’identifier naturellement à l’arbre enraciné Q Q + 1 [Applaudissements] régulier [Applaudissements] chaque class d’équivalence peut peut-être [Applaudissements] identifié à [Applaudissements] l’arbre
Enraciné Q+ 1 régulier enfin c’est-à-dire o chaque chaque al je vais faire le dessin avec je toujours je crois j’ai fait tous mes dessins avec Q é= 3 donc on va faire [Applaudissements] ça chaque class d’équivalence elle ressemble à ça infini et donc elle porte une mesure naturelle qui est la mesure harmonique
[Applaudissements] enfelle peut être je devrais pas dire à l’arbre je devrais dire au au bout au au bord à l’infini de cet arbre chaque classe d’équivalence enfin c’est elle est plutôt elle peut identifier au bord à l’infini de l’arbre enraciné [Applaudissements] c’est les bouts chaque classe équivalence elle va s’identifier au bout
De cet arbre et donc elle porte une mesure naturelle qui est la mesure harmonique sur sur les les bouts de cet arbre c’est c’est la l’unique mesure qui c’est la mesure uniforme si on veut qui qui met un poids égal à chaque ensemble cylindrique et la proposition c’est que si j’ai une transformation
R [Applaudissements] sur le fibré unitaire tangent qui d’une part alors il doit falloir qu’elle préserve la notion de cylindre [Applaudissements] on voit un cylindre sur éventuellement sur une union de cylindre donc elle préserve finalement l’algèbre engendrée par les cylindres je vais supposer en fait je suis en train de trouver d’essayer de
Trouver une manière de dire que cette ce r ça va être quelque chose qui remplace le fluorocyclique le problème c’est que voilà le problème c’est que les variétés stables sont pas des variétés donc je peux pas parler de je peux pas parler en terme de géométrie différentielle donc je vais vouloir qu’elle prés
Les rel chacune de ces relations [Applaudissements] d’équivalence et puis je vais supposer que elle préserve la mesure naturelle sur chaque sur chaque orocycle sur chaque classe d’équivalence [Applaudissements] [Applaudissements] donc elle préserve la mesure naturelle sur chaque Var donc là les relations d’équivalence c’est ce qu’on a envie d’appeler des variétés stables c’est pas
Des variétés mais c’est voilà et on a envie que cette suppose qu’on a une transformation R qui préserve cette mesure naturelle sur chaque variété stable alors euh la distribution de rel si je la push forward si je la pousse en avant par rut elle est [Applaudissements] invariante et pour les transformations t
Étoil il y aurait la même chose mais il faudrait définir des classes d’équivalence instable au lieu de stable alors [Applaudissements] oui là je donc voilà c’est énoncé compliqué mais parce qu’en fait finalement dans dans le cas des surfaces hyperboliques on dira juste que les on dira enfin ça sera même pas tout le
Temps vrai mais ce qui va remplacer ça c’est de dire que les États résonan sont variant par le flotocyclique là c’est on peut pas le dire en en vocabulaire aussi simple à cause du fait qu’on n pas sur une variété mais à chaque fois qu’on a une transformation qui préserve les
Variétés stables et la mesure naturelle sur les variétés stables elle doit aussi elle doit aussi préserver les états résonnants donc je pense que c’est ça qui se cache derrière la propriété GIPS de rel alors si on veut le démontrer euh soit on regarde la formule que j’aiécrite tout à l’heure parce que si
Vous regardez la formule on voyait bien que il y avait une direction où la mesure où la TF il y avait une direction où c’était la mesure uniforme et dans l’autre direction il y avait la fonction f qui jouait mais en fait peut-être même plus intéressant c’est de de dire que en
Fait à partir du moment où le à partir du moment où le développement en état résonnant existe on doit forcément avoir cette propriété enfin si l’état si le développement en état résonnant existe doit forcément avoir ça et c’est là que je dis que je pense que c’est problématique d’étendre ça à des
Systèmes dynamiques plus généraux parce que si vous vous souvenez à quoi ressemblait le spectre du de la matrice de Hashimoto il y avait ce qui est assez particulier he le spectre de le spectre du flog géodésique on est dans un cas où en gros euh tout est sur un
Cercle il y a bon là il y a deux valeurs propres un peu topologiques peut y avoir quelques valeurs propres [Applaudissements] ici et après j’ai dit finalement il y a la valeur propre 0 qui avec multiplicité infinie mais qu’on voit pas dans le dans le développement en état
Résonnant je pense que ce qui fait que la propriété git marche c’est vraiment le fait qu’on est sur la on est sur la couche extérieure enfin il y a qu’une seule couche de d’État résonnant ce qu’on va voir quand on fera le flot géodésique des surfaces
Hyperbolique il aura un dessin un peu du même genre mais avec une infinité de couches de couches concentrique le spectre il va être comme ça et en fait la propriété gpse la variance par le fluorocyclique elle sera vrai uniquement sur la couche externe et à l’intérieur
On aura plus ça donc c’est pour ça que je dis quel a écrit que les États résonants doivent avoir une propriété GIPS je je pense que trouver un énoncé vraiment général va être compliqué parce que déjà voilà déjà pour le flot géodésique des surfaces hyperboliques il y aura quelque chose
Qui remplacera la propriété GPS à l’intérieur mais ça sera ça sera plus compliqué que que ça et voilà ça va être l’heure de s’arrêter et donc dans dans un quart d’heure il y a l’exposé de aliciaacollard je vous remercie [Musique]